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Forum "komplexe Zahlen" - Gleichung mit komplexen Zahlen
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Gleichung mit komplexen Zahlen: Erklärung eines Lösungsweges
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:14 So 05.04.2009
Autor: snowrabbit

Aufgabe
Löse folgende Gleichung in der Menge der komplexen Zahlen

( -i + [mm] \wurzel{3} [/mm] ) ⋅ i * [mm] z^{2} [/mm] + [mm] (7-i)^{10i} [/mm] ⋅ z + 1 - [mm] \wurzel{3} [/mm] ⋅ i = 0

* Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt:
http://www.onlinemathe.de/forum/Komplexe-Zahlen-Gleichung


Also ich bräuchte bitte Erklärungen zu der Aufgabe, da ich Teile vom Lösungsweg nicht verstehe..

Also zuerst eine Nebenrechnung zu [mm] (7-i)^{10i} [/mm] = [mm] e^{10i*ln(7-i)} [/mm]

für (7-i) kommt raus (r=7,07 und phi = 6,14i) ... Nun, steht in meiner Lösung das in die Formel eingesetzt:

[mm] e^{10i * ln(7,07) - 61,4} [/mm]

Irgendwie kommts mir da vor, als ob die 10i in den logarithmus hineinmultipliziert worden sind (10i * 6,14i = -61,4) , doch wie lautet die Regel dazu, dass man das einfach hineinmultiplizieren darf?

Und danoch kommt die Zeile

[mm] e^{10i * ln(\wurzel{50})} [/mm] * [mm] e^{-61,4} [/mm] = 0 ... wie komm ich auf die [mm] \wurzel{50} [/mm]  und warum kommt am Ende 0 raus?

Es wäre nett, wenn mir das wer erklären könnte..

Mfg
Snow

        
Bezug
Gleichung mit komplexen Zahlen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:20 So 05.04.2009
Autor: schachuzipus

Hallo snowrabbit und herzlich [willkommenmr],

> Löse folgende Gleichung in der Menge der komplexen Zahlen
>  
> ( -i + [mm]\wurzel{3}[/mm] ) ⋅ i * [mm]z^{2}[/mm] + [mm](7-i)^{10i}[/mm] ⋅
> z + 1 - [mm]\wurzel{3}[/mm] ⋅ i = 0
>  * Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen
> Internetseiten gestellt:
> http://www.onlinemathe.de/forum/Komplexe-Zahlen-Gleichung
>  
>
> Also ich bräuchte bitte Erklärungen zu der Aufgabe, da ich
> Teile vom Lösungsweg nicht verstehe..
>  
> Also zuerst eine Nebenrechnung zu [mm](7-i)^{10i}[/mm] =
> [mm]e^{10i*ln(7-i)}[/mm]
>  
> für (7-i) kommt raus (r=7,07 [ok] und phi = 6,14i [notok])

Doch eher [mm] $\varphi=6,14$ [/mm]  ohne i

> ... Nun,  steht in meiner Lösung das in die Formel eingesetzt:
>  
> [mm]e^{10i * ln(7,07) - 61,4}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)


>  
> Irgendwie kommts mir da vor, als ob die 10i in den
> logarithmus hineinmultipliziert worden sind (10i * 6,14i =
> -61,4) , doch wie lautet die Regel dazu, dass man das
> einfach hineinmultiplizieren darf?

Es ist $7-i=r\cdot{}e^{\varphi\cdot{}i}=7,07\cdot{}e^{6,14i}$

Also $(7-i)^{10i}=\left[7,07\cdot{}e^{6,14i\right]^{10i}=7,07^{10i}\cdot{}\left[e^{6,14i}\right]^{10i}=e^{10i\cdot{}\ln(7,07)}\cdot{}e^{-61,4}=e^{10i\cdot{}\ln(7,07)-61,4}$

> Und danoch kommt die Zeile
>  
> [mm]e^{10i * ln(\wurzel{50})}[/mm] * [mm]e^{-61,4}[/mm] = 0 ... wie komm ich
> auf die [mm]\wurzel{50}[/mm]  

Na, das ist doch dein [mm] $r=|7-i|=\sqrt{7^2+1^2}=\sqrt{50}\approx [/mm] 7,07$ von oben

> und warum kommt am Ende 0 raus?

Da weiß ich leider auch nicht, was hier gemacht wurde/wird.

Vllt. kannst du etwas mehr vom Lösungsweg posten, dann erschließt sich (mir) das vielleicht ..

>  
> Es wäre nett, wenn mir das wer erklären könnte..
>  
> Mfg
>  Snow


LG

schachuzipus

Bezug
                
Bezug
Gleichung mit komplexen Zahlen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:59 So 05.04.2009
Autor: MathePower

Hallo schachuzipus,


> Also
> [mm](7-i)^{10i}=\left[7,07\cdot{}e^{6,14i\right]^{10i}=7,07^{10i}\cdot{}\left[e^{6,14i}\right]^{10i}=e^{10i\cdot{}\ln(7,07)}\cdot{}e^{-61,4}=e^{10i\cdot{}\ln(7,07)-61,4}[/mm]
>  
> > Und danoch kommt die Zeile
>  >  
> > [mm]e^{10i * ln(\wurzel{50})}[/mm] * [mm]e^{-61,4}[/mm] = 0 ... wie komm ich
> > auf die [mm]\wurzel{50}[/mm]  
>
> Na, das ist doch dein
> [mm]r=|7-i|=\sqrt{7^2+1^2}=\sqrt{50}\approx 7,07[/mm] von oben
>  
> > und warum kommt am Ende 0 raus?
>  
> Da weiß ich leider auch nicht, was hier gemacht
> wurde/wird.


Bedenke, daß

[mm]e^{-61,4} = .000000000000000000000000002159... \approx 0[/mm]


>  
> Vllt. kannst du etwas mehr vom Lösungsweg posten, dann
> erschließt sich (mir) das vielleicht ..
>  
> >  

> > Es wäre nett, wenn mir das wer erklären könnte..
>  >  
> > Mfg
>  >  Snow
>
>
> LG
>  
> schachuzipus


Gruß
MathePower

Bezug
        
Bezug
Gleichung mit komplexen Zahlen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:15 So 05.04.2009
Autor: Al-Chwarizmi

Das ganze ist ja eine quadratische Gleichung der Form

       $\ [mm] a*z^2+b*z+c\ [/mm] =\ 0$

Für den Koeffizienten $\ b$ bekomme ich:

       $\ b\ =\ [mm] (7-i)^{10i}\ \approx\ 3.133+2.696\,i$ [/mm]

Als Lösungen für die quadratische Gleichung liefert der
Rechner dann:

    $\ [mm] z_1\ \approx\ 0.183+0.428\,i$ [/mm]      $\ [mm] z_2\ \approx\ -2.134+0.255\,i$ [/mm]


LG

Bezug
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