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Gibt es eine reelle Zahl: Tipp
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:14 Do 04.07.2013
Autor: aspire949

Aufgabe
Sei U [mm] \subset \IR^n [/mm] eine offene Teilmenge und f: U -> [mm] \IR [/mm] eine differenzierbare Funktion. Seien [mm] x_{0} [/mm] und [mm] x_{0}+h [/mm] zwei Punkte in U, so daß [mm] x_{0}+th \in [/mm] U für alle [mm] 0\le [/mm] t [mm] \le1. [/mm]
Zeigen Sie: Es gibt eine reelle Zahl 0 [mm] \le \nu \le [/mm] 1, so daß gilt: [mm] f(x_{0}+h)-f(x_{0}) [/mm] = [mm] D_(x_{0}+\nu*h)*h [/mm]

Kann mir jemand einen Tipp geben wie ich da anfangen soll.



        
Bezug
Gibt es eine reelle Zahl: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:18 Do 04.07.2013
Autor: fred97


> Sei U [mm]\subset \IR^n[/mm] eine offene Teilmenge und f: U -> [mm]\IR[/mm]
> eine differenzierbare Funktion. Seien [mm]x_{0}[/mm] und [mm]x_{0}+h[/mm]
> zwei Punkte in U, so daß [mm]x_{0}+th \in[/mm] U für alle [mm]0\le[/mm] t
> [mm]\le1.[/mm]
> Zeigen Sie: Es gibt eine reelle Zahl 0 [mm]\le \nu \le[/mm] 1, so
> daß gilt: [mm]f(x_{0}+h)-f(x_{0})[/mm] = [mm]D_(x_{0}+\nu*h)*h[/mm]
>  Kann mir jemand einen Tipp geben wie ich da anfangen soll.


Für t [mm] \in [/mm] [0,1] setze

    [mm] g(t):=f(x_0+th). [/mm]

Dann ist [mm] f(x_0+h)-f(x_0)=g(1)-g(0) [/mm]

Jetzt Mittelwertsatz.

FRED

>
>  


Bezug
                
Bezug
Gibt es eine reelle Zahl: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:06 Do 04.07.2013
Autor: aspire949

Hallo Fred,

also im Prinzip soll ich doch nur zeigen, dass es auf dem Graphen der Funktion mindestens einen Punkt [mm] f(x_{0}) [/mm] gibt. Auf dem Intervall [0,1], habe ich eine Sekante und parallel dazu auf dem Punkt [mm] f(x_{0}) [/mm] eine Tangente. D.h. der Anstieg von Sekante und Tangente ist in diesem Punkt gleich.


[mm] \frac{g(1)-g(0)}{1-0} [/mm] = [mm] \frac{g(1)-g(0)}{1} [/mm] = g(1)-g(0)= [mm] f(x_{0})+h [/mm] - [mm] f(x_{0}) [/mm]

Bezug
                        
Bezug
Gibt es eine reelle Zahl: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:09 Do 04.07.2013
Autor: fred97


> Hallo Fred,
>
> also im Prinzip soll ich doch nur zeigen, dass es auf dem
> Graphen der Funktion mindestens einen Punkt [mm]f(x_{0})[/mm] gibt.

Das ist doch kompletter Unsinn !!

Du sollst zeigen:

Es gibt eine reelle Zahl 0 $ [mm] \le \nu \le [/mm] $ 1, so daß gilt: $ [mm] f(x_{0}+h)-f(x_{0}) [/mm] $ = $ [mm] D_(x_{0}+\nu\cdot{}h)\cdot{}h [/mm] $


Wie Du das machen kannst , habe ich Dir gesagt: wende auf g den MWS an.

FRED


> Auf dem Intervall [0,1], habe ich eine Sekante und parallel
> dazu auf dem Punkt [mm]f(x_{0})[/mm] eine Tangente. D.h. der Anstieg
> von Sekante und Tangente ist in diesem Punkt gleich.

Was soll das Geschwafel ?

FRED

>
>
> [mm]\frac{g(1)-g(0)}{1-0}[/mm] = [mm]\frac{g(1)-g(0)}{1}[/mm] = g(1)-g(0)=
> [mm]f(x_{0})+h[/mm] - [mm]f(x_{0})[/mm]  


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