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Forum "Algebra" - Galoissche Erweiterung
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Galoissche Erweiterung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:32 Sa 25.03.2006
Autor: goldie20

Aufgabe
Ist [mm] \IQ(i, \wurzel[4]{10}):\IQ [/mm] galoissche Erweiterung?

Hallo zusammen,

Bei der Aufgabe habe ich folgende Lösung heraus bekommen:

-  Irr [mm] (\wurzel[4]{10},\IQ)=x^4-10 [/mm] normiert
- irreduzibel nach Eisenstein für p=5
- Nullstelle von [mm] x^4-10 [/mm] ist [mm] \wurzel[4]{10} [/mm]
- zerfällt vollständig in [mm] \IQ(i, \wurzel[4]{10}) [/mm] in Linearfaktoren
[mm] \Rightarrow [/mm] normal

Charakteristik von [mm] \IQ [/mm] ist Null  [mm] \Rightarrow [/mm] separabel

Da normal und separabel  [mm] \Rightarrow [/mm] galoissche Körpererweiterung.

Nun zu meiner Frage: Wie würde es im folgenden Fall aussehen:

Ist [mm] \IQ(i*\wurzel[4]{10}):\IQ [/mm] galoissche Erweiterung?

Danke im voraus.

Gruß

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Galoissche Erweiterung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:10 Sa 25.03.2006
Autor: felixf


> Ist [mm]\IQ(i, \wurzel[4]{10}):\IQ[/mm] galoissche Erweiterung?
>  Hallo zusammen,
>  
> Bei der Aufgabe habe ich folgende Lösung heraus bekommen:
>  
> -  Irr [mm](\wurzel[4]{10},\IQ)=x^4-10[/mm] normiert
>  - irreduzibel nach Eisenstein für p=5
>  - Nullstelle von [mm]x^4-10[/mm] ist [mm]\wurzel[4]{10}[/mm]
>  - zerfällt vollständig in [mm]\IQ(i, \wurzel[4]{10})[/mm] in
> Linearfaktoren

Bis hierher richtig.

>   [mm]\Rightarrow[/mm] normal

Die Folgerung gilt nicht: Du musst das fuer alle ueber [mm] $\IQ$ [/mm] irreduziblen Polynome zeigen, die in [mm]\IQ(i, \wurzel[4]{10})[/mm] eine Nullstelle haben!

Einfacher geht es so: Zeige, dass [mm] $\IQ(i, \wurzel[4]{10})$ [/mm] der Zerfaellungskoerper von [mm] $x^4 [/mm] - 10$ ueber [mm] $\IQ$ [/mm] ist: Zerfaellungskoerper sind immer normal!

> Charakteristik von [mm]\IQ[/mm] ist Null  [mm]\Rightarrow[/mm] separabel

Genau.

> Da normal und separabel  [mm]\Rightarrow[/mm] galoissche
> Körpererweiterung.

Ja.

> Nun zu meiner Frage: Wie würde es im folgenden Fall
> aussehen:
>  
> Ist [mm]\IQ(i*\wurzel[4]{10}):\IQ[/mm] galoissche Erweiterung?

Ueber [mm] $\IQ$ [/mm] ist eine endliche Erweiterung genau dann normal, wenn sie ein Zerfaellungskoerper eines Polynoms ueber [mm] $\IQ$ [/mm] ist. Betrachte mal das Minimalpolynom von $i [mm] \sqrt[4]{10}$ [/mm] ueber [mm] $\IQ$: [/mm] Liegen alle Nullstellen davon in [mm] $\IQ(i*\wurzel[4]{10})$? [/mm]

LG Felix


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Galoissche Erweiterung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:18 Sa 25.03.2006
Autor: goldie20

Ich würde mal nein sagen, oder??

Daraus würde dann folgen, dass die Normalität nicht gilt und somit nicht galoissch

Bezug
                        
Bezug
Galoissche Erweiterung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:23 Sa 25.03.2006
Autor: felixf


> Ich würde mal nein sagen, oder??

Genau.

> Daraus würde dann folgen, dass die Normalität nicht gilt
> und somit nicht galoissch

Exakt. Das muesstest du halt nur noch irgendwie zeigen :-)

LG Felix


Bezug
                                
Bezug
Galoissche Erweiterung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:30 Sa 25.03.2006
Autor: goldie20

Wie könnte man denn zeigen, dass nicht alles Nullstellen darin liegen? Ich hätte da leider keine Idee. :-/

Bezug
                                        
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Galoissche Erweiterung: Minimalpolynom angeben
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:06 Sa 25.03.2006
Autor: mathmetzsch

Hallo,

gib doch mal das Minimalpolynom der Körpererweiterung an. Betrachte alle Nullstellen und wäge dann ab, ob diese drin liegen!

Das Minimalpolynom solltest du schon allein hinbekommen!

Viele Grüße
Daniel

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Galoissche Erweiterung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:27 So 26.03.2006
Autor: cloe

Hallo,

würde das Minimalpolynom zu  [mm] \IQ(i\cdot\wurzel[4]{10}):\IQ [/mm] so lauten??

Minimalpolynom zu i:
[mm] p(x)=x^2+1 [/mm]

Minimalpolynom zu [mm] \wurzel[4]{10}: [/mm]
[mm] q(x)=x^4-10 [/mm]  

Minimalpolynom zu [mm] \IQ(i\cdot\wurzel[4]{10}):\IQ: [/mm]
[mm] p(x)\cdot q(x)=(x^2+1)*(x^4-10) [/mm]


Bezug
                                                        
Bezug
Galoissche Erweiterung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:43 So 26.03.2006
Autor: mathmetzsch

Hallo cloe,

das sieht doch schon mal gut aus! Und? Ist nun [mm] \IQ(i*\wurzel[4]{10}) [/mm] Zerfällungskörper von p(x)*q(x) bzw. sind alle Nullstellen darin?

Felix' Hinweis kannst du auch beachten. Da steht ja im Prinzip schon die Begründung!

Viele Grüße
Daniel

Bezug
                                        
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Galoissche Erweiterung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:00 Sa 25.03.2006
Autor: felixf


> Wie könnte man denn zeigen, dass nicht alles Nullstellen
> darin liegen? Ich hätte da leider keine Idee. :-/

Eine weitere Nullstelle ist ja [mm] $\sqrt[4]{10}$. [/mm] Ein Allgemeines Element aus [mm] $\IQ(i \sqrt[4]{10})$ [/mm] ist ja von der Form [mm] $\lambda_0 [/mm] + [mm] \lambda_1 [/mm] i [mm] \sqrt[4]{10} [/mm] - [mm] \lambda_2 \sqrt{10} [/mm] - [mm] \lambda_3 [/mm] i [mm] \sqrt[4]{1000}$ [/mm] mit [mm] $\lambda_i \in \IQ$ [/mm] (weisst du warum?).

Wenn das jetzt gleich [mm] $\sqrt[4]{10}$ [/mm] sein soll, muss ja auch der Realteil davon gleich [mm] $\Re \sqrt[4]{100} [/mm] = [mm] \sqrt[4]{100}$ [/mm] sein. Der Realteil von dem Element ist jedoch [mm] $\lambda_0 [/mm] - [mm] \lambda_2 \sqrt{10}$. [/mm] Jetzt musst du zeigen, dass dies fuer [mm] $\lambda_0, \lambda_2 \in \IQ$ [/mm] nicht [mm] $\sqrt[4]{10}$ [/mm] sein kann.

LG Felix


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