matheraum.de
Raum für Mathematik
Offene Informations- und Nachhilfegemeinschaft

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Mathe
  Status Schulmathe
    Status Primarstufe
    Status Mathe Klassen 5-7
    Status Mathe Klassen 8-10
    Status Oberstufenmathe
    Status Mathe-Wettbewerbe
    Status Sonstiges
  Status Hochschulmathe
    Status Uni-Analysis
    Status Uni-Lin. Algebra
    Status Algebra+Zahlentheo.
    Status Diskrete Mathematik
    Status Fachdidaktik
    Status Finanz+Versicherung
    Status Logik+Mengenlehre
    Status Numerik
    Status Uni-Stochastik
    Status Topologie+Geometrie
    Status Uni-Sonstiges
  Status Mathe-Vorkurse
    Status Organisatorisches
    Status Schule
    Status Universität
  Status Mathe-Software
    Status Derive
    Status DynaGeo
    Status FunkyPlot
    Status GeoGebra
    Status LaTeX
    Status Maple
    Status MathCad
    Status Mathematica
    Status Matlab
    Status Maxima
    Status MuPad
    Status Taschenrechner

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
StartseiteMatheForenLängen, Abstände, WinkelGleichschenkliges Dreieck
Foren für weitere Schulfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Informatik • Physik • Technik • Biologie • Chemie
Forum "Längen, Abstände, Winkel" - Gleichschenkliges Dreieck
Gleichschenkliges Dreieck < Längen+Abst.+Winkel < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Längen, Abstände, Winkel"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Gleichschenkliges Dreieck: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:27 Fr 01.07.2016
Autor: einfach_chris

Aufgabe
Gegeben sind drei Punkte A, B und C im dreidimensionalen Raum. Diese drei Punkte bilden ein Dreieck. Es soll nachgewiesen werden, dass es sich um ein gleichschenkliges Dreieck handelt.

Hallo.

Wenn die Schenkelseiten AC und BC gleich lang sind und es sich tatsächlich um ein gleichschenkliges Dreieck handelt (mit Spitze C):

Kann man den Nachweis auch damit erbringen, dass man das Skalarprodukt vom Vektor AC und Vektor AB ausrechnet und vergleicht, mit dem Skalarprodukt vom Vektor BA und BC?

Wenn das Ergebnis von beiden Skalarprodukten gleich ist, bedeutet dass, das damit der Nachweis der gleichlangen Schenkel erbracht ist?

Ich weiß, es geht offensichtlicher und einfacher mit den Beträgen von AC und BC oder auch mit der Winkelberechnung. Aber die Frage ist, reicht der Vergleich der Skalarprodukte?

LG


        
Bezug
Gleichschenkliges Dreieck: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:01 Fr 01.07.2016
Autor: Leopold_Gast

Es seien [mm]\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}[/mm] die Ortsvektoren der Punkte [mm]A,B,C[/mm]. Dann gilt:

[mm]\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{BA} \cdot \overrightarrow{BC} \ \ \Leftrightarrow \ \ \left( \vec{c} - \vec{a} \right) \cdot \left( \vec{b} - \vec{a} \right) = \left( \vec{a} - \vec{b} \right) \cdot \left( \vec{c} - \vec{b} \right) \ \ \Leftrightarrow \ \ \vec{b} \cdot \vec{c} - \vec{a} \cdot \vec{c} - \vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{a}^{\, 2} = \vec{a} \cdot \vec{c} - \vec{a} \cdot \vec{b} - \vec{b} \cdot \vec{c} + \vec{b}^{\, 2}[/mm]

[mm]\Leftrightarrow \ \ \vec{a}^{\, 2} - 2 \vec{a} \cdot \vec{c} = \vec{b}^{\, 2} - 2 \vec{b} \cdot \vec{c} \ \ \Leftrightarrow \ \ \vec{a}^{\, 2} - 2 \vec{a} \cdot \vec{c} + \vec{c}^{\, 2}= \vec{b}^{\, 2} - 2 \vec{b} \cdot \vec{c} + \vec{c}^{\, 2} \ \ \Leftrightarrow \ \ \left( \vec{c} - \vec{a} \right)^2 = \left( \vec{c} - \vec{b} \right)^2[/mm]

[mm]\Leftrightarrow \ \ \overrightarrow{AC}^{\, 2} = \overrightarrow{BC}^{\, 2} \ \ \Leftrightarrow \ \ \left| \overrightarrow{AC} \right| = \left| \overrightarrow{BC} \right|[/mm]

Bezug
                
Bezug
Gleichschenkliges Dreieck: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:06 Fr 01.07.2016
Autor: einfach_chris

Vielen Dank! Perfekt!

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Längen, Abstände, Winkel"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


Alle Foren
Status vor 10m 1. Filza
UAnaRn/Integral berechnen
Status vor 52m 8. Diophant
MSons/Induktion
Status vor 2h 06m 4. Gonozal_IX
UStoc/Verteilungsfunktion
Status vor 2h 43m 2. Diophant
UAnaR1FolgReih/n-te Partialsumme
Status vor 2h 55m 8. sancho1980
MSons/Zeigen, dass Formel gilt
^ Seitenanfang ^
www.matheraum.de
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]