matheraum.de
Raum für Mathematik
Offene Informations- und Nachhilfegemeinschaft

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Mathe
  Status Schulmathe
    Status Primarstufe
    Status Mathe Klassen 5-7
    Status Mathe Klassen 8-10
    Status Oberstufenmathe
    Status Mathe-Wettbewerbe
    Status Sonstiges
  Status Hochschulmathe
    Status Uni-Analysis
    Status Uni-Lin. Algebra
    Status Algebra+Zahlentheo.
    Status Diskrete Mathematik
    Status Fachdidaktik
    Status Finanz+Versicherung
    Status Logik+Mengenlehre
    Status Numerik
    Status Uni-Stochastik
    Status Topologie+Geometrie
    Status Uni-Sonstiges
  Status Mathe-Vorkurse
    Status Organisatorisches
    Status Schule
    Status Universität
  Status Mathe-Software
    Status Derive
    Status DynaGeo
    Status FunkyPlot
    Status GeoGebra
    Status LaTeX
    Status Maple
    Status MathCad
    Status Mathematica
    Status Matlab
    Status Maxima
    Status MuPad
    Status Taschenrechner

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
StartseiteMatheForenUni-NumerikGewichtete Normen
Foren für weitere Schulfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Informatik • Physik • Technik • Biologie • Chemie
Forum "Uni-Numerik" - Gewichtete Normen
Gewichtete Normen < Numerik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Uni-Numerik"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Gewichtete Normen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:38 Di 16.09.2008
Autor: jumape

Aufgabe
Bei vorgegebenem Vektor w mit [mm] w_i>0 [/mm] ist durch [mm] \parallel [/mm] x [mm] \parallel_w [/mm] = [mm] max_{1\le i\le N} \bruch{1}{w_i}\summe_{k=1}^{N}lm_{ik}lw_k [/mm] eine Vektormorm definiert. Zeigen Sie dass die zugeordnete Matrixnorm für Matrizen durch [mm] llMll_w=max_{1 \le i \le n} \bruch{1}{w_i} \summe_{k=1}^{N}lm_{ik}lw_k [/mm] gegeben ist.

Also die eine Richtung kriege ich hin ich kann nicht zeigen , dass [mm] max_{llxll_w=1}llMxll_w\gellMll_w [/mm]

        
Bezug
Gewichtete Normen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:59 Mi 17.09.2008
Autor: angela.h.b.


> Bei vorgegebenem Vektor w mit [mm]w_i>0[/mm] ist durch [mm]\parallel[/mm] x  [mm]\parallel_w[/mm] = [mm][mm] max_{1\le i\le N} \bruch{|x_i|}{w_i} [/mm]
> eine Vektormorm definiert.
> Zeigen Sie dass die zugeordnete
> Matrixnorm für Matrizen durch [mm]\parallel M\parallel _w=max_{1 \le i \le N} \bruch{1}{w_i} \summe_{k=1}^{N}|m_{ik}|w_k[/mm]
> gegeben ist.

>  Also die eine Richtung kriege ich hin ich kann nicht
> zeigen , dass [mm]max_{\parallel x\parallel _w=1}\parallel Mx\parallel _w \ge \parallel M\parallel _w[/mm]  

Hallo,

erstmal habe ich mir erlaubt, Deine Aufgabe so umzuarbeiten, wie sie vermutlich gestellt wurde.

Dir ist also klar, daß Du zeigen willst

[mm] \parallel M\parallel_w=\max_{\parallel x\parallel _w=1}\parallel Mx\parallel_w \le \max_{1 \le i \le N} \bruch{1}{w_i} \summe_{k=1}^{N}|m_{ik}|w_k \le \parallel M\parallel_w=\max_{\parallel x\parallel _w=1}\parallel Mx\parallel_w, [/mm]

und Dein Problem liegt beim rechten Teil der Ungleichung.


Bedenke folgendes: [mm] \bruch{1}{w_i}\summe_{k=1}^{N}|m_{ik}||x_k|= \bruch{1}{w_i}\summe_{k=1}^{N}w_k |m_{ik}|\bruch{|x_k|}{w_k}, [/mm]

und über [mm] \bruch{|x_k|}{w_k} [/mm] weißt Du ja was.

Gruß v. Angela







Bezug
                
Bezug
Gewichtete Normen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:19 Di 23.09.2008
Autor: jumape

Danke für den Tip, aber ehrlich gesagt komme ich nicht so richtig weiter. Man nimmt die Matrixnorm von der Matrix M und multipliziert sie mit der Vektornorm eines Vektors, der Norm 1 hat, aber dann hakt es bei mir, wo werde ich denn da größer? Ich schreibs einfach mal hin:
[mm] \parallel M\parallel_w=max_{1\lei\leN} \bruch{1}{w_i} \summe_{k=1}^{N}|m_{ik}| w_k *max_{1 \le i \le N}\bruch{|x_i|}{w_i} [/mm] aber dann weiß ich leider nicht wie ich das jetzt größer machen kann, denn wenn man das max weg nimmt bei der vektornorm, dann wirds doch kleiner.
Es wäre nett wenn mir nochmal jemand helfen könnte.

Bezug
                        
Bezug
Gewichtete Normen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:35 Mi 24.09.2008
Autor: angela.h.b.


> Danke für den Tip, aber ehrlich gesagt komme ich nicht so
> richtig weiter. Man nimmt die Matrixnorm von der Matrix M
> und multipliziert sie mit der Vektornorm eines Vektors, der
> Norm 1 hat,

Hallo,

Du betrachtest jetzt

[mm] \parallel M\parallel_w= \max_{\parallel x\parallel_w = 1}\parallel Mx\parallel_w, [/mm]

Du hast bisher festgestellt

[mm] \parallel Mx\parallel_w= \max_{1\le i\le N} \bruch{1}{w_i}\summe_{k=1}^{N}|m_{ik}||x_k|=\max_{1\le i\le N} \bruch{1}{w_i}\summe_{k=1}^{N}w_k |m_{ik}|\bruch{|x_k|}{w_k}. [/mm]

Nun sollst Du aber ja [mm] \max_{\parallel M\parallel_w = 1}\parallel Mx\parallel_w [/mm]  anschauen, also hast Du

[mm] \parallel M\parallel_w =\max_{ \parallel x\parallel_w = 1}\parallel Mx\parallel_w=\max_{ \parallel x\parallel_w = 1}\max_{1\le i\le N} \bruch{1}{w_i}\summe_{k=1}^{N}w_k |m_{ik}|\bruch{|x_k|}{w_k} [/mm]

Wir betrachten hier nur die x, deren Norm =1 ist, erhalten also

$ [mm] \parallel M\parallel_w =\max_{ \parallel x\parallel_w = 1}\parallel Mx\parallel_w=\max_{ \parallel x\parallel_w = 1}\max_{1\le i\le N} \bruch{1}{w_i}\summe_{k=1}^{N}w_k |m_{ik}|\bruch{|x_k|}{w_k} [/mm] $ [mm] \le \max_{1\le i\le N} \bruch{1}{w_i}\summe_{k=1}^{N}w_k |m_{ik}| [/mm]

Gruß v. Angela

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Uni-Numerik"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.matheraum.de
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]