matheraum.de
Raum für Mathematik
Offene Informations- und Nachhilfegemeinschaft

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Mathe
  Status Schulmathe
    Status Primarstufe
    Status Mathe Klassen 5-7
    Status Mathe Klassen 8-10
    Status Oberstufenmathe
    Status Mathe-Wettbewerbe
    Status Sonstiges
  Status Hochschulmathe
    Status Uni-Analysis
    Status Uni-Lin. Algebra
    Status Algebra+Zahlentheo.
    Status Diskrete Mathematik
    Status Fachdidaktik
    Status Finanz+Versicherung
    Status Logik+Mengenlehre
    Status Numerik
    Status Uni-Stochastik
    Status Topologie+Geometrie
    Status Uni-Sonstiges
  Status Mathe-Vorkurse
    Status Organisatorisches
    Status Schule
    Status Universität
  Status Mathe-Software
    Status Derive
    Status DynaGeo
    Status FunkyPlot
    Status GeoGebra
    Status LaTeX
    Status Maple
    Status MathCad
    Status Mathematica
    Status Matlab
    Status Maxima
    Status MuPad
    Status Taschenrechner

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
StartseiteMatheForenWahrscheinlichkeitstheorieGleichgrad Integrierbar
Foren für weitere Schulfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Deutsch • Englisch • Französisch • Latein • Spanisch • Russisch • Griechisch
Forum "Wahrscheinlichkeitstheorie" - Gleichgrad Integrierbar
Gleichgrad Integrierbar < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Wahrscheinlichkeitstheorie"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Gleichgrad Integrierbar: Konvergenz in WK.
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:57 Fr 26.05.2017
Autor: mathestudent222

Aufgabe
Seien [mm] $U_n,T_n$ [/mm] Zufallsvariablen, wobei [mm] $U_n$ [/mm] in Wahrscheinlichkeit gegen $a$ konvergiert und die Familie [mm] $(T_n)$ [/mm] gleichgradig integrierbar ist.

Wie kann ich formal zeigen, dass dann [mm] $T_n(U_n-a)$ [/mm] in Wahrscheinlichkeit gegen $0$ konvergiert?

        
Bezug
Gleichgrad Integrierbar: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:41 So 28.05.2017
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

die Folge [mm] T_n [/mm] ist gleichgradig integrierbar und damit gilt:

[mm] $\lim_{c\to\infty} \sup_{n\in\IN} \int_{\{|T_n| > c\}} |T_n| [/mm] dP = 0$

Insbesondere gilt daher erst recht: [mm] $c\sup_{n\in\IN}P(T_n [/mm] > c) [mm] \to [/mm] 0$ für [mm] $c\to\infty$ [/mm]

Damit ergibt sich:

$P( [mm] |T_n(U_n [/mm] - a)| [mm] \ge \varepsilon) [/mm] = P( [mm] |T_n(U_n [/mm] - a)| [mm] \ge \varepsilon, |T_n| [/mm] > c) + [mm] P(|T_n(U_n [/mm] - a)| [mm] \ge \varepsilon, |T_n| \le [/mm] c) [mm] \le P(|T_n| [/mm] > c) + [mm] P(c|U_n [/mm] -a| [mm] \ge \varepsilon) \le \sup_{n\in\IN} P(|T_n| [/mm] > c) + [mm] P(|U_n [/mm] -a| [mm] \ge \tilde\varepsilon)$ [/mm]
mit $ [mm] \tilde\varepsilon [/mm] = [mm] \frac{\varepsilon}{c}$ [/mm]

Zu zeigen ist, dass $P( [mm] |T_n(U_n [/mm] - a)| [mm] \ge \varepsilon) [/mm]  < [mm] \delta$ [/mm] für beliebes [mm] $\delta [/mm] > 0$ und n groß genug.
Wähle [mm] $c\in\IR$ [/mm] nun so groß, dass [mm] $\sup_{n\in\IN} P(|T_n| [/mm] > c) < [mm] \frac{\delta}{2}$ [/mm] (warum existiert das?) und n ausreichend groß, so dass [mm] $P(|U_n [/mm] -a| [mm] \ge \tilde\varepsilon) [/mm] < [mm] \frac{\delta}{2}$ [/mm] (warum existiert das?) und schon folgt das Gewünschte.

Gruß,
Gono

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Wahrscheinlichkeitstheorie"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.matheraum.de
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]