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Gleichung höheren Grades: Frage (reagiert)
Status: (Frage) reagiert/warte auf Reaktion Status 
Datum: 13:08 Mo 18.07.2016
Autor: skywalk_r

Guten Tag,
ich soll folgende Funktion ableiten, die Ableitung gleich 0 setzen und nach x auflösen:

[mm] F(x,y,r)=((x^r)/(x^r+y^r))*z-x [/mm]

wobei gilt r,x,y > 0

Die Ableitung nach x ergibt ja dementsprechend: f'(x,y,r): [mm] ((rx^{r-1}*y^r)/(x^r+y^r)^2))z-1=0 [/mm]

Wie ist es mir möglich, diese Gleichung nun nach x aufzulösen?

Ich habe versucht die Gleichung umzustellen, um so einen Ansatz zu haben, aber leider vergeblich:

[mm] x^{2r}+2x^ry^r+y^r(y^r-zrx^{r-1})=0 [/mm]

Wie muss ich hier ansetzen? Ich bin völlig ahnungslos und auch wolframalpha und ähnliche Dienste versagen hier leider.

Vielen Dank & Grüße


// Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Gleichung höheren Grades: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:36 Mo 18.07.2016
Autor: abakus

Hallo,
überprüfe den Zähler der ersten Ableitung.
Dein Pluszeichen ist falsch, dort muss "mal" stehen.

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Bezug
Gleichung höheren Grades: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:02 Mo 18.07.2016
Autor: skywalk_r

Das stimmt, da ist mir ein Flüchtigkeitsfehler beim Übertragen gelaufen. Ich habe das geändert. Die weiter unten stehende Umformung stimmt aber dennoch - und gerade an der Stelle hakt es.

Bezug
        
Bezug
Gleichung höheren Grades: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:03 Mo 18.07.2016
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

warum stellst du die Frage kommentarlos auf "unbeantwortet"?
Die Frage ist beantwortet, wenn du die Antwort nicht verstehst oder für ungenügend erachtest, Frage nach!


edit: Überschneidung :-)

Gruß,
Gono

Bezug
                
Bezug
Gleichung höheren Grades: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:10 Mo 18.07.2016
Autor: skywalk_r

Ich habe den Status geändert, kurz bevor ich auf die Antwort von abakus eingegangen bin.

Die Frage war ja, mit welchem Handwerkszeug ich die Gleichung nach x auflösen kann.

Bezug
                        
Bezug
Gleichung höheren Grades: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:21 Mo 18.07.2016
Autor: willyengland

Ich bin mir nicht sicher, ob ich deine Frage richtig verstehe, aber würde es nicht reichen, den Zähler gleich Null zu setzen, damit der Term Null ist?

Bezug
                        
Bezug
Gleichung höheren Grades: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:16 Mo 18.07.2016
Autor: leduart

Hallo
für allgemeines r ist das wohl nicht zu lösen, für r=1 gibt es ne Lösung.
"ich soll" klingt immer nach Meinung und nicht nach Aufgabe. was ist die gesamte, genaue  Aufgabe, da treten vielleicht noch andere Gl auf die auch = 0 sein müssen?
Gruß leduart

Bezug
                                
Bezug
Gleichung höheren Grades: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 02:03 Mi 20.07.2016
Autor: skywalk_r

Also verstehe ich das richtig: So wie die Gleichung da steht, kann man sie nicht nach x in Abhängigkeit von y und r umstellen?

Ich habe die Frage gestellt, weil mir nicht klar war, ob ich nicht irgendein Verfahren übersehe bzw. mir schlicht nicht bekannt ist, womit man die Gleichung nach x auflösen kann. Darum ging es mir, deshalb das "soll".

Als Beispiel: Angenommen r=1, ließe sich das Ganze ja - da quadratische Gleichung in allgemeiner Form - über die abc-Formel nach x(y)=sqrt(yz)-y auflösen.


//offtopic:
Zur Aufgabe - womit du dann auch Recht hast:
Methodisch wird F(x,y,r) nochmal nach y abgeleitet. Die jeweiligen Ableitungen werden nach der Variable umgestellt, mit der sie abgeleitet wurden: Also erhält man x(y,r) und y(x,r). Diese Funktionen werden in der Ökonomie als Reaktions- oder Beste-Antwort-Funktionen bezeichnet. In diesem Fall geht es um die optimale Menge x, die ich in Abhängigkeit eines Anderen setze, bzw. eben seiner Menge y setze. r bezeichnet hier die Wettbewerbsintenstiät. Üblicherweise setzt man dann y(x,r) in x(y,r) ein und erhält dann das Nash-Gleichgewicht. Allerdings scheint es an dieser Stelle nicht möglich zu sein, eine Reaktionsfunktion zu erstellen und durch das Einsetzungsverfahren zu einer Lösung zu kommen, sondern muss also andere Verfahren (Gleichsetzungsverfahren etc.) bedienen.

Gleichsetzungsverfahren:
[mm] x^{2r}+2x^ry^r+y^r(y^r-zrx^{r-1})=y^{2r}+2y^rx^r+x^r(x^r-zry^{r-1}) [/mm]

[mm] -zrx^{r-1}y^r+zrx^ry^{r-1}=0 [/mm]
[mm] -zrx^{r-1}y^r=-zrx^ry^{r-1} [/mm]
[mm] x^{r-1}y^r=x^ry^{r-1} [/mm]
[mm] x^r/(x^{r-1})=y^r/(y^{r-1}) [/mm]
x=y

x=y ist dann auch das, was in den Unterlagen steht. Wegen der Symmetrie der Funktionen wurde dort nach der Ableitung einfach x gleich y gesetzt und damit dann x und y berechnet. Mir ging es darum, das Ganze dennoch händisch nachvollziehen zu können. Unter Umständen wird auch explizit nach der Beste-Antwort-Funktion in der Klausur gefragt - was in diesem Fall aber nun wohl nicht machbar zu seien scheint.  Auch kann die Reaktionsfunktionen ggf. interessante Informationen zum Verhalten offenbaren.

Auf alle Fälle vielen Dank für die Hilfe. Da ich diese Aufgaben so gut wie immer durch einsetzen löse, habe ich übersehen, dass eine Beste-Antwort-Funktion nicht immer nötig ist, um auf ein Ergebnis zu kommen.

Bezug
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