Gesetze der Mengenlehre < Mengenlehre < Logik+Mengenlehre < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:49 Di 23.09.2008 | | Autor: | itse |
| Aufgabe 1 | Stellen Sie mit Hilfe der Gesetze der Mengenlehre folgende Mengen möglichst einfach dar (dabei seien A, B und C beliebige Mengen in einer Grundmenge G).
(i) $M = [mm] ((A\cap B)\cup (\bar{A}\cap B))\cup (A\cap \bar{B})$
[/mm]
(ii) $N = [mm] [(A\cap (\bar{A}\cup B))\cup (B\cap (B\cup C))]\cup [B\cap [/mm] C]$ |
| Aufgabe 2 | Ein Meinungsforscher teilt seinem Chef das Ergebnis einer Umfrage über die Beliebtheit von Bier und Wein mit:
Anzahl der Befragten: 99
Biertrinker: 75
Weintrinker: 68
Bier- und Weintrinker: 42
Warum erhält der Mann seine Kündigung? |
Hallo Zusammen,
zur 1(i), hab ich folgendes:
$M = [mm] ((A\cap B)\cup (\bar{A}\cap B))\cup (A\cap \bar{B}) [/mm] = [mm] (B\cap (A\cup\bar{A}))\cup (A\cap\bar{B}) [/mm] = [mm] (B\cap 1)\cup (A\cap\var{B}) [/mm] = [mm] B\cup (A\cap\bar{B}) [/mm] = [mm] (B\cup A)\cap (B\cup\bar{B}) [/mm] = [mm] (A\cup B)\cap [/mm] w = [mm] (A\cup [/mm] B)$
$N = [mm] [(A\cap (\bar{A}\cup B))\cup (B\cap (B\cup C))]\cup [B\cap [/mm] C] = [mm] [((A\cap\bar{A})\cup (A\cap B)\cup ((B\cap B)\cup (B\cap C))]\cup (B\cap [/mm] C) = [f [mm] \cup (A\cap B)\cup (\red ?)]\cup (B\cap [/mm] C)$
Ich weiß nicht, wie ich den Term: [mm] $(B\cap B)\cup (B\cap [/mm] C)$ weiter umformen kann? Ich habe dazu nichts gefunden.
2. Die Grundmenge G = Alle die an der Umfrage teilgenommen haben = 99
B = Menge der Biertrinker = 75
W = Menge der Weintrinker = 68
[mm] B\cap [/mm] W = Menge der Bier- und Weintrinker = 42
Das bedeutet, 42 Menschen haben sowohl für die Biertrinker als auch für die Weintrinker gestimmt. Damit man nun die Menge der Bier- bzw. Weintrinker enthält, die sich für eines der beiden entschieden haben, muss man die 42 jeweils abziehen:
B \ [mm] B\cap [/mm] W = 75 - 42 = 33
W \ [mm] B\cap [/mm] W = 68 - 42 = 26
Somit hat man die Anzahl der Befragten, die jeweils nur für eine Gruppe gestimmt haben. Um nun die Gesamtanzahl der Befragten zu erhalten, muss folgendes addiert werden:
B \ [mm] B\cap [/mm] W + W \ [mm] B\cap [/mm] W + [mm] B\cap [/mm] W = 33+26+42 = 101
Somit stimmt die Gesamtanzahl der Befragten nicht, oder täusche ich mich da?
Gruß
itse
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:57 Di 23.09.2008 | | Autor: | abakus |
> Stellen Sie mit Hilfe der Gesetze der Mengenlehre folgende
> Mengen möglichst einfach dar (dabei seien A, B und C
> beliebige Mengen in einer Grundmenge G).
>
> (i) [mm]M = ((A\cap B)\cup (\bar{A}\cap B))\cup (A\cap \bar{B})[/mm]
>
> (ii) [mm]N = [(A\cap (\bar{A}\cup B))\cup (B\cap (B\cup C))]\cup [B\cap C][/mm]
>
> Ein Meinungsforscher teilt seinem Chef das Ergebnis einer
> Umfrage über die Beliebtheit von Bier und Wein mit:
>
> Anzahl der Befragten: 99
> Biertrinker: 75
> Weintrinker: 68
> Bier- und Weintrinker: 42
>
> Warum erhält der Mann seine Kündigung?
> Hallo Zusammen,
>
> zur 1(i), hab ich folgendes:
>
> [mm]M = ((A\cap B)\cup (\bar{A}\cap B))\cup (A\cap \bar{B}) = (B\cap (A\cup\bar{A}))\cup (A\cap\bar{B}) = (B\cap 1)\cup (A\cap\var{B}) = B\cup (A\cap\bar{B}) = (B\cup A)\cap (B\cup\bar{B}) = (A\cup B)\cap w = (A\cup B)[/mm]
>
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> [mm]N = [(A\cap (\bar{A}\cup B))\cup (B\cap (B\cup C))]\cup [B\cap C] = [((A\cap\bar{A})\cup (A\cap B)\cup ((B\cap B)\cup (B\cap C))]\cup (B\cap C) = [f \cup (A\cap B)\cup (\red ?)]\cup (B\cap C)[/mm]
>
> Ich weiß nicht, wie ich den Term: [mm](B\cap B)\cup (B\cap C)[/mm]
> weiter umformen kann? Ich habe dazu nichts gefunden.
>
Beachte: [mm] (B\cap [/mm] B) IST B.
Gruß Abakus
Ach so, die letzte Aufgabe hast du richtig.
>
> 2. Die Grundmenge G = Alle die an der Umfrage teilgenommen
> haben = 99
>
> B = Menge der Biertrinker = 75
> W = Menge der Weintrinker = 68
> [mm]B\cap[/mm] W = Menge der Bier- und Weintrinker = 42
>
> Das bedeutet, 42 Menschen haben sowohl für die Biertrinker
> als auch für die Weintrinker gestimmt. Damit man nun die
> Menge der Bier- bzw. Weintrinker enthält, die sich für
> eines der beiden entschieden haben, muss man die 42 jeweils
> abziehen:
>
> B \ [mm]B\cap[/mm] W = 75 - 42 = 33
> W \ [mm]B\cap[/mm] W = 68 - 42 = 26
>
> Somit hat man die Anzahl der Befragten, die jeweils nur für
> eine Gruppe gestimmt haben. Um nun die Gesamtanzahl der
> Befragten zu erhalten, muss folgendes addiert werden:
>
> B \ [mm]B\cap[/mm] W + W \ [mm]B\cap[/mm] W + [mm]B\cap[/mm] W = 33+26+42 = 101
>
> Somit stimmt die Gesamtanzahl der Befragten nicht, oder
> täusche ich mich da?
>
> Gruß
> itse
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:10 Di 23.09.2008 | | Autor: | itse |
> > Stellen Sie mit Hilfe der Gesetze der Mengenlehre folgende
> > Mengen möglichst einfach dar (dabei seien A, B und C
> > beliebige Mengen in einer Grundmenge G).
> >
> > (ii) [mm]N = [(A\cap (\bar{A}\cup B))\cup (B\cap (B\cup C))]\cup [B\cap C][/mm]
> >
> > Warum erhält der Mann seine Kündigung?
Hallo,
(ii)
> > [mm]N = [(A\cap (\bar{A}\cup B))\cup (B\cap (B\cup C))]\cup [B\cap C] = [((A\cap\bar{A})\cup (A\cap B)\cup ((B\cap B)\cup (B\cap C))]\cup (B\cap C) = [f \cup (A\cap B)\cup (\red ?)]\cup (B\cap C)[/mm]
>
> >
> > Ich weiß nicht, wie ich den Term: [mm](B\cap B)\cup (B\cap C)[/mm]
> > weiter umformen kann? Ich habe dazu nichts gefunden.
> >
> Beachte: [mm](B\cap[/mm] B) IST B.
Nur wenn ich dies anwende, hab ich mich einmal im Kreis gedreht, dann steht dort wieder [mm] $B\cup (B\cap [/mm] C) = [mm] (B\cup B)\cap (B\cup [/mm] C) = [mm] B\cap (B\cup [/mm] C)$. Dies war die Anfangsdarstellung. Als Lösung soll B rauskommen.
Vielen Dank
itse
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Hallo itse!
> > > Ich weiß nicht, wie ich den Term: [mm](B\cap B)\cup (B\cap C)[/mm]
> > > weiter umformen kann? Ich habe dazu nichts gefunden.
> > >
> > Beachte: [mm](B\cap[/mm] B) IST B.
>
> Nur wenn ich dies anwende, hab ich mich einmal im Kreis
> gedreht, dann steht dort wieder [mm]B\cup (B\cap C) = (B\cup B)\cap (B\cup C) = B\cap (B\cup C)[/mm].
> Dies war die Anfangsdarstellung. Als Lösung soll B
> rauskommen.
Da kommt auch B raus:
[mm] $(B\cap B)\cup (B\cap C)=B\cup(B\cap [/mm] C)=B$
Denn B geschnitten mit sich selbst ist natürlich ganz B, und wenn du ganz B mit etwas vereinigst, was ein Teil von B ist (denn [mm] $B\cap [/mm] C$ ist natürlich ein Teil von B), dann kommt da ganz B raus. Klar?
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:54 Di 23.09.2008 | | Autor: | itse |
Hallo,
dieses Venn-Diagramm:
[Dateianhang nicht öffentlich]
müsste diesen Fall [mm] (B\cap [/mm] C) darstellen, also diejenigen Elemente x aus G, die sowohl in B als auch in C liegen. Und diese Schnittmenge wird nun mit B vereinigt, also diejenigen Elemente x aus G, die entweder in B oder in [mm] B\cap [/mm] C liegen. Und somit ergibt sich als Lösung die ganze Menge B, oder? Ich weiß aber nicht, wie ich das Diagramm auszusehen hat, damit dies komplett dargestellt wird.
Gruß
itse
Dateianhänge:
Anhang Nr. 2 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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> Hallo,
>
> dieses Venn-Diagramm müsste den obengenannten Fall
> darstellen?
>
> ![[a]](/images/paperclip.gif "Dateianhänge") [Bild Nr. 1 (fehlt/gelöscht)]
>
>
>
Hallo,
was ist der obengenannte Fall?
Vielleicht schreibst Du den Sachverhalt dazu.
Das Diagramm verstehe ich nicht - obgleich mir solche Ballondiagramme durchaus bekannt sind.
Da ist ja zweimal die Menge B - aber die beiden Mengen B sind verschieden. Komisch.
Gruß v. Angela
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:55 Di 23.09.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo itse,
ich umgehe jetzt mal die Venn-Diagramme, wer mag', kann ja mit ihnen arbeiten, ich mag' sie eher, um eine Idee zu bekommen (oder um "Rechenregeln für Mengen" für mich auf die Schnelle zu kontrollieren, wenn ich sie gerade nicht nachschlagen kann), nicht aber, um sie für Beweise zu benutzen:
Wenn behauptet wird:
$(B [mm] \cap [/mm] B) [mm] \cup [/mm] (B [mm] \cap [/mm] C)=B$, so kannst Du Dir das folgendermaßen erklären:
Zuerst erinnere Dich:
[mm] $(\star)$ [/mm] Für Mengen [mm] $\black{R},S$ [/mm] gilt: [mm] $\black{R}=S$ [/mm] genau dann [mm] ($\gdw$), [/mm] wenn sowohl $R [mm] \subseteq [/mm] S$ als auch $S [mm] \subseteq [/mm] R$.
Hier:
Klar ist erst mal, dass $B [mm] \cap [/mm] B=B$, denn:
Einerseits: Für jedes $x [mm] \in [/mm] B$ [mm] $\Rightarrow$ [/mm] $x [mm] \in [/mm] B$ und $x [mm] \in [/mm] B$, also $x [mm] \in [/mm] B [mm] \cap [/mm] B$, also gilt $B [mm] \subseteq [/mm] (B [mm] \cap [/mm] B)$.
Andererseits: Für alle $x [mm] \in [/mm] (B [mm] \cap [/mm] B)$ gilt $x [mm] \in [/mm] B$ und $x [mm] \in [/mm] B$, also $x [mm] \in [/mm] B$ und damit auch $(B [mm] \cap [/mm] B) [mm] \subseteq [/mm] B$.
Wegen [mm] $\Leftarrow$ [/mm] in [mm] $(\star)$ [/mm] gilt also $B [mm] \cap [/mm] B=B$. Also können wir schonmal schreiben:
$(B [mm] \cap [/mm] B) [mm] \cup [/mm] (B [mm] \cap [/mm] C)=B [mm] \cup [/mm] (B [mm] \cap [/mm] C)$.
Ferner habt ihr sicher die Rechenregel $R [mm] \cup [/mm] (S [mm] \cap [/mm] T)=(R [mm] \cup [/mm] S) [mm] \cap [/mm] (R [mm] \cup [/mm] T)$ für Mengen [mm] $\black{R},S,T$ [/mm] bewiesen.
(Und wie macht man das? Genau, man zeigt, dass sowohl $(R [mm] \cup [/mm] (S [mm] \cap [/mm] T)) [mm] \subseteq [/mm] ((R [mm] \cup [/mm] S) [mm] \cap [/mm] (R [mm] \cup [/mm] T))$ als auch $((R [mm] \cup [/mm] S) [mm] \cap [/mm] (R [mm] \cup [/mm] T)) [mm] \subseteq [/mm] ((R [mm] \cup [/mm] (S [mm] \cap [/mm] T))$ gilt.)
Wenn wir das oben anwenden, folgt mit den bisherigen Erkenntnissen:
$(B [mm] \cap [/mm] B) [mm] \cup [/mm] (B [mm] \cap [/mm] C)=B [mm] \cup [/mm] (B [mm] \cap [/mm] C)=(B [mm] \cup [/mm] B) [mm] \cup [/mm] (B [mm] \cap C)\,.$
[/mm]
Dass nun $B [mm] \cup [/mm] B=B$ gilt, ist trivial (bzw. Du weißt nun auch sicher, wie Du es mithilfe von [mm] $(\star)$ [/mm] zu beweisen hättest, wenn man dafür wirklich einen Beweis sehen will).
Also:
$(B [mm] \cap [/mm] B) [mm] \cup [/mm] (B [mm] \cap [/mm] C)=B [mm] \cup [/mm] (B [mm] \cap [/mm] C)=(B [mm] \cup [/mm] B) [mm] \cup [/mm] (B [mm] \cap [/mm] C)=B [mm] \cup [/mm] (B [mm] \cap C)\,.$
[/mm]
Und jetzt kann man behaupten:
$B [mm] \cup [/mm] (B [mm] \cap C)=B\,.$
[/mm]
(Die Gleichung $B [mm] \cup [/mm] (B [mm] \cap [/mm] C)=B$ ist eigentlich auch trivial, wenn man sich klarmacht, dass $B [mm] \cap [/mm] C [mm] \subseteq [/mm] B$ gilt.
Allgemein gilt nämlich:
Ist $R [mm] \subseteq [/mm] S$, so ist $S [mm] \cup [/mm] R=S$ (der Beweis dazu liefe wieder mit [mm] $(\star)$).)
[/mm]
Ich rechne jetzt dennoch mal nur mit [mm] $(\star)$:
[/mm]
Behauptung:
$B [mm] \cup [/mm] (B [mm] \cap [/mm] C)=B$.
Beweis:
Wegen [mm] $(\star)$ [/mm] haben wir zwei Fragen zu beantworten, und nur, wenn beide mit "Ja!" beantwortet werden, stimmt die Behauptung:
1.) Gilt $(B [mm] \cup [/mm] (B [mm] \cap [/mm] C)) [mm] \subset [/mm] B$?
2.) Gilt $B [mm] \subseteq [/mm] (B [mm] \cup [/mm] (B [mm] \cap [/mm] C))$?
Zu 1.):
Für jedes $x [mm] \in [/mm] (B [mm] \cup [/mm] (B [mm] \cap [/mm] C))$ gilt: [mm] $x\in [/mm] B$ oder $x [mm] \in [/mm] (B [mm] \cap [/mm] C)$. Also gilt insbesondere $x [mm] \in [/mm] B$ für jedes $x [mm] \in [/mm] (B [mm] \cup [/mm] (B [mm] \cap [/mm] C))$. Die Frage 1.) darf also mit "Ja!" beantwortet werden.
Zu 2.)
Für jedes $x [mm] \in [/mm] B$ folgt natürlich: $x [mm] \in [/mm] B$ oder: $x [mm] \in [/mm] B$ und $x [mm] \in [/mm] C$. (Das liegt an der Definition von "oder" in der Aussagenlogik.)
Also: Für alle $x [mm] \in [/mm] B [mm] \Rightarrow [/mm] x [mm] \in [/mm] (B [mm] \cup [/mm] (B [mm] \cap [/mm] C))$. Also ist auch 2.) mit "Ja!" zu beantworten.
Damit ist die Behauptung bewiesen.
Gruß,
Marcel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:18 Di 23.09.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo nochmal,
> Hallo,
>
> dieses Venn-Diagramm:
>
> [Dateianhang nicht öffentlich]
>
> müsste diesen Fall [mm](B\cap[/mm] C) darstellen, also diejenigen
> Elemente x aus G, die sowohl in B als auch in C liegen.
Ja, wenn Du meinetwegen die linke Menge [mm] $\black{B}$ [/mm] und die rechte [mm] $\black{C}$ [/mm] nennst. Die Mengen müssen natürlich nicht "so schön (fast) deckungsgleich" sein 
> Und
> diese Schnittmenge wird nun mit B vereinigt, also
> diejenigen Elemente x aus G, die entweder in B oder in
> [mm]B\cap[/mm] C liegen.
Das ist sprachlich falsch ausgedrückt. Wenn man [mm] $\black{B}$ [/mm] mit $B [mm] \cap [/mm] C$ vereinigt, so entsteht eine Menge, die genau aus den Elementen besteht, die in $B$ oder in $B [mm] \cap [/mm] C$ liegen. Beachte, dass das Wort oder im mathematischen Sinne kein ausschließendes oder, also:
oder [mm] $\not=$ [/mm] entweder oder.
Beachte bitte:
$R [mm] \cup S=\{x: x \in R \text{ oder } x \in S\}$, [/mm] und:
$(R [mm] \cup [/mm] S) [mm] \setminus [/mm] (R [mm] \cap S)=\{x: \text{Entweder }x \in R \text{ oder }x \in S\}$.
[/mm]
Wenn Du sagst, ein Element [mm] $\black{x}$ [/mm] liegt entweder in [mm] $\black{R}$ [/mm] oder in [mm] $\black{S}$, [/mm] so kann es nicht sein, dass [mm] $\black{x}$ [/mm] gleichzeitig zu [mm] $\black{R}$ [/mm] und [mm] $\black{S}$ [/mm] gehört. Wenn Du sagst: Es ist $x [mm] \in [/mm] R$ oder $x [mm] \in [/mm] S$, so kann es durchaus sein, dass $x [mm] \in [/mm] (R [mm] \cap [/mm] S)$, also dass [mm] $\black{x}$ [/mm] sowohl zu [mm] $\black{R}$ [/mm] als auch zu [mm] $\black{S}$ [/mm] gehört.
> Und somit ergibt sich als Lösung die ganze
> Menge B, oder? Ich weiß aber nicht, wie ich das Diagramm
> auszusehen hat, damit dies komplett dargestellt wird.
Naja, Du siehst doch, dass $(B [mm] \cap [/mm] C) [mm] \subseteq [/mm] B$. Die Elemente der Menge $B [mm] \cap [/mm] C$ sind also eh schon Elemente, die in [mm] $\black{B}$ [/mm] liegen. Wenn man sie dann noch in [mm] $\black{B}$ [/mm] aufnimmt, ändert sich an der Menge [mm] $\black{B}$ [/mm] nichts.
Gruß,
Marcel
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![[kopfkratz]](/images/smileys/kopfkratz.gif "[kopfkratz]"){kind=small}
