matheraum.de
Raum für Mathematik
Offene Informations- und Nachhilfegemeinschaft

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Mathe
  Status Schulmathe
    Status Primarstufe
    Status Mathe Klassen 5-7
    Status Mathe Klassen 8-10
    Status Oberstufenmathe
    Status Mathe-Wettbewerbe
    Status Sonstiges
  Status Hochschulmathe
    Status Uni-Analysis
    Status Uni-Lin. Algebra
    Status Algebra+Zahlentheo.
    Status Diskrete Mathematik
    Status Fachdidaktik
    Status Finanz+Versicherung
    Status Logik+Mengenlehre
    Status Numerik
    Status Uni-Stochastik
    Status Topologie+Geometrie
    Status Uni-Sonstiges
  Status Mathe-Vorkurse
    Status Organisatorisches
    Status Schule
    Status Universität
  Status Mathe-Software
    Status Derive
    Status DynaGeo
    Status FunkyPlot
    Status GeoGebra
    Status LaTeX
    Status Maple
    Status MathCad
    Status Mathematica
    Status Matlab
    Status Maxima
    Status MuPad
    Status Taschenrechner

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
StartseiteMatheForenDifferenzialrechnungGleichmäßige Stetigkeit
Foren für weitere Schulfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Informatik • Physik • Technik • Biologie • Chemie
Forum "Differenzialrechnung" - Gleichmäßige Stetigkeit
Gleichmäßige Stetigkeit < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Differenzialrechnung"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Gleichmäßige Stetigkeit: Delta Abschätzen
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:22 Mi 18.11.2015
Autor: Skyrula

Aufgabe
Zeige, das [mm] f(x)=\frac{1}{x} [/mm] auf dem Intervall [mm] I=[a,\infty),a>0 [/mm] gleichmäßig stetig ist.

Hallo zusammen,

ich würde die Aufgabe gerne mit dem Delta-Epsilon Kriterium bewältigen können. Das Kriterium besagt:

[mm] \forall \varepsilon [/mm] >0 [mm] \exists \delta>0 \forall [/mm] x,y [mm] \in [/mm] I: [mm] |x-y|<\delta \rightarrow |f(x)-f(y)|<\varepsilon [/mm]

Mein Problem liegt darin [mm] \delta [/mm] rechnerisch ermittel zu können.

Hier mein Ansatz:
[mm] |f(x)-f(y)|<\varepsilon \gdw |\frac{1}{x}-\frac{1}{y}|<\varepsilon \gdw |\frac{x-y}{xy}|<\varepsilon [/mm]

Ich habe zahlreiche Umformungen ausprobiert, jedoch darf bei gleichmäßiger Stetigkeit [mm] \delta [/mm] nur von [mm] \varepsilon [/mm] abhängen und das bekomme ich einfach nicht auf die Kette.

Über Hilfe würde ich mich sehr freuen.

Danke im Vorraus.



        
Bezug
Gleichmäßige Stetigkeit: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 04:55 Do 19.11.2015
Autor: fred97


> Zeige, das [mm]f(x)=\frac{1}{x}[/mm] auf dem Intervall
> [mm]I=[a,\infty),a>0[/mm] gleichmäßig stetig ist.
>  Hallo zusammen,
>  
> ich würde die Aufgabe gerne mit dem Delta-Epsilon
> Kriterium bewältigen können. Das Kriterium besagt:
>  
> [mm]\forall \varepsilon[/mm] >0 [mm]\exists \delta>0 \forall[/mm] x,y [mm]\in[/mm] I:
> [mm]|x-y|<\delta \rightarrow |f(x)-f(y)|<\varepsilon[/mm]
>  
> Mein Problem liegt darin [mm]\delta[/mm] rechnerisch ermittel zu
> können.
>  
> Hier mein Ansatz:
>  [mm]|f(x)-f(y)|<\varepsilon \gdw |\frac{1}{x}-\frac{1}{y}|<\varepsilon \gdw |\frac{x-y}{xy}|<\varepsilon[/mm]
>  
> Ich habe zahlreiche Umformungen ausprobiert, jedoch darf
> bei gleichmäßiger Stetigkeit [mm]\delta[/mm] nur von [mm]\varepsilon[/mm]
> abhängen und das bekomme ich einfach nicht auf die Kette.
>  
> Über Hilfe würde ich mich sehr freuen.
>  
> Danke im Vorraus.



Du hast kurz vorm Ziel schlapp gemacht und das liegt daran, weil Du am Start etwas vergessen hast. Meistens ist es in der Mathematik so, dass es ohne Voraussetzungen nicht geht.

Hier ist f definiert auf  $ [mm] I=[a,\infty)$ [/mm] ,  mit $a>0 $.

Dann gilt für x,y [mm] \in [/mm] I:

   [mm] |f(x)-f(y)|=\bruch{|x-y|}{xy} \le \bruch{1}{a^2}|x-y|$. [/mm]

Siehst Du nun, wie Du zu vorgegebenem [mm] \varepsilon [/mm] ein geeignetes [mm] \delta [/mm] wählen kannst ?

FRED

P.S. f ist auf I sogar Lipschitzstetig.

>  
>  


Bezug
                
Bezug
Gleichmäßige Stetigkeit: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:26 Do 19.11.2015
Autor: Skyrula

Hallo,

vielen Dank für die Hilfe und den Tipp,

mit deiner Hilfe komme ich dann auf [mm] \frac{1}{a^2}|x-y|<\varepsilon \gdw \frac{1}{a^2}\delta<\varepsilon \le \delta<\varepsilon a^2 [/mm]

Bezug
                        
Bezug
Gleichmäßige Stetigkeit: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:03 Fr 20.11.2015
Autor: fred97


> Hallo,
>  
> vielen Dank für die Hilfe und den Tipp,
>  
> mit deiner Hilfe komme ich dann auf
> [mm]\frac{1}{a^2}|x-y|<\varepsilon \gdw \frac{1}{a^2}\delta<\varepsilon \le \delta<\varepsilon a^2[/mm]

Das ist Murks ! Aus Deinen obigen Ungleichungen würde folgen

[mm] \varepsilon <\varepsilon a^2, [/mm]

also [mm] a^2>1 [/mm] !!!

Ist [mm] \varepsilon>0 [/mm] gegeben, so wähle [mm] \delta=a^2*\varepsilon [/mm]

FRED

>  


Bezug
        
Bezug
Gleichmäßige Stetigkeit: Tipp
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:30 Do 19.11.2015
Autor: HJKweseleit

[mm] \delta [/mm] darf nicht von x bzw. y abhängen, wohl aber von a.

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Differenzialrechnung"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


Alle Foren
Status vor 11h 51m 2. Diophant
UAnaR1FolgReih/Grenzwert nte Wurzel
Status vor 1d 0h 19m 11. fred97
ULinAMat/Gruppe der inv. Matrizen
Status vor 3d 11. Al-Chwarizmi
STrigoFktn/Cosinus und Arc Cosinus
Status vor 3d 7. Diophant
UAnaR1FunkStetig/Stetigkeit im Nullpunkt
Status vor 5d 1. Prospekthuellen
UStoc/Galton-Watson mit max. Höhe
^ Seitenanfang ^
www.matheraum.de
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]