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Gleichheit zeigen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:34 Fr 27.11.2015
Autor: meister_quitte

Aufgabe
Zeigen Sie:

[mm] $\frac{sin(2\alpha)}{1+cos(2\alpha)}=\frac{1-cos(2\alpha)}{1+cos(2\alpha)}$, $\alpha\in\{k\pi, \frac{\pi}{2}+k\pi, k\in\IZ\}$ [/mm]

[mm] $\frac{1}{2}(tan(\beta)-cot(\beta))+\frac{1}{sin(2\beta)}=tan(\beta)$, $\beta\not= k*\frac{\pi}{2}, k\in\IZ$ [/mm]

$sin [mm] \alpha+sin \beta+sin \gamma=4cos(\frac{\alpha}{2})cos(\frac{\beta}{2})cos(\frac{\gamma}{2})$, $\alpha+\beta+\gamma=180^\circ$ [/mm]

Hinweis: Zeigen Sie die erste Gleichheit nur für [mm] $\alpha\in\{0,\frac{\pi}{2}\}$(Assuming-Befehl!).Die [/mm] komplette
Behauptung folgt dann sofort aus der [mm] $2\pi$-Periodizität [/mm] von Sinus und Kosinus.

Hallo Freunde der Mathematik,

ich habe das Problem Gleichheit bei obiger Aufgabe zu zeigen.

verify(sin(2*alpha))/(1+cos(2*alpha)), sqrt((1-cos(2*alpha))/(1+cos(2*alpha))),equal)assuming(alpha in 0..Pi/2)

Die Gleichung als solche stimmt. Ich habe es nachgerechnet.

Vielen Dank schonmal im Voraus.

Liebe Grüße

Christoph

        
Bezug
Gleichheit zeigen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:27 Fr 27.11.2015
Autor: Marcel

Hallo,

> Zeigen Sie:
>  
> [mm]\frac{sin(2\alpha)}{1+cos(2\alpha)}=\frac{1-cos(2\alpha)}{1+cos(2\alpha)}[/mm],
> [mm]\alpha\in\{k\pi, \frac{\pi}{2}+k\pi, k\in\IZ\}[/mm]
>  
> [mm]\frac{1}{2}(tan(\beta)-cot(\beta))+\frac{1}{sin(2\beta)}=tan(\beta)[/mm],
> [mm]\beta\not= k*\frac{\pi}{2}, k\in\IZ[/mm]
>  
> [mm]sin \alpha+sin \beta+sin \gamma=4cos(\frac{\alpha}{2})cos(\frac{\beta}{2})cos(\frac{\gamma}{2})[/mm],
> [mm]\alpha+\beta+\gamma=180^\circ[/mm]
>  
> Hinweis: Zeigen Sie die erste Gleichheit nur für
> [mm]\alpha\in\{0,\frac{\pi}{2}\}[/mm](Assuming-Befehl!).Die
> komplette
>  Behauptung folgt dann sofort aus der [mm]2\pi[/mm]-Periodizität
> von Sinus und Kosinus.
>  Hallo Freunde der Mathematik,
>  
> ich habe das Problem Gleichheit bei obiger Aufgabe zu
> zeigen.
>
> verify(sin(2*alpha))/(1+cos(2*alpha)),
> sqrt((1-cos(2*alpha))/(1+cos(2*alpha))),equal)assuming(alpha
> in 0..Pi/2)
>
> Die Gleichung als solche stimmt. Ich habe es nachgerechnet.

na, dann hast Du doch alles gezeigt? Was ist nun Deine Frage?
Und was macht diese Frage im Maple-Forum?

Nebenbei: In der Aufgabe ist wohl ein Fehler:

    [mm] $\alpha \in \{k\pi, \frac{\pi}{\red{4}}+k\pi, k\in\IZ\}$ [/mm]

sollte es wohl heißen!
Nun:
Wenn Du zeigst, was Du gerechnet hast, können wir gerne drübergucken...

Ich zeige Dir mal nur *einen Teil* der Lösung der Aufgabe, die erste
Gleichheit zu beweisen:
Wir setzen [mm] $A:=\{\pi/\red{4}+k*\pi: k \in \IZ\}$ [/mm] und [mm] $B:=\{k*\pi: k \in \IZ\}\,.$ [/mm]
Deine Aufgabe lautet dann, zu zeigen:

    [mm] $\alpha \in [/mm] (A [mm] \cup [/mm] B)$ [mm] $\Longrightarrow$ $\frac{sin(2\alpha)}{1+cos(2\alpha)}=\frac{1-cos(2\alpha)}{1+cos(2\alpha)}$ [/mm]

Und ich schreibe mal x anstatt [mm] $\alpha$; [/mm] solange der Nenner nicht Null ist (dann
darf die Gleichung eh nicht hingeschrieben werden), ist diese Gleichung
gleichwertig mit:

    [mm] $\sin(2x)=1-\cos(2x)\,.$ [/mm]

Für $x [mm] \in [/mm] A$ ist aber

    [mm] $\sin(2x)=\sin(\pi/2+k*2\pi)=\sin(\pi/2)=1$ [/mm]

und

    [mm] $\cos(2x)=\cos(\pi/2+k*2\pi)=\cos(\pi/2)=0$ [/mm] und damit [mm] $1-\cos(2x)=1-0=1\,.$ [/mm]

(Das Ganze kann man sich auch wunderschön mit den Graphen von

    [mm] $f(\cdot)=\sin(\cdot)$ [/mm] und [mm] $g(\cdot)=\cos(\cdot)$ [/mm]

veranschaulischen (substituiere meinetwegen [mm] $z:=2x=2\alpha$).) [/mm]

Übrigens ist der Hinweis bei der ersten Aufgabe vollkommen überflüssig...

P.S. Was Du noch machen solltest, ist auch kurz zu begründen, dass

    [mm] $1+\cos(2x) \not=0$ [/mm]

ist für $x [mm] \in A=\{\pi/\red{4}+k*\pi: k \in \IZ\}$... [/mm]

Nebenbei: Wenn Du meinen Hinweis mit der Varanschaulischung verstehst,
dann solltest Du direkt *sehen können*, dass

    [mm] $\sin(2x)=1-\cos(2x)$ [/mm]

    [mm] $\iff$ [/mm] $x [mm] \in [/mm] A [mm] \cup [/mm] B$.

(Oben habe ich nur $x [mm] \in [/mm] A [mm] \Rightarrow \sin(2x)=1-\cos(2x)$ [/mm] begründet; Du musst
noch $x [mm] \in [/mm] B [mm] \Rightarrow \sin(2x)=1-\cos(2x)$ [/mm] begründen, damit die Aufgabe vollständig
gelöst ist!
Mit den Graphen *sieht* man aber schnell, dass [mm] $\sin(2x)=1-\cos(2x) \Rightarrow [/mm] x [mm] \in [/mm] (A [mm] \cup [/mm] B)$
auch gilt; wenngleich das natürlich kein Beweis ist...)

Gruß,
  Marcel

Bezug
                
Bezug
Gleichheit zeigen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:43 Do 17.12.2015
Autor: meister_quitte

Hallo Marcel,

in der Aufgaben stellung steht doch tatsächlich [mm] $\frac{\pi}{2}$. [/mm]

Ich danke dir vielmals.

Frohe Festtage

Christoph

Bezug
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