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Gewinnfunktion Extremstellen: Aufgabe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:37 Mo 27.05.2013
Autor: Joxe

Aufgabe
Ein Betrieb kann einen seiner Artikel zu einem Preis von 14,00 € je Stück verkaufen. Bei der Herstellung entfallen täglich 200,00 € fixe Kosten auf diesen Artikel. Werden täglich weniger als 20 Stück oder mehr als 100 Stück produziert, dann arbeitet die Firma mit Verlust.

a) Die Gesamtkostenkurve ist eine Parabel 2. Ordnung. Bestimmen Sie ihre Gleichung und zeichnen Sie ihren Graph zusammen mit dem der Erlösfunktion in ein Koordinatensystem (10 Stück [mm] \hat= [/mm] 1 cm; 100 € [mm] \hat= [/mm] 1 cm).

b) Berechnen Sie den maximalen Gewinn und die dazugehörigen Herstellungskosten je Stück.

c) Durch besondere Umstände erhöhen sich die fixen Kosten um 65%. Es ergibt sich durch die neue Kostenfunktion mit der Gleichung:

K2(x) = 0,1 [mm] x_{2} [/mm] + 2 x + 330

Der Firma gelingt es, durch Änderung deer täglichen Produktionsmenge und Erhöhung des Preises einen maximalen Gewinn von 160,00 € zu erzielen. Wie hoch ist der neue Preis? Welche Menge produziert sie jetzt?

Kann mir jemand einen Tipp für die Aufgabe c) geben?

a) Als Gesamtkostenkurve habe ich die Funktion: K(x) = 0,1 [mm] x_{2} [/mm] + 2x + 200
Die Erlös Funktion lautet: E(x) = 14 x

b) Meine Gewinnfunktion lautet: G(x) = -0,1 [mm] x_{2} [/mm] +12 x -200
Das Maximum liegt bei: HP (60 Stk. / 160 €)
also ergibt sich ein maximaler Gewinn von 160 € bei einer Herstellung von 60 Stk.
Die dazugehörigen Herstellungskosten betragen 680 €.

c) Hier bin ich gescheitert.
Mein Ansatz war: Gewinn = Erlös - Kosten
also: G(x) = E2(x) - K2(x)
umgestellt: E2(x) = G(x) + K2(x)
E2(x) = (-0,1 [mm] x_{2} [/mm] + 12 x -200) + (0,1 [mm] x_{2} [/mm] + 2 x + 330)
E2(x) = 14 x + 130

G(x) ist die ermittelte Gewinnfunktion aus Aufgabe b)
E2(x) ist die neue Erlösfunktion
K2(x) ist die neue Kostenfunktion

Doch jetzt weiß ich nicht wie ich den Preis ermittel und eine Produktionsmenge kann ich auch noch nicht bestimmen!?

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Gewinnfunktion Extremstellen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:54 Mo 27.05.2013
Autor: meili

Hallo,
> Ein Betrieb kann einen seiner Artikel zu einem Preis von
> 14,00 € je Stück verkaufen. Bei der Herstellung
> entfallen täglich 200,00 € fixe Kosten auf diesen
> Artikel. Werden täglich weniger als 20 Stück oder mehr
> als 100 Stück produziert, dann arbeitet die Firma mit
> Verlust.
>  
> a) Die Gesamtkostenkurve ist eine Parabel 2. Ordnung.
> Bestimmen Sie ihre Gleichung und zeichnen Sie ihren Graph
> zusammen mit dem der Erlösfunktion in ein
> Koordinatensystem (10 Stück [mm]\hat=[/mm] 1 cm; 100 € [mm]\hat=[/mm] 1
> cm).
>  
> b) Berechnen Sie den maximalen Gewinn und die
> dazugehörigen Herstellungskosten je Stück.
>  
> c) Durch besondere Umstände erhöhen sich die fixen Kosten
> um 65%. Es ergibt sich durch die neue Kostenfunktion mit
> der Gleichung:
>  
> K2(x) = 0,1 [mm]x_{2}[/mm] + 2 x + 330
>  
> Der Firma gelingt es, durch Änderung deer täglichen
> Produktionsmenge und Erhöhung des Preises einen maximalen
> Gewinn von 160,00 € zu erzielen. Wie hoch ist der neue
> Preis? Welche Menge produziert sie jetzt?
>  Kann mir jemand einen Tipp für die Aufgabe c) geben?
>  
> a) Als Gesamtkostenkurve habe ich die Funktion: K(x) = 0,1
> [mm]x_{2}[/mm] + 2x + 200
>  Die Erlös Funktion lautet: E(x) = 14 x
>  
> b) Meine Gewinnfunktion lautet: G(x) = -0,1 [mm]x_{2}[/mm] +12 x
> -200
>  Das Maximum liegt bei: HP (60 Stk. / 160 €)
>  also ergibt sich ein maximaler Gewinn von 160 € bei
> einer Herstellung von 60 Stk.
>  Die dazugehörigen Herstellungskosten betragen 680 €.
>  
> c) Hier bin ich gescheitert.
>  Mein Ansatz war: Gewinn = Erlös - Kosten
>  also: G(x) = E2(x) - K2(x)
>  umgestellt: E2(x) = G(x) + K2(x)
>  E2(x) = (-0,1 [mm]x_{2}[/mm] + 12 x -200) + (0,1 [mm]x_{2}[/mm] + 2 x +
> 330)
>  E2(x) = 14 x + 130
>  
> G(x) ist die ermittelte Gewinnfunktion aus Aufgabe b)
>  E2(x) ist die neue Erlösfunktion
>  K2(x) ist die neue Kostenfunktion

Es muss eine neue Gewinnfunktion betrachtet werden:
[mm] $G_2(x) [/mm] = [mm] E_2(x) [/mm] - [mm] K_2(x)$ [/mm]
[mm] $K_2(x)$ [/mm] ist in der Aufgabe angegeben: [mm] $K_2(x) [/mm] = [mm] 0,1x^2 [/mm] + 2x + 330$
[mm] $E_2(x) [/mm] = p*x$ mit p: Preis je Stück

Bestimmt werden soll x und p, im Maximum von [mm] $G_2(x)$, [/mm]
da die Firma einen maximalen Gewinn von 160 € erzielt.

Dafür hast Du 2 Gleichungen:
[mm] $G_2(x) [/mm] = 160$ (mit den Termen für [mm] $E_2(x)$ [/mm] und [mm] $K_2(x)$ [/mm] eingesetzt)
und
[mm] $G_2'(x) [/mm] = 0$ ( 1.Ableitung gleich Null, Bedingung für Maximum)

(Am besten 2. Gleichung nach x auflösen und in die 1. Gleichung einsetzen;
gibt eine quadratische Gleichung für p.

>  
> Doch jetzt weiß ich nicht wie ich den Preis ermittel und
> eine Produktionsmenge kann ich auch noch nicht bestimmen!?
>  
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.

Gruß
meili

Bezug
                
Bezug
Gewinnfunktion Extremstellen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:02 Mi 29.05.2013
Autor: Joxe

Danke für den Lösungsansatz.
Allerdings erhalte ich mehrere Ergebnisse, bei denen ich nicht weiß, welches das zutreffende ist:
Eigentlich weiß ich das ja über die 2. Ableitung!?

Gewinnfunktion: G2(x) = px - [mm] 0,1x_{2} [/mm] + 2x + 330

Gleichungssystem:

I   160 = px - 0,1 [mm] x_{2} [/mm] + 2x + 330
II  0 = p - 0,2x + 2

Lösungen:
x1 = 41,23 = -41,23 * i
x2 = -41,23 = 41,23 * i
p1 = 6,25 = -2 - 8,25 * i
p2 = -10,25 = -2 + 8,25 * i

2. Ableitung nach p abgeleitet: G''2(x) = 1
2. Ableitung nach x abgeleitet: G''2(x) = -0,2


Was habe ich falsch gemacht? Außerdem irritiert mich das "i" als immaginäre Einheit, kann das überhaupt stimmen?

Bezug
                        
Bezug
Gewinnfunktion Extremstellen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:27 Mi 29.05.2013
Autor: MathePower

Hallo Joxe,

> Danke für den Lösungsansatz.
>  Allerdings erhalte ich mehrere Ergebnisse, bei denen ich
> nicht weiß, welches das zutreffende ist:
>  Eigentlich weiß ich das ja über die 2. Ableitung!?
>  
> Gewinnfunktion: G2(x) = px - [mm]0,1x_{2}[/mm] + 2x + 330
>  


Die Gewinnfunktion muss so lauten:

[mm]G2(x) = px - \blue{(}0,1x^{2} + 2x + 330\blue{)}[/mm]


> Gleichungssystem:
>  
> I   160 = px - 0,1 [mm]x_{2}[/mm] + 2x + 330
>  II  0 = p - 0,2x + 2

>


Das korrigierte Gleichungssystem lautet dann:

I   [mm]160 = px - \left(0,1 x^{2} + 2x + 330\right)[/mm]
II [mm]0 = p - \left(0,2x + 2\right)[/mm]
  

> Lösungen:
>  x1 = 41,23 = -41,23 * i
>  x2 = -41,23 = 41,23 * i
>  p1 = 6,25 = -2 - 8,25 * i
>  p2 = -10,25 = -2 + 8,25 * i
>  
> 2. Ableitung nach p abgeleitet: G''2(x) = 1
>  2. Ableitung nach x abgeleitet: G''2(x) = -0,2
>  
>
> Was habe ich falsch gemacht? Außerdem irritiert mich das
> "i" als immaginäre Einheit, kann das überhaupt stimmen?


Nein, das stimmt nicht.


Gruss
MathePower

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