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Forum "Topologie und Geometrie" - Gleichheit von Topologien
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Gleichheit von Topologien: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:52 Do 23.10.2014
Autor: Peter_123

Aufgabe
Sei (X,d) ein metrischer Raum und T die von der Metrik auf X induzierte Topologie. Weiters sei eine Teilmenge $Z [mm] \subseteq [/mm] X$ gegeben. Auf Z haben wir die Spurtopologie [mm] $\mathbb{O}$ [/mm] von T und andererseits die von der Metrik [mm] $d_{1} [/mm] = [mm] d|_{Z \times Z}$ [/mm] induzierte Topologie [mm] $T_{1}$. [/mm]
Zeige , dass [mm] $T_{1} [/mm] = [mm] \mathbb{O}$ [/mm]

Hallo,

Sei [mm] $T_{d}$ [/mm] die von der Metrik d induzierte Topologie.

[mm] $\supseteq$ [/mm]
Sei $O [mm] \in T_{d}$ [/mm] , $x [mm] \in [/mm] O [mm] \cap [/mm] Z$.
[mm] $\Rightarrow \exists \delta [/mm] > 0 : [mm] U_{\delta}(x) \subseteq [/mm] O$
[mm] $\Rightarrow [/mm] $ [mm] $U_{\delta}(x) \cap [/mm] Z [mm] \subseteq [/mm] O [mm] \cap [/mm] Z [mm] \in T_{d|Z}$ [/mm]

also muss $O [mm] \cap [/mm] Z$ offen bzgl. [mm] $d_{1}$ [/mm] sein und damit [mm] $T_{d|Z} \subseteq T_{1}$ [/mm] bzw. [mm] $\mathbb{O} \subseteq T_{1}$ [/mm]

für die andere Richtung:

[mm] $\subseteq$ [/mm]

Sei Y [mm] \in T_{1} [/mm] , x [mm] \in [/mm] Y $ [mm] \Rightarrow \exists \delta_{x} [/mm] > 0 : [mm] U_{\delta_{x}}(x) \in T_{d|Z} [/mm] $
also ist Y die Vereinigung über alle x [mm] \in [/mm] Y des Schnitts von Z und den Umgebungen mit Radius [mm] \delta_{x} [/mm] um x. [mm] \Rightarrow [/mm]
Y = [mm] \bigcup_{x \in Y} [/mm] (Z [mm] \cap U_{\delta_{x}}(x)) [/mm] = Z [mm] \cap \bigcup_{x \in Y} U_{\delta_{x}}(x) \in T_{d|Z}$ [/mm]
also : [mm] T_{1} \subseteq T_{d|Z} [/mm] = [mm] \mathbb{O} [/mm] .

damit : [mm] \mathbb{O} [/mm] = [mm] T_{1} [/mm]

Was sagt ihr dazu?

Wäre super, wenn ihr das mal verbessern könntet.


Lg Peter_123

        
Bezug
Gleichheit von Topologien: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 05:37 Fr 24.10.2014
Autor: tobit09

Hallo Peter_123!



> Sei (X,d) ein metrischer Raum und T die von der Metrik auf
> X induzierte Topologie. Weiters sei eine Teilmenge [mm]Z \subseteq X[/mm]
> gegeben. Auf Z haben wir die Spurtopologie [mm]\mathbb{O}[/mm] von T
> und andererseits die von der Metrik [mm]d_{1} = d|_{Z \times Z}[/mm]
> induzierte Topologie [mm]T_{1}[/mm].
>  Zeige , dass [mm]T_{1} = \mathbb{O}[/mm]



> Sei [mm]T_{d}[/mm] die von der Metrik d induzierte Topologie.
>  
> [mm]\supseteq[/mm]
> Sei [mm]O \in T_{d}[/mm] , [mm]x \in O \cap Z[/mm].
>  [mm]\Rightarrow \exists \delta > 0 : U_{\delta}(x) \subseteq O[/mm]

Hier solltest du der Klarheit willen dazuschreiben:
[mm] $U_{\delta}(x)$ [/mm] bezeichne die [mm] $\delta$-Umgebung [/mm] von $x$ in $(X,d)$ (nicht etwa in [mm] $(Z,d_1)$). [/mm]

Noch besser: Bezeichne diese [mm] $\delta$-Umgebung [/mm] mit [mm] $U_{\delta}^d(x)$. [/mm]


> [mm]\Rightarrow[/mm] [mm]U_{\delta}(x) \cap Z \subseteq O \cap Z \in T_{d|Z}[/mm]

Mit [mm] $T_{d|Z}$ [/mm] meinst du sicherlich [mm] $T_{d|_{Z\times Z}}$ [/mm] (also [mm] $T_1$). [/mm]

Das [mm] "$\in T_{d|Z}$" [/mm] würde ich hier weglassen.


> also muss [mm]O \cap Z[/mm] offen bzgl. [mm]d_{1}[/mm] sein

Zu zeigen ist dafür: Für alle [mm] $x\in O\cap [/mm] Z$ existiert ein [mm] $\delta>0$ [/mm] mit [mm] $U_\delta^{d_1}(x)\subseteq O\cap [/mm] Z$ (wobei natürlich mit [mm] $U_\delta^{d_1}(x)$ [/mm] die [mm] $\delta$-Umgebung [/mm] von $x$ in [mm] $(Z,d_1)$ [/mm] gemeint ist).

Wenn du noch [mm] $U_\delta^{d_1}(x)=U_\delta^d(x)\cap [/mm] Z$ (Warum gilt das?) berücksichtigst, erhältst du das Gewünschte.


> und damit [mm]T_{d|Z} \subseteq T_{1}[/mm]

[mm] $T_1$ [/mm] ist schon definiert als [mm] $T_{d|_{Z\times Z}}$. [/mm]

Du meinst vielmehr:

> bzw. [mm]\mathbb{O} \subseteq T_{1}[/mm]

Ja.



> für die andere Richtung:
>  
> [mm]\subseteq[/mm]
>  
> Sei Y [mm]\in T_{1}[/mm] , x [mm]\in[/mm] Y [mm]\Rightarrow \exists \delta_{x} > 0 : U_{\delta_{x}}(x) \in T_{d|Z}[/mm]

Mit [mm] $U_{\delta_x}(x)$ [/mm] meinst du hier die [mm] $\delta_x$-Umgebung [/mm] von $x$ in [mm] $(Z,d_1)$ [/mm] (nicht etwa in $(X,d)$).

Es gilt zwar [mm] $U_{\delta_x}^{d_1}(x)\in T_1$ [/mm] (sogar für ALLE [mm] $\delta_x>0$). [/mm]
Du meinst aber vielmehr: [mm] $U_{\delta_x}^{d_1}(x)\subseteq [/mm] Y$.


> also ist Y die Vereinigung über alle x [mm]\in[/mm] Y des Schnitts
> von Z und den Umgebungen mit Radius [mm]\delta_{x}[/mm] um x.

Hier meinst du "Umgebungen in $(X,d)$".

Übersichtlicher formuliert:

      [mm] $Y=\bigcup_{x\in Y}U_{\delta_x}^{d_1}(x)=\bigcup_{x\in Y}(U_{\delta_x}^{d}(x)\cap [/mm] Z)$.


> [mm]\Rightarrow[/mm]
>  Y = [mm]\bigcup_{x \in Y}[/mm] (Z [mm]\cap U_{\delta_{x}}(x))[/mm]

Hier meinst du mit [mm] $U_{\delta_x}(x)$ [/mm] die [mm] $\delta_x$-Umgebung [/mm] von $x$ in $(X,d)$ (und nicht wie vorher in [mm] $(Z,d_1)$). [/mm]


> = Z [mm]\cap \bigcup_{x \in Y} U_{\delta_{x}}(x) \in T_{d|Z}$[/mm]

Am Ende meinst du [mm] "$\in\mathbb{O}$" [/mm] statt [mm] "$\in T_{d|Z}$". [/mm]

Das stimmt dann wegen [mm] $\bigcup_{x \in Y} U_{\delta_{x}}^d(x)\in [/mm] T$.

Dabei geht [mm] $U_{\delta_x}^d(x)\in [/mm] T$ ein.
(Ich hoffe, es ist schon bekannt, dass [mm] $\varepsilon$-Umgebungen [/mm] in metrischen Räumen stets offen sind. Ansonsten wäre das mithilfe der Dreiecksungleichung noch zu zeigen.)


> also : [mm]T_{1} \subseteq T_{d|Z}[/mm] = [mm]\mathbb{O}[/mm] .

[mm] $T_1$ [/mm] ist per Definitionem [mm] $T_{d|_{Z\times Z}}$. [/mm]

Du meinst [mm] $T_1\subseteq\mathbb{O}$. [/mm]


> damit : [mm]\mathbb{O}[/mm] = [mm]T_{1}[/mm]

Ja.



Deine Ideen sind völlig korrekt. [ok]



Viele Grüße
Tobias

Bezug
                
Bezug
Gleichheit von Topologien: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 07:08 Fr 24.10.2014
Autor: Peter_123

Hallo Tobias,

Vielen Dank für deine Antwort.


Lg

Peter

Bezug
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