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Gesamtzahl Funktionen A -> B: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:43 Do 30.07.2015
Autor: MatheSckell

Aufgabe
Gegeben sind die Mengen A = {1, 2, 3} und B = {a, b, c}.
Ist die folgende Aussage wahr oder falsch?
Die Gesamtzahl der Funktionen von A nach B ist 81.

Ich bin auf die Lösung 162 gekommen, und zwar folgendermaßen:

Ich habe mir die Mengen A und B als Urnen vorgestellt. Hier ziehe ich immer zuerst aus A eine Zahl ohne Zurücklegen. Anschließend ziehe ich einen Buchstaben aus B mit Zurücklegen. Diesen Vorgang wiederhole ich 3 Mal. Dann müsste ich eine mögliche Funktion haben.
Stimmt das soweit?

So ergibt sich für das erste "Pärchen" eine Anzahl von 3*3 Möglichkeiten (Ich habe drei Kugeln aus A und 3 Kugeln aus B zur Auswahl.
Für das zweite Pärchen nur noch 2*3 Möglichkeiten. (2 aus A, 3 aus B)
Für das dritte folglich 1*3.
Jetzt würde ich rechnen 3*3 * 2*3 * 1*3 = 162 Möglichkeiten insgesamt.
Das würde bedeuten 81 ist falsch, es gibt nämlich 162 Funktionen von A nach B.

Liege ich richtig? Wenn nein, was mache ich falsch?

        
Bezug
Gesamtzahl Funktionen A -> B: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:38 Do 30.07.2015
Autor: hippias

Wenn Du so vorgehst, dann fehlt etwas. Es spielt naemlich keine Rolle, in wecher Reihenfolge Du die Elemente aus $A$ waehlst. Folglich muesste Deine Anzahl durch die Anzahl der Anordnungsmoeglichkeiten der Elemente aus $A$ - dies sind $6$ - geteilt werden.

Eine andere Vorgehensweise: Fuer $1$ gibt es drei Bilder, ebenso fuer die anderen Zahlen. Das macht [mm] $3\cdot 3\cdot [/mm] 3$ Moeglichkeiten.

Bezug
                
Bezug
Gesamtzahl Funktionen A -> B: Rückfrage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:10 Do 30.07.2015
Autor: MatheSckell

Deine Grafik wird bei mir nicht richtig dargestellt.
Ich wollte sowieso eine Rückfrage stellen, weil ich eben auch einen ähnlichen Gedanken hatte:
Die erste "Urne" ist ja (wie du schon gesagt hast) eigentlich egal.
D.h. ich kann nur "ziehen mit Zurücklegen" aus B.
Also gibt es z.B. die Kombinationen:
a,a,a
b,b,b
c,c,c
a,a,b
a,b,a
...
Und anschließend kombiniere ich das erste Element aus B mit 1, das zweite mit 2, das dritte mit 3 und habe dann also alle Funktionen.
Das wären [mm] 3^3 [/mm]  = 162:6 = 27 Möglichkeiten.

Ist das jetzt richtig?

PS: Vielen Dank für die schnelle Antwort!

Bezug
                        
Bezug
Gesamtzahl Funktionen A -> B: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:16 Do 30.07.2015
Autor: tobit09

Hallo MatheSckell!


> Deine Grafik wird bei mir nicht richtig dargestellt.
>  Ich wollte sowieso eine Rückfrage stellen, weil ich eben
> auch einen ähnlichen Gedanken hatte:
>  Die erste "Urne" ist ja (wie du schon gesagt hast)
> eigentlich egal.
> D.h. ich kann nur "ziehen mit Zurücklegen" aus B.
>  Also gibt es z.B. die Kombinationen:
>  a,a,a
>  b,b,b
>  c,c,c
>  a,a,b
>  a,b,a
>  ...
>  Und anschließend kombiniere ich das erste Element aus B
> mit 1, das zweite mit 2, das dritte mit 3 und habe dann
> also alle Funktionen.
>  Das wären [mm]3^3[/mm]  = 162:6 = 27 Möglichkeiten.
>
> Ist das jetzt richtig?

[ok] Ja!


Viele Grüße
Tobias

Bezug
                        
Bezug
Gesamtzahl Funktionen A -> B: einfacher
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:07 Do 30.07.2015
Autor: HJKweseleit

Für eine Funktion f musst du jedem Element aus A genau ein Element aus B zuweisen.

Der 1 kannst du a, b oder c zuweisen (3 Mgl.),
dann der 2 ebenfalls a, b oder c (3 Mgl.)
und der 3 ebenfalls a, b oder c (3 Mgl.).

Somit gibt es nach den Gesetzen der Kombinatorik 3*3*3=27 Mgl.

Bezug
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