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Gemeinsame Wahrscheinlichkeit: Inverse einer gemeinsamen Wahr
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:54 Mo 01.02.2016
Autor: tbbas123

Aufgabe
X und Y seien die zufälligen Wartezeiten [in Minuten] von zwei Kunden A und B, die an
unterschiedlichen Kassen stehen. Wir nehmen an, dass X und Y stochastisch unabhängig
und jeweils exponentialverteilt mit Parameter 0.5 sind.

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens ein Kunde länger als 4 Minuten warten muss?


Laut Lösung: P(max(X, Y ) > 4) = 1 − P(X ≤ 4, Y ≤ 4) = 1 − P(X ≤ 4) · P(Y ≤ 4)

aus vorherigen Teil erhält man: P(X > 4, Y > 4) = P(X > 4) · P(Y > 4) = e
−4 = 0.018.

Mein Gedanke war es eigentlich mit P(A U B) zu lösen also P(X> 4 U Y>4) da für mich
die inverse der gemeinsamen verteilung keinen Sinn macht. (ich weiß: Denkfehler hier!)
Für mich wäre die Inverse das Ereignis: "beide Kunden müssen länger als 4 Minuten warten"

Kann mir hier jemand auf den Sprung helfen?

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.


        
Bezug
Gemeinsame Wahrscheinlichkeit: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:14 Mo 01.02.2016
Autor: fred97

Mindestens ein Kunde muss länger als 4 Minuten warten:

X >4 oder Y>4.

Das dazu "inverse" Ereignis: kein Kunde muss länger als 4 Minuten warten, also



X [mm] \le [/mm] 4 und Y [mm] \le [/mm] 4

FRED

Bezug
                
Bezug
Gemeinsame Wahrscheinlichkeit: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:18 Mo 01.02.2016
Autor: tbbas123

@fred : stimme dir zu. Aber erklärt noch nicht die Antwort laut Musterlösung, dass nach deiner

"Das dazu "inverse" Ereignis: kein Kunde muss länger als 4 Minuten warten, also
X $ [mm] \le [/mm] $ 4 und Y $ [mm] \le [/mm] $ 4 "

ist nach Lösung nämlich die Lösung für ein Kunde!

Bezug
                        
Bezug
Gemeinsame Wahrscheinlichkeit: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:54 Mo 01.02.2016
Autor: Teufel

Hi!

Was ist jetzt genau die Frage?

Also es gilt
[mm] $\textrm{P}(\max(X,Y)\ge 4)=\textrm{P}(\{X\ge 4\} \cup \{Y\ge 4\})\stackrel{\textrm{DeMorgan}}{=}\textrm{P}((\{X\ge 4\}^c \cap\{Y\ge 4\}^c)^c)=\ldots$. [/mm]

Bezug
                        
Bezug
Gemeinsame Wahrscheinlichkeit: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:10 Mo 01.02.2016
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

> @fred : stimme dir zu. Aber erklärt noch nicht die Antwort
> laut Musterlösung, dass nach deiner
>
> "Das dazu "inverse" Ereignis: kein Kunde muss länger als 4
> Minuten warten, also
> X [mm]\le[/mm] 4 und Y [mm]\le[/mm] 4 "
>  
> ist nach Lösung nämlich die Lösung für ein Kunde!

Nein. Fred sagt: Die Lösung zu "ein Kunde muss länger als vier Minuten warten" ist das Inverse zu "kein Kunde muss länger als vier Minuten warten".

Und exakt das erhält man auch aus der Musterlösung.

Vielleicht ist dir auch nicht klar, dass gilt: [mm] $\max\{X,Y\} [/mm] > 4 [mm] \quad\gdw\quad [/mm] X>4 [mm] \;\vee\; [/mm] Y>4$

Gruß,
Gono

Bezug
                                
Bezug
Gemeinsame Wahrscheinlichkeit: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:18 Mo 01.02.2016
Autor: tbbas123

Danke erstmal noch für die Antworten!
Die Lösungsmöglichkeit ergibt jetzt für mich Sinn.
Ich denke mir ist noch nicht ganz klar wieso ich
das ganze nicht mit P(X>4 oder Y>4) hätte lösen können.


Bezug
                                        
Bezug
Gemeinsame Wahrscheinlichkeit: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:05 Mo 01.02.2016
Autor: Teufel

Hi!

Kannst du doch!

Wenn X>4 oder Y>4, so ist auch deren Maximum >4. Wenn deren Maximum >4 ist, so muss X>4 oder Y>4 sein.

Bezug
                                                
Bezug
Gemeinsame Wahrscheinlichkeit: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:26 Mi 03.02.2016
Autor: tbbas123

Stimmt. Hatte da einen Rechenfehler.
Meine Frage wäre nur noch ein Vorstellungsproblem, dass max(X>4,Y>4) = P(X>4 oder Y<4) entspricht. (versuche es mengentechnisch vorzustellen...klappt aber noch nicht so ganz)

Bezug
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