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Geometrische Reihe : Numerisch Zerlegen
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:19 Fr 19.11.2004
Autor: Es_press

Hallo,

mir fehlt der letzte Kniff, um eine Reihe mit einem k-Abschnitt in eine Rechenvorschrift mit etwa k/2 Multiplikationen, die keine Division
enthält  umzuschreiben.
Reihe :
g(x) = [mm] 1+x+x^2+x^3+....+x^k [/mm]    k aus den natürlichen Zahlen

Ansatz 1:
Die Summenformel bildet die geometrische Reihe:
[mm] \summe_{k=0}^{n} x^k [/mm] = (1-x^(n+1))/(1-x)

Leider hat man aber eine Division ...

Ansatz 2:
Man kann z.B: [mm] x^2 [/mm] als :
[mm] \summe_{n=1}^{x} [/mm] 2n-1

bzw. : [mm] \summe_{n=1}^{x} [/mm] n+n-1

Für [mm] 3^2 [/mm] würde sich z.B: 1+3+5 = 9 ergeben

Man könnte sich ähnliche Formeln überlegen für [mm] x^3,x^4 [/mm] usw.
Allerdings soll die Rechenvorschrift einfach sein, was hierbei nicht mehr der
Fall wäre.
Kann man hier vereinfachen oder gibt es noch ganz andere Möglichkeiten ?

Gruß,
Es_press





Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Geometrische Reihe : Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:07 So 21.11.2004
Autor: Hugo_Sanchez-Vicario

Hallo Es_press,

ich kenne keine Methode, die mit k/2 Multiplikationen auskommt. Allerdings funktioniert deine Methode mit der Summe nur für x aus den natürlichen Zahlen. [mm](1,5)^2[/mm] kannst du damit nicht berechnen.

Ein effizienter Algorithmus zum Berechnen von Funktionswerten von Polynomen ist das sogenannte Horner-Schema.

Statt die Potenzen von z.B. [mm]f(x)=2x^3-3x^2+4x-6[/mm] klammert man um und erhält:
[mm]f(x)=((2\cdot x-3)\cdot x+4)\cdot x-6[/mm]

Offensichtlich kommt man bei einem Polynom k-ten Grades mit genau k Multiplikationen und k Additionen aus.

Du hast das Polynom [mm]1x^k+\dots\+1x^2+1x+1[/mm] und daraus wird
[mm](\dots(1\cdot x+1)+1)\cdot x+1)\cdot x+1)\cdot x+1[/mm]

Probier es doch mal aus fur x=1 und x=2 mit verschiedenen Werten für k. Im ersten Fall müsste [mm]k+1[/mm], im zweiten [mm]2^{k+1}-1[/mm] rauskommen.

Hugo

Bezug
                
Bezug
Geometrische Reihe : Danke an alle Beteteiligten ..
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 00:22 Di 23.11.2004
Autor: Es_press

... besonderer Dank an Hugo.

Gruß,
Espress

Bezug
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