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Forum "komplexe Zahlen" - Gleichung komplexer Zahlen
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Gleichung komplexer Zahlen: Standardlösungsweg?
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:21 Mo 10.02.2014
Autor: gauschling

Aufgabe
Man ermittle die Lösung [mm] z \in\IC [/mm] der folgenden Gleichung.

[mm] 2i + zi = 2z -1 [/mm]



Hallo, ich verstehe die Aufgabenstellung leider nicht bzw ich wüsste nicht wie ich bei dieser Aufgabe vorgehen soll. Gibt es dafür überhaupt einen Standardlösungsweg ? Ich komme mir gerade ziemlich bescheuert vor, ich hab mein Skript und meine favorisierten Fachbücher druchforstet aber entweder übersehe  ich was oder es ist was neues für mich. Mir ist zwar bekannt dass man Gleichungen komplexer Zahlen mit den Standartlösungswegen pq-Formel, Abc-Formel, Polynomdivision,Horner-Schema etc. lösen kann, aber wie gehe ich hier vor ?
Hat Jemand als Tipp vielleicht eine Beispiel Aufgabenlösung für solche Terme?

        
Bezug
Gleichung komplexer Zahlen: z := a + b*i
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:27 Mo 10.02.2014
Autor: Roadrunner

Hallo gauschling!


Vorneweg: standardisierte Rechenwege haben überhaupt nichts mit []Flaggen oder ähnlichen Dingen zu tun.

Standard schreibt sich nur mit einem "t", und das gleich nach dem ersten Buchstaben.
Das tut schon etwas weh beim Hinsehen.



Zur Aufgabe:

Setze $z \ := \ a+b*i$ in Deine Gleichung ein und sortiere nach Realteil und Imaginärteil.

$2*i + z*i \ = \ 2*z -1$

[mm] $\gdw [/mm] \ \ 2*i + (a+b*i)*i \ = \ 2*(a+b*i) -1$


Gruß vom
Roadrunner

Bezug
        
Bezug
Gleichung komplexer Zahlen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:43 Mo 10.02.2014
Autor: fred97


> Man ermittle die Lösung [mm]z \in\IC[/mm] der folgenden Gleichung.
>  
> [mm]2i + zi = 2z -1[/mm]
>  
>
> Hallo, ich verstehe die Aufgabenstellung leider nicht bzw
> ich wüsste nicht wie ich bei dieser Aufgabe vorgehen soll.
> Gibt es dafür überhaupt einen Standardlösungsweg ? Ich
> komme mir gerade ziemlich bescheuert vor, ich hab mein
> Skript und meine favorisierten Fachbücher druchforstet
> aber entweder übersehe  ich was oder es ist was neues für
> mich. Mir ist zwar bekannt dass man Gleichungen komplexer
> Zahlen mit den Standartlösungswegen pq-Formel, Abc-Formel,
> Polynomdivision,Horner-Schema etc. lösen kann, aber wie
> gehe ich hier vor ?
>  Hat Jemand als Tipp vielleicht eine Beispiel
> Aufgabenlösung für solche Terme?


Roadrunner hat vorgeschlagen z in Real- und Imaginärteil zu zerlegen. Da brauchst Du aber nicht.

2i + zi = 2z -1  [mm] \gdw [/mm]  1+2i= (2-i)z.

Jetzt Du.

FRED

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Bezug
Gleichung komplexer Zahlen: eleganter
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:47 Mo 10.02.2014
Autor: Roadrunner

Hallo Fred!


Dieser Weg ist natürlich viel schneller und eleganter als mein Ansatz.

Allerdings darf man meinen Ansatz durchaus als Standartdweg betrachten, der auch meist zum Ziel führt.


Gruß vom
Roadrunner

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Gleichung komplexer Zahlen: Rückfrage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:12 Mo 10.02.2014
Autor: gauschling

Aufgabe
Roadrunner, bin ich auf dem Holzweg oder willst du dann auf einen Man ermittle die Lösung $ z [mm] \in\IC [/mm] $ der folgenden Gleichung.

2i + zi = 2z -1

Roadrunner, ich bin immer noch dran . Ist es richtig dass du auf einen Koeffizientenvergleich hinaus willst  oder bin ich völlig falsch ?

Bezug
                        
Bezug
Gleichung komplexer Zahlen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:21 Mo 10.02.2014
Autor: Diophant

Hallo,

> Roadrunner, ich bin immer noch dran . Ist es richtig dass
> du auf einen Koeffizientenvergleich hinaus willst oder bin
> ich völlig falsch ?

Ja, das hat er gemeint. Aber wie schon gesagt wurde: auflösen à la FRED ist hier eleganter und vor allem einfacher. Das Ergebnis ist übrigens ziemlich imaginär :-)

Gruß, Diophant

Bezug
                                
Bezug
Gleichung komplexer Zahlen: Vielen Dank für die Hilfe
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:21 Mo 10.02.2014
Autor: gauschling

Danke für die Hilfe, auf den Trick mit dem Koeffizientenvergleich wäre ich niemals alleine gekommen.Vielen Dank Diophant, ja das kann gut sein aber ich kann das nicht beurteilen.  Ich habe z = i raus. (=

Hier meine Zwischenergebnisse, falls noch jemand so unfähig, wie ich ist und ihr die Frage nicht nocheinmal beantworten müsst.
Für den Fall, dass einige mich hier wieder auseinander nehmen, weil ich es mathematisch formal nicht entsprechende aufgeschrieben habe und weil ich so viele Rechenschritte angebe. Das tut ich bewusst, weil es vielleicht den ein oder anderen gibt, der noch kein Mathematik-Studium hintersich hat und keine Erklärung für eine Erklärung suchen will.


2i+zi=z-1

z :=(a+bi)

--eingesetzt und ausmultipliziert und nach i -Sortiert--
2i + ai -b = 2a+2bi -1

0=b+2a -1 -2i-ai +2bi

-- Imaginärteil links dazu geschrieben und i ausgeklammert--
0 + 0i =b+2a -1 + i(-2-a +2b)

-- Koeffizientenvergleich--
<=> - b - 2a + 1 = 0 und  2  + a - 2b = 0

<=> - b - 2a + 1 = 0 und  a = 2b - 2

<=> - b - 2( 2 b - 2 ) + 1 = 0

<=> 5b = 5 und   a = 2b - 2

<=> b = 1 und   a = 2 *(1) - 2 = 0

<=> a =0 ; b = 1    ----> eingesetzt in  z= a+bi

<=> z = 0 +1i

<=> z = i


Bezug
                                        
Bezug
Gleichung komplexer Zahlen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:49 Mo 10.02.2014
Autor: fred97

Du hast alles richtig gemacht. So gehts schneller:

2i + zi = 2z -1  $ [mm] \gdw [/mm] $  1+2i= (2-i)z  [mm] \gdw [/mm] i(2-i)=(2-i)z [mm] \gdw [/mm] z=i.

FRED


Bezug
                                                
Bezug
Gleichung komplexer Zahlen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:07 Mo 10.02.2014
Autor: gauschling

Hallo Fred, danke für deine Hilfe, ich muss trotzdem nochmal nachfragen, ich würde gerne verstehen wie du auf deinen letzten Rechenschritt kommt ?
[mm] i(2-i)=(2-i)z $ \gdw $ z=i [/mm]


ich verstehe zwar wenn ich sage, dass  
1 =2-i
-1 = i

und auch wenn ich die linke seite ausmultipliziere ich genau wieder auf
1 + 2i komme. Aber wie bist du ohne Koeffizientenvgl  drauf gekommen, hast du das einfach gesehen ?

Bezug
                                                        
Bezug
Gleichung komplexer Zahlen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:10 Mo 10.02.2014
Autor: Diophant

Hallo,

es ist [mm] 2-i\ne{0}, [/mm] also darf man die durch Faktorisieren entsandene Klammer bedenkenlos herauskürzen.

Gruß, Diophant

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