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Forum "Stochastik" - Geb.-Wahrscheinlichkeit
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Geb.-Wahrscheinlichkeit: Aufgabe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:01 Do 22.03.2018
Autor: PowerBauer

Aufgabe
In einer Schule sind 400 Schüler.
a) Wie hoch ist die Wahscheinlichkeit, dass heute keiner dieser Schüler Geburtstag hat?
b) Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass es mindestens einen Tag gibt, an dem keiner Geburtstag hat?


Nun: die W. , dass ein Schüler heute keinen Geb. hat, liegt bei 364/365.
Schon bei 2 Sch. weiß ich nicht weiter, da ich ja die W. nicht einfach addieren kann - irgendwann käme ich über 1.
Hab grad noch eine Idee: nicht addieren - multiplizieren muss ich die W. - richtig? Also wäre die Antwort auf a) P = (364/365)^400 ?

Aber Teil b) macht mir Kopfzerbrechen...

        
Bezug
Geb.-Wahrscheinlichkeit: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:46 Do 22.03.2018
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

> Nun: die W. , dass ein Schüler heute keinen Geb. hat,
> liegt bei 364/365.

[ok]

>  Schon bei 2 Sch. weiß ich nicht weiter, da ich ja die W.
> nicht einfach addieren kann - irgendwann käme ich über
> 1.

[ok]

>  Hab grad noch eine Idee: nicht addieren - multiplizieren
> muss ich die W. - richtig? Also wäre die Antwort auf a) P
> = (364/365)^400 ?

[ok]
Und warum kannst du die multiplizieren (falls ihr das schon hattet)


> Aber Teil b) macht mir Kopfzerbrechen...

Kein Wunder… schließlich hängt das Ergebnis davon ab, ob es ein Schaltjahr ist, oder nicht! ;-)

Sei [mm] A_k [/mm] das Ereignis, dass am k-ten Tag des Jahres niemand Geburtstag hat.
Du hast bereits herausgefunden: [mm] $P(A_k) [/mm] = [mm] \left(\frac{364}{365}\right)^{400}$ [/mm]

Sei A nun das Ereignis "an mindestens einem Tag hat niemand Geburtstag.
Mach dir klar, dass dann $A = [mm] \bigcup_{k=1}^{365} A_k$ [/mm] gilt.
Betrachte nun die Gegenwahrscheinlichkeit.

Gruß,
Gono

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Geb.-Wahrscheinlichkeit: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:02 Do 22.03.2018
Autor: PowerBauer

Diese Formel : [mm] \bigcup_{i=1}^{n} [/mm]

sagt mir leider gar nix...

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Geb.-Wahrscheinlichkeit: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:29 Do 22.03.2018
Autor: meili

Hallo PowerBauer,

> Diese Formel : [mm]\bigcup_{i=1}^{n}[/mm]

bedeutet die Vereinigung der Mengen, die dann nach dem Zeichen stehen.
Die Mengen sind dann zur Unterscheidung nummeriert von 1 bis n.
In der vorigen Antwort waren es die Mengen [mm] $A_1, A_2, \ldots [/mm] , [mm] A_{365}$ [/mm]

>  
> sagt mir leider gar nix...

Gruß
meili


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Geb.-Wahrscheinlichkeit: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:55 Do 22.03.2018
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

in welchem Kontext ist die Frage denn gestellt?
Schule?
Studium?

Gruß,
Gono

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Geb.-Wahrscheinlichkeit: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:00 Fr 23.03.2018
Autor: PowerBauer

Schule -
ich bin wohl im falschen Forum - aber im Schulforum hatte ich kein Schreibrecht (warum auch immer), da habe ich es halt hier probiert.

Noch mal zum Problem: Die Gegenwahrscheinlichkeit ist 1- (364/365)^400 - aber das ist ja nicht das ,was ich suche.
Mir erscheint es aber auch nicht logisch, die gefundene Wahrscheinlichkeit aus a) nun mit 365 zu multiplizieren. Irgendwie stehe ich auf dem Schlauch...

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Geb.-Wahrscheinlichkeit: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:45 Fr 23.03.2018
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

> Schule -
> ich bin wohl im falschen Forum

Nein bist du nicht… allerdings achten da viele nicht drauf, darum die Nachfrage :-)
Aber das erklärt, warum du mit [mm] $\bigcup_{n=1}^{365}$ [/mm] nix anfangen kannst… und das ist auch nicht schlimm.

Dann müssen wir da eben anders vorgehen, das macht aber nix :-)
  

> Noch mal zum Problem: Die Gegenwahrscheinlichkeit ist 1-
> (364/365)^400 - aber das ist ja nicht das ,was ich suche.
>  Mir erscheint es aber auch nicht logisch, die gefundene
> Wahrscheinlichkeit aus a) nun mit 365 zu multiplizieren.
> Irgendwie stehe ich auf dem Schlauch...

Ok nochmal langsam: Wir wollen die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses

A - "An mindestens einem Tag im Jahr hat niemand Geburtstag"

Untersuchen wir mal die Gegenwahrscheinlichkeit

B - "An allen Tagen im Jahr hat (mindestens) einer Geburtstag"

Die Wahrscheinlichkeit von B kann man nun aber recht einfach ausrechnen als:

$B = [mm] \frac{\text{Anzahl an Kombinationen wo an allen Tagen jemand Geburtstag hat}}{\text{Anzahl an Möglichkeiten 400 Schüler auf 365 Tage zu verteilen}}$ [/mm]

Zum (einfacheren) Nenner: Wie viele Möglichkeiten gibt es, 400 Schüler auf 365 Tage zu verteilen?

Zum Zähler: Wie viele Möglichkeiten gibt es, 400 Schüler auf 365 Tage zu verteilen, wenn an 365 Tagen mindestens einer Geburtstag haben soll?
Tipp: Bestimme die Anzahl an Möglichkeiten für die Tage mit mehr als einem Geburtstagskind zu auf 365 zu verteilen. Wie viele Tage gibt es davon?

Gruß,
Gono

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Geb.-Wahrscheinlichkeit: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 23:23 Fr 23.03.2018
Autor: PowerBauer

Ok - ich versuch's mal:

Der Nenner: 400 über 365

Der Zähler: 365 Schüler sind schon mal weg, weil an jedem Tag einer Geb. haben muss; bleiben noch 35; und die kann ich nach Belieben auf die 365 Tage verteilen.

W =  [mm] \vektor{365 \\ 35} [/mm]  /  [mm] \vektor{400 \\ 365} [/mm]

korrekt?

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Geb.-Wahrscheinlichkeit: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 00:15 Sa 24.03.2018
Autor: PowerBauer

hm - bin mit meiner Lösung nicht zufrieden:
wenn ich richtig gerechnet habe, ergibt das ca. 3,4% - das ist viel zu wenig...

Irgendwas stimmt noch nicht. Muss ich noch bedenken, dass es noch viele verschiedene Möglichkeiten gibt an denen z.B. irgendein Schüler am 1.1. Geburtstag hat?

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Geb.-Wahrscheinlichkeit: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 00:26 Sa 24.03.2018
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

> Irgendwas stimmt noch nicht.

da hast du recht…
Du schreibst

> und die kann ich nach Belieben auf die 365 Tage verteilen.

und schränkst in deiner Formel aber ein, dass niemand am selben Tag Geburtstag haben kann.

Bedenke:
$ [mm] \vektor{400 \\ 365} [/mm] = $ Anzahl an Möglichkeiten 365 Tage auszuwählen für 400 Schüler OHNE Wiederholung.
Wieso sollten nicht alle Schüler am selben Tag Geburtstag haben?

Gruß,
Gono

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