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Forum "VK 29: Oberstufenmathematik" - Gerade und Strecke
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Gerade und Strecke: anal. Geom. der Geraden
Status: (Übungsaufgabe) Übungsaufgabe Status 
Datum: 17:58 Di 30.12.2008
Autor: argl

Aufgabe

Prüfen Sie ob sich die Gerade g durch die Punkte A und B und die
Strecke CD schneiden !

a) $A [mm] \vektor{1 \\ 2 \\ 1} [/mm]  B [mm] \vektor{0 \\ 3 \\ 3} [/mm] C [mm] \vektor{2 \\ 5 \\ 3} [/mm] D [mm] \vektor{-4 \\ 5 \\ 9}$ [/mm]

b) $A [mm] \vektor{3 \\ 3 \\ 1} [/mm]  B [mm] \vektor{2 \\ 2 \\ 0} [/mm] C [mm] \vektor{6 \\ 5 \\ 3} [/mm] D [mm] \vektor{8 \\ 6 \\ 4}$ [/mm]



        
Bezug
Gerade und Strecke: Aufgabe 1
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:00 So 26.04.2009
Autor: Schachschorsch56

a)A [mm] \vektor{1 \\ 2 \\ 1} [/mm] B [mm] \vektor{0 \\ 3 \\ 3} [/mm] C [mm] \vektor{2 \\ 5 \\ 3} [/mm] D [mm] \vektor{-4 \\ 5 \\ 9} [/mm]

Zuerst stelle ich die Geradengleichung g (mit den Punkten A und B), dann die Geradengleichung h (mit den Punkten C und D) auf. Dann setze ich die Geradengleichungen gleich, um einen Schnittpunkt S zu ermitteln. Wenn die Skalare [mm] \lambda [/mm] und [mm] \mu [/mm] je einen Wert ergeben, gibt es einen Schnittpunkt S. Wenn zusätzlich gilt: 0 [mm] \le \mu \le [/mm] 1, dann liegt S auf  [mm] \overline{CD} [/mm] !

[mm] g:\vec{x}=\vektor{1 \\ 2 \\ 1}+\lambda\vektor{-1 \\ 1 \\ 2} [/mm]

[mm] h:\vec{x}=\vektor{2 \\ 5 \\ 3}+\mu\vektor{-6 \\ 0 \\ 6} [/mm]

Schnittpunkt [mm] S(S_1|S_2|S_3)=\vec{S}=\vektor{S_1 \\ S_2 \\ S_3} [/mm] wird durch Gleichsetzen der Geradengleichungen ermittelt:

[mm] \vektor{S_1 \\ S_2 \\ S_3}=\vektor{1 \\ 2 \\ 1}+\lambda\vektor{-1 \\ 1 \\ 2}=\vektor{2 \\ 5 \\ 3}+\mu\vektor{-6 \\ 0 \\ 6} [/mm]

als LGS geschrieben:

I 1 - [mm] \lambda [/mm] = 2 - [mm] 6\mu [/mm]
II 2 + [mm] \lambda [/mm] = 5 + [mm] 0\mu \Rightarrow \lambda [/mm] = 3 eingesetzt in I und III
III 1 + [mm] 2\lambda [/mm] = 3 + [mm] 6\mu [/mm]

ergibt:
I 1 - 3 = 2 - [mm] 6\mu \Rightarrow \mu [/mm] = [mm] \bruch{2}{3} [/mm]
II 1 + 6 = 3 + [mm] 6\mu \Rightarrow \mu [/mm] = [mm] \bruch{2}{3} [/mm]


Damit gibt es einen Schnittpunkt S, der auf g und wegen 0 [mm] \le \mu \le [/mm] 1 auch auf [mm] \overline{CD} [/mm] liegt !

Den genauen Wert von S brauchte man laut Aufgabenstellung nicht ermitteln !

b)A [mm] \vektor{3 \\ 3 \\ 1} [/mm] B [mm] \vektor{2 \\ 2 \\ 0} [/mm] C [mm] \vektor{6 \\ 5 \\ 3} [/mm] D [mm] \vektor{8 \\ 6 \\ 4} [/mm]

Vorgehensweise wie bei Aufgabe a):

[mm] g:\vec{x}=\vektor{3 \\ 3 \\ 1}+\lambda\vektor{-1 \\ -1 \\ -1} [/mm]

[mm] h:\vec{x}=\vektor{6 \\ 5 \\ 3}+\mu\vektor{2 \\ 1 \\ 1} [/mm]

[mm] \vektor{S_1 \\ S_2 \\ S_3}=\vektor{3 \\ 3 \\ 1}+\lambda\vektor{-1 \\ -1 \\ -1}=\vektor{6 \\ 5 \\ 3}+\mu\vektor{2 \\ 1 \\ 1} [/mm]

als LGS geschrieben:

I 3 - [mm] \lambda [/mm] = 6 + [mm] 2\mu [/mm]
II 3 - [mm] \lambda [/mm] = 5 + [mm] \mu [/mm]
III 1 - [mm] \lambda [/mm] = 3 + [mm] \mu \Rightarrow \mu [/mm] = - 2 [mm] -\lambda [/mm] setze in I und II ein:

I 3 - [mm] \lambda [/mm] = 6 - 4 - [mm] 2\lamda \Rightarrow \lambda [/mm] = -1 [mm] \Rightarrow \mu [/mm] = -1

Damit gibt es zwar einen Schnittpunkt (von g und h) S. Dieser liegt aber wegen [mm] \mu [/mm] < 0 nicht auf [mm] \overline{AB} [/mm]

Schorsch

Bezug
                
Bezug
Gerade und Strecke: Aufgabe a.)
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:08 So 26.04.2009
Autor: Loddar

Hallo Schorsch!


> Zuerst stelle ich die Geradengleichung g (mit den Punkten A
> und B), dann die Geradengleichung h (mit den Punkten C und
> D) auf. Dann setze ich die Geradengleichungen gleich, um
> einen Schnittpunkt S zu ermitteln. Wenn die Skalare [mm]\lambda[/mm]
> und [mm]\mu[/mm] je einen Wert ergeben, gibt es einen Schnittpunkt
> S. Wenn zusätzlich gilt: 0 [mm]\le \mu \le[/mm] 1, dann liegt S auf  
> [mm]\overline{CD}[/mm] !

[ok] korrekt!


> ergibt:
>  I 1 - 3 = 2 - [mm]6\mu \Rightarrow \mu[/mm] = [mm]\bruch{2}{3}[/mm]
>  II 1 + 6 = 3 + [mm]6\mu \Rightarrow \mu[/mm] = [mm]\bruch{2}{3}[/mm]

[ok]


> Damit gibt es einen Schnittpunkt S, der auf g und wegen 0
> [mm]\le \mu \le[/mm] 1 auch auf [mm]\overline{CD}[/mm] liegt !

[ok]

  

> Den genauen Wert von S brauchte man laut Aufgabenstellung
> nicht ermitteln !

[ok]


Gruß
Loddar


Bezug
                
Bezug
Gerade und Strecke: Aufgabe b.)
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:12 So 26.04.2009
Autor: Loddar

Hallo Schorsch!


[ok] Korrekt gelöst.


Gruß
Loddar


Bezug
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