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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:58 Sa 05.04.2014 | | Autor: | hase-hh |
| Aufgabe | Ein Geräteschuppen hat ein Dach...
gegeben sind die Punkte der Dachfläche :
F [mm] \vektor{4 \\ 4 \\ 2}, [/mm] G [mm] \vektor{0 \\ 4 \\ 2}, [/mm] E [mm] \vektor{4 \\ 0 \\ 3}, [/mm] H [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 3}
[/mm]
a) Ermitteln Sie eine Koordinatengleichung der Ebene E...
c) Zwischen den Punkten P (15 / -4 / 6,1) und Q (-3 / 2 / 4,6) zweier Strommasten ist ein geradlinig verlaufendes Kabel gespannt.
Zeigen Sie, dass das Kabel das Dach überquert.
Meine eigentliche Frage ist, wie kann man zeigen (oder widerlegen), dass das Stromkabel nicht nur oberhalb von E verläuft, sondern dass es die Dachfläche überquert??? |
Moin, also
zu a) Ich stelle die Parameterform von E auf:
[mm] \vec{a} [/mm] = [mm] \vektor{4 \\ 0 \\ 3} +r*\vektor{0 \\ 4 \\ -1} +s*\vektor{-4 \\ 0 \\ 0}
[/mm]
dann die Normalenform
[mm] \vec{n} [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ 4 \\ -1} [/mm] x [mm] \vektor{-4 \\ 0 \\ 0}
[/mm]
[mm] \vec{n} [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ 4 \\ 16}
[/mm]
[mm] (\vec{x} [/mm] - [mm] \vektor{4 \\ 0 \\ 3})*\vektor{0 \\ 4 \\ 16} [/mm] =0
[mm] 4*x_2 [/mm] + [mm] 16*x_3 [/mm] - 48 = 0
zu c) Ich stelle die Geradengleichung g auf:
[mm] \vec{x} [/mm] = [mm] \vektor{15 \\ -4 \\ 6,1} +r*\vektor{-18 \\ 6 \\ -1,5}
[/mm]
Da [mm] \vec{u}*\vec{n} [/mm] = [mm] \vektor{-18 \\ 6 \\ -1,5}*\vektor{0 \\ 4 \\ 16} [/mm] = 0
ist g parallel zu E.
Der Abstand von g zu E berechent sich daher zb.
[mm] d(\vektor{15 \\ -4 \\ 6,1},E) [/mm] = [mm] \bruch{4*(-4)+16*6,1-48}{\wurzel{0^2+4^2+16^2}} \approx [/mm] 2,0373
Damit habe ich gezeigt, dass die Gerade zu der Ebene einen Abstand von 2,0373 LE hat... aber...
Meine eigentliche Frage ist, wie kann man zeigen (oder widerlegen), dass das Stromkabel nicht nur oberhalb von E verläuft, sondern dass es die Dachfläche überquert???
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Die 4 Punkte FGEH bilden ja die Eckpunkte des Dachs. Also Sind die 4 Kanten zwischen den Punkten die Ränder des Dachs. Das Dach hat (sofern ich das richtig sehe) 4 Kanten (3 hätten aber auch schon genügt, aber es sind halt 4). Du bildest einfach die Geradengleichung einer dieser Dachkanten und mißt den Abstand zwischen der Kabelgeraden und der Dachkantengeraden (dazu mußt du die Fußpunkte der beiden Geraden bestimmen und zeigen, daß diese denselben Abstand haben wie Kabelgerade und Dachebene). Es muß derselbe Abstand rauskommen wie zwischen der Dachebene und der Kabelgeraden. Damit wäre aber theoretisch noch nicht gezeigt, daß das Kabel das Dach überquert, denn es könnte ja noch sein, daß die Kabelgerade zur Dachkantengerade zufällig parallel ist. Die Parallelität kann aber ausgeschlossen werden - und dafür gibt es 3 Wege das zu zeigen:
EINFACHER BEWEIS: Es existieren ja nur 2 Fußpunkte zwischen Kabelgeraden und Dachkantengerade. Wären sie zueinander parallel, wären es [mm] \infty [/mm] viele, also keine Parallelität.
UMSTÄNDLICHER BEWEIS: Alternativ könnte man argumentieren, daß die Vektoren der Dachkantengeraden und der Kabelgeraden linear unabhängig sind (z.B. durch das Skalarprodukt), also bestimmt nicht parallel, also haben die Geraden, sofern sie aufeinander verschoben worden wären und einen Schnittpunkt hätten, bestimmt keinen Winkel von 0° oder 180°, sondern irgendeinen anderen, also überquert die Kabelgerade das Dach.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:56 Sa 05.04.2014 | | Autor: | Fulla |
Hallo hase-hh!
> Moin, also
>
> zu a) Ich stelle die Parameterform von E auf:
>
> [mm]\vec{a}[/mm] = [mm]\vektor{4 \\ 0 \\ 3} +r*\vektor{0 \\ 4 \\ -1} +s*\vektor{-4 \\ 0 \\ 0}[/mm]
>
>
> dann die Normalenform
>
> [mm]\vec{n}[/mm] = [mm]%5Cvektor%7B0%20%5C%5C%204%20%5C%5C%20-1%7D[/mm] x [mm]\vektor{-4 \\ 0 \\ 0}[/mm]
>
> [mm]\vec{n}[/mm] = [mm]\vektor{0 \\ 4 \\ 16}[/mm]
>
> [mm](\vec{x}[/mm] - [mm]\vektor{4 \\ 0 \\ 3})*\vektor{0 \\ 4 \\ 16}[/mm] =0
>
> [mm]4*x_2[/mm] + [mm]16*x_3[/mm] - 48 = 0
>
>
>
> zu c) Ich stelle die Geradengleichung g auf:
>
> [mm]\vec{x}[/mm] = [mm]\vektor{15 \\ -4 \\ 6,1} +r*\vektor{-18 \\ 6 \\ -1,5}[/mm]
>
>
> Da [mm]\vec{u}*\vec{n}[/mm] = [mm]%5Cvektor%7B-18%20%5C%5C%206%20%5C%5C%20-1%2C5%7D*%5Cvektor%7B0%20%5C%5C%204%20%5C%5C%2016%7D[/mm]
> = 0
>
> ist g parallel zu E.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Alles richtig!
> Der Abstand von g zu E berechent sich daher zb.
>
> [mm]d(\vektor{15 \\ -4 \\ 6,1},E)[/mm] =
> [mm]\bruch{4*(-4)+16*6,1-48}{\wurzel{0^2+4^2+16^2}} \approx[/mm]
> 2,0373
>
> Damit habe ich gezeigt, dass die Gerade zu der Ebene einen
> Abstand von 2,0373 LE hat... aber...
>
> Meine eigentliche Frage ist, wie kann man zeigen (oder
> widerlegen), dass das Stromkabel nicht nur oberhalb von E
> verläuft, sondern dass es die Dachfläche überquert???
Betrachte die Situation "von oben":
[Dateianhang nicht öffentlich]
Berechne den Punkt, wo die Gerade direkt über der x-Achse liegt (in der Skizze mit A bezeichnet). Betrachte seine [mm] $x_1$- [/mm] und [mm] $x_2$-Koordinaten [/mm] und vergleiche mit H und E.
Genauso kannst du den Punkt der Geraden bestimmen, der direkt über der y-Achse liegt.
Du wirst feststellen, dass die Punkte A und B innerhalb bzw. über den Dachkanten liegen.
Alternativ reicht vielleicht schon die Zeichnung als Begründung...
Lieben Gruß,
Fulla
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:34 Sa 05.04.2014 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> Ein Geräteschuppen hat ein Dach...
>
> gegeben sind die Punkte der Dachfläche :
>
> F [mm]\vektor{4 \\ 4 \\ 2},[/mm] G [mm]\vektor{0 \\ 4 \\ 2},[/mm] E [mm]\vektor{4 \\ 0 \\ 3},[/mm]
> H [mm]\vektor{0 \\ 0 \\ 3}[/mm]
>
> a) Ermitteln Sie eine Koordinatengleichung der Ebene E...
>
> c) Zwischen den Punkten P (15 / -4 / 6,1) und Q (-3 / 2 /
> 4,6) zweier Strommasten ist ein geradlinig verlaufendes
> Kabel gespannt.
>
> Zeigen Sie, dass das Kabel das Dach überquert.
>
>
> Meine eigentliche Frage ist, wie kann man zeigen (oder
> widerlegen), dass das Stromkabel nicht nur oberhalb von E
> verläuft, sondern dass es die Dachfläche überquert???
> Moin, also
> [...]
> Meine eigentliche Frage ist, wie kann man zeigen (oder
> widerlegen), dass das Stromkabel nicht nur oberhalb von E
> verläuft, sondern dass es die Dachfläche überquert???
>
Ich denke, und da stimme ich Fulla voll zu, dass du das ganze in ein zweidimensonales Problem überführen kannst.
Das Dach liegt ja zwischen 2m und 3m hoch, das Kabel zwischen 6,10m und 4,6m, die Höhe ist also vernachlässigbar.
Daher kannst du mal schauen, ob die Gerade durch [mm] P_{z}(15|-4) [/mm] und [mm] Q_{z}(-3|2) [/mm] das Quadrat durch die Punkte [mm] E_{z}(4|0) F_{z}(4|4) [/mm] G(4|0) und [mm] H_{z}(0|0) [/mm] schneidet.
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:09 Sa 05.04.2014 | | Autor: | hase-hh |
Moin Marius,
müsste G nicht [mm] \vektor{0 \\ 4} [/mm] sein?!
Ich mach mal einen Versuch...
Mir ist zwar noch nicht ganz klar, warum man die [mm] x_3-Koordinaten [/mm] komplett weglassen kann; E ist doch nicht parallel zur [mm] x_1x_2-Ebene? [/mm] Aber ok.
Ich würde zunächst die Geradengleichung g (für das Stromkabel) aufstellen:
g [mm] \vec{x} [/mm] = [mm] \vektor{15\\-4} [/mm] + [mm] r*\vektor{-18 \\ 6}
[/mm]
Dann die Geraden zweier Dachkanten...
[mm] h_{HE}: [/mm]
[mm] \vec{x} [/mm] = [mm] \vektor{0\\0} [/mm] + [mm] s*\vektor{4 \\ 0}
[/mm]
[mm] i_{HG}: [/mm]
[mm] \vec{x} [/mm] = [mm] \vektor{0\\0} [/mm] + [mm] t*\vektor{0 \\ 4}
[/mm]
Dann die Schnittpunkte berechnen...
I. g und h
[mm] \vektor{15\\-4} [/mm] + [mm] r*\vektor{-18 \\ 6} [/mm] = [mm] \vektor{0\\0} [/mm] + [mm] s*\vektor{4 \\ 0}
[/mm]
15 -18r = 4s
-4 +6r = 0
=> r = [mm] \bruch{2}{3} [/mm] s = [mm] \bruch{3}{4}
[/mm]
Schlussfolgerung: weil 0 [mm] \le [/mm] s [mm] \le [/mm] 1 liegt der Schnittpunkt auf der Seite HE.
II. g und i
[mm] \vektor{15\\-4} [/mm] + [mm] r*\vektor{-18 \\ 6} [/mm] = [mm] \vektor{0\\0} [/mm] + [mm] t*\vektor{0 \\ 4}
[/mm]
15 -18r = 0
-4 +6r = 4t
=> r = [mm] \bruch{5}{6} [/mm] t = [mm] \bruch{1}{4} [/mm]
Schlussfolgerung: weil 0 [mm] \le [/mm] t [mm] \le [/mm] 1 liegt der Schnittpunkt auf der Seite HG.
[Lägen die Schnittpunkte außerhalb der Seiten, müsste ich noch die anderen beiden Dachkanten betrachten...]
Ist das so richtig?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:56 Sa 05.04.2014 | | Autor: | chrisno |
Das sieht gut aus. Ich habe nicht nachgerechnet, sondern nur auf die Zeichnung geschaut. Zu den Schnittpunkten die ich da sehe, passen Deine Ergebnisse. Die [mm] $x_3$ [/mm] Koordinate kann man weglassen, weil mit dem Begriff "über" in diesem Fall in [mm] $x_3$-Richtung [/mm] über gemeint ist und nicht "schräg in Richtung der Dachnormalen über". Da Du die Frage formuliert hast, bist Du derjenige, der entscheidet, welche Version Du willst. Ich halte für den normalen Sprachgebrauch die Definition: "leg dich hin und schau senkrecht nach oben" für die übliche Anweisung. Wenn man der Normalen der Dachschräge folgt, dann könnte etwas Über dem Dach sein, obwohl es nur hoch neben dem Dach ist.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:12 Sa 05.04.2014 | | Autor: | Fulla |
Hallo nochmal, Hase!
Stell dir vor, die Sonne steht im Zenit und wirft ihr Licht senkrecht nach unten - also aus der [mm]x_3[/mm]-Richtung.
Das Stromkabel verläuft genau dann über der Dachfläche, wenn es einen Schatten vom Kabel auf dem Dach gibt.
Du kannst dich auch in einen Hubschrauber setzen und von oben auf das Dach gucken...
Und genau das betrachtest du, wenn du die [mm]x_3[/mm]-Komponente weglässt. Es handelt sich um eine Projektion (in die [mm]x_1-x_2[/mm]-Ebene).
Du musst die [mm] $x_3$-Komponente [/mm] übrigens gar nicht weglassen. Du kannst auch im Dreidimensionalen rechnen, aber die "Höhe" ist in sofern egal, weil du ja schon weißt, dass die Gerade und die Ebene parallel zueinander sind. Es ist also egal, in welcher Höhe das Kabel über dem Dach verläuft, interessant ist nur, ob es über dem Dach verläuft.
Die Punkte A und B in meiner Skizze lieben übrigens bei A(3|0|5,1) und B(0|1|4,85).
Lieben Gruß,
Fulla
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:51 Sa 05.04.2014 | | Autor: | Sax |
Hi,
wenn ich weiß, dass das Kabel in einem Abstand von 2m parallel zum Dach verläuft, muss ich nur noch gucken, ob 2m über oder 2m unter dem Dach.
Das hört sich nicht sehr schwierig an.
Es faehlt allerdings bis jetzt der Nachweis, dass die Punkte ein ebenes Viereck bilden, bzw. dass G in der betrachteten Ebene liegt.
Gruß Sax.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:50 Sa 05.04.2014 | | Autor: | hase-hh |
Tut mir leid, das war nicht meine eigentliche Frage.
Dass das Stromkabel über dem Dach verläuft, kann man m.E. schon aus den [mm] x_3-Koordinaten [/mm] von P und Q ersehen (und natürlich, dass g parallel zu E ist).
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