Gegenseitige Lage von Ebenen < Geraden und Ebenen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 18:11 Di 27.12.2005 | | Autor: | raG |
| Aufgabe | Gegeben sind für jedes t [mm] \in \IR [/mm] die Punkte: [mm] A_{t} [/mm] (-2t|6t|t) und [mm] B_{t} [/mm] (8t|-2t|2t²-t) und die Ebene E: [mm] \vec{x} [/mm] = [mm] \vektor{1 \\ 3 \\ -2} [/mm] + [mm] \lambda [/mm] * [mm] \vektor{1 \\ 2 \\ 4} [/mm] + [mm] \mu [/mm] * [mm] \vektor{3 \\ 1 \\ 7} [/mm] ; [mm] \lambda, \mu \in \IR
[/mm]
Die Gerade [mm] g_{t} [/mm] ist durch die Punkte [mm] A_{t} [/mm] und [mm] B_{t} [/mm] festgelegt.
a) Geben Sie eine Gleichung von [mm] g_{t} [/mm] an.
b) Geben Sie eine Gleichung von E in Koordinatenform an.
c) Untersuchen Sie die gegenseitige Lage von [mm] g_{t} [/mm] und E. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:25 Di 27.12.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo raG,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") !!
Hast Du Dir mal unsere Forenregeln durchgelesen?
Du haust hier einfach eine Aufgabe rein, und wir wissen gar nicht, wo genau Dein Problem liegt. Wo genau hakt es denn?
Bitte stelle doch konkrete Fragen zu Deinem Problem und auch liefere auch dementsprechende eigene Lösungansätze (irgendwas wird Dir doch dazu einfallen, oder?).
Denn eine Geradengleichung aus zwei Punkten kannst Du doch sicher aufstellen. Das funktioniert mit dem Parameter $t_$ in den Punktkoordinaten von [mm] $A_t$ [/mm] und [mm] $B_t$ [/mm] nicht anders.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:36 Di 27.12.2005 | | Autor: | raG |
Achso, hatte vergessen zu erwähnen dass ich meine Lösungen Korrigiert haben wollte. Tut mir Leid für den Fehler.
Nun meine Lösungen :
a) [mm] g_{t} [/mm] : [mm] \vec{x} [/mm] = [mm] A_{t} [/mm] + r [mm] (B_{t} [/mm] - [mm] A_{t}) [/mm] = [mm] \vektor{-2t \\ 6t \\ t} [/mm] + r [mm] \vektor{10t \\ -8t \\ 2t²-2t}
[/mm]
b) Hier habe ich die Ebenengleichung E in 3 Gleichungen aufgeteilt [mm] (x_{1}= [/mm] ; [mm] x_{2}= [/mm] ; [mm] x_{3}= [/mm] ), dann die 2. nach [mm] \mu [/mm] und die 3. nach [mm] \lambda [/mm] aufgelöst und in die 1. eingefügt mit dem Ergebnis:
E: [mm] \vec{x} [/mm] = [mm] -x_{1} [/mm] - [mm] \bruch{1}{2} [/mm] * [mm] x_{2} [/mm] + [mm] \bruch{1}{2} [/mm] * [mm] x_{3} [/mm] + [mm] \bruch{5}{2} [/mm] = 0
Bitte um Korrektur für diese Ansätze. Zu Aufgabenteil c) habe ich noch keinen Ansatz
mfg raGGy
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Hi, raG,
> a) [mm]g_{t}[/mm] : [mm]\vec{x}[/mm] = [mm]A_{t}[/mm] + r [mm](B_{t}[/mm] - [mm]A_{t})[/mm] =
> [mm]\vektor{-2t \\ 6t \\ t}[/mm] + r [mm]\vektor{10t \\ -8t \\ 2t²-2t}[/mm]
Richtig, jedoch mit der Einschränkung, dass t nicht =0 sein darf!
> b) Hier habe ich die Ebenengleichung E in 3 Gleichungen
> aufgeteilt [mm](x_{1}=[/mm] ; [mm]x_{2}=[/mm] ; [mm]x_{3}=[/mm] ), dann die 2. nach
> [mm]\mu[/mm] und die 3. nach [mm]\lambda[/mm] aufgelöst und in die 1.
> eingefügt mit dem Ergebnis:
>
> E: [mm]\vec{x}[/mm] = [mm]-x_{1}[/mm] - [mm]\bruch{1}{2}[/mm] * [mm]x_{2}[/mm] + [mm]\bruch{1}{2}[/mm]
> * [mm]x_{3}[/mm] + [mm]\bruch{5}{2}[/mm] = 0
Nun, zunächst:
Die Koordinatenform der Ebene darf NICHT mit [mm] \vec{x} [/mm] beginnen!
Ansonsten stimmt's fast - nur müsste die Konstante m.E. [mm] \bruch{7}{2} [/mm] heißen!
Und dann würd' ich die Gleichung mit (-2) multiplizieren: Dann fallen die Brüche weg:
[mm] 2x_{1} [/mm] + [mm] x_{2} [/mm] - [mm] x_{3} [/mm] - 7 = 0.
Idee für c: Setz' die Gerade mal in die Koordinatenform der Ebene ein!
mfG!
Zwerglein
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion | | Datum: | 17:01 Mi 28.12.2005 | | Autor: | raG |
Zu Aufgabenteil c)
Hier habe ich nun wie empfohlen die Gerade [mm] g_{t} [/mm] in die Koordinatenform der Ebene E eingesetzt und nach r aufgelöst.
r = [mm] \bruch{t}{2(t²-7t)}
[/mm]
Für t [mm] \not= [/mm] 7 gibt es genau eine lösung für r. [mm] g_{t} [/mm] schneidet E in einem Punkt.
Für t = 7 gibt es keine Lösung. [mm] g_{t} [/mm] verläuft parallel zu E und liegt nicht in E.
Stimmt meine Lösung ?
mfg raG
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:59 Mi 28.12.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo raG!
Ich habe ein anderes Ergebnis für $r_$ erhalten: $(7-t)*r \ = \ [mm] \bruch{7-t}{2t}$ $\Rightarrow$ [/mm] $r \ = \ [mm] \bruch{1}{2t}$
[/mm]
Für $t \ =\ 7$ erhalte ich, dass die Gerade dann in der Ebene liegt. Für alle anderen $t \ [mm] \not= [/mm] \ 0$ existiert genau ein Schnittpunkt.
Da ich mich aber auch verrechnet haben kann, solltest Du vielleicht mal Deinen Rechenweg / einige Zwischenergebnisse posten.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:06 Do 29.12.2005 | | Autor: | raG |
Also als erstes stelle ich die 3 Gleichungen aus [mm] g_{t} [/mm] auf :
[mm] x_{1} [/mm] = -2t + 10rt
[mm] x_{2} [/mm] = 6t - 8rt
[mm] x_{3} [/mm] = t + 2rt² - 2rt
Dies setze ich nun in die Koordinatenform der Ebene ein:
-(-2t+10rt)- [mm] \bruch{1}{2} [/mm] (6t-8rt) + [mm] \bruch{1}{2} [/mm] (2rt² - 2rt + t) + [mm] \bruch{7}{2} [/mm] = 0
[mm] \Rightarrow [/mm]
2t -10rt -3t + 4rt + [mm] \bruch{1}{2} [/mm] t + rt² -rt + [mm] \bruch{7}{2} [/mm] = 0
[mm] \Rightarrow
[/mm]
rt² - 7rt = [mm] \bruch{1}{2} [/mm] t - [mm] \bruch{7}{2}
[/mm]
[mm] \Rightarrow
[/mm]
r(t² - 7t) = [mm] \bruch{1}{2} [/mm] t - [mm] \bruch{7}{2}
[/mm]
[mm] \Rightarrow
[/mm]
r = [mm] \bruch{t-7}{2t² - 14t}
[/mm]
soweit meine Rechnung. Einen Fehler zu meiner ersten Lösung habe ich entdeckt. Habe bei der Ebenengleichung die [mm] \bruch{7}{2} [/mm] vergessen.
Bitte um Korrektur
mfg raG ^^
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:34 Do 29.12.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo raG!
Dieses Ergebnis entspricht ja exakt meinem genannten Ergebnis:
$r \ = \ [mm] \bruch{t-7}{2t^2 - 14t} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{\blue{t-7}}{2t*(\blue{t-7})} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{2t}$
[/mm]
Bei dieser Umformung zuvor muss man aber auch noch den Fall $t \ =\ 7$ untersuchen (denn sonst würde man durch $0_$ teilen, was bekanntermaßen verboten ist).
Und der Fall $t \ = \ 7$ ergibt eine allgemeingültige Gleichung; hier liegt die Gerade also in der Ebene.
Der Fall $t \ = \ 0$ ist bereits von Anfang an ausgeschlossen worden, da sich in diesem Falle keine (eindeutige) Gerade durch [mm] $A_t$ [/mm] und [mm] $B_t$ [/mm] beschreiben ließe.
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:44 Do 29.12.2005 | | Autor: | raG |
Hallo,
Tatsächlich! Das Ergebnis war gleich. Hätte ich auch gleich sehen müssen :)
Vielen dank für ihre Hilfe und die Zeit die Sie investierten. Wünsche noch einen schönen Tag :)
grüße raG
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:48 Do 29.12.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo raG!
Keine Ursache ... gern geschehen.
Übrigens darfst Du hier innerhalb des MatheRaumes alle duzen
(sonst fühle ich mich doch so ![[old]](/images/smileys/old.gif "[old]") ..).
Gruß
Loddar
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