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Forum "komplexe Zahlen" - Gleichungen komplexe Zahlen
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Gleichungen komplexe Zahlen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:58 So 17.05.2009
Autor: Maci

Aufgabe
Bestimmen SIe die Lösungen der Gleichung:
z³=343*i

Hallo! Also man soll die Gleichung lösen und als Tipp wurde gesagt man soll für z=x+yi einsetzen.
Also dann doch (x+yi)³=343i und nun???
Lg

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Gleichungen komplexe Zahlen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:30 So 17.05.2009
Autor: reverend

Hallo maci, [willkommenmr]

> Bestimmen SIe die Lösungen der Gleichung:
>  z³=343*i
>  Hallo! Also man soll die Gleichung lösen und als Tipp
> wurde gesagt man soll für z=x+yi einsetzen.
> Also dann doch (x+yi)³=343i und nun???

Und nun rechnest Du mit binomischer Formel die Potenz der Klammer aus. Dann betrachtest Du die entstandene Gleichung getrennt nach Real- und Imaginärteil.

Es gibt übrigens einen einfacheren Weg, aber wenn Ihr den zitierten Tipp bekommen habt, darfst Du die MBMoivre-Formel wahrscheinlich nicht verwenden.

Trotzdem ist es sicher gut zu wissen, dass [mm] 7^3=343 [/mm] ist.

Grüße
reverend


Bezug
                
Bezug
Gleichungen komplexe Zahlen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:39 So 17.05.2009
Autor: Maci


> Hallo maci, [willkommenmr]
>  
> > Bestimmen SIe die Lösungen der Gleichung:
>  >  z³=343*i
>  >  Hallo! Also man soll die Gleichung lösen und als Tipp
> > wurde gesagt man soll für z=x+yi einsetzen.
> > Also dann doch (x+yi)³=343i und nun???
>  
> Und nun rechnest Du mit binomischer Formel die Potenz der
> Klammer aus. Dann betrachtest Du die entstandene Gleichung
> getrennt nach Real- und Imaginärteil.
>  
> Es gibt übrigens einen einfacheren Weg, aber wenn Ihr den
> zitierten Tipp bekommen habt, darfst Du die
> MBMoivre-Formel wahrscheinlich nicht verwenden.
>
> Trotzdem ist es sicher gut zu wissen, dass [mm]7^3=343[/mm] ist.
>  
> Grüße
>  reverend
>  

Ich komm einfach nicht darauf wie ich weiter machen muss, kann mir nicht einer den lösungsweg mal weiter ausformulieren?


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Bezug
Gleichungen komplexe Zahlen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:02 So 17.05.2009
Autor: reverend

Hall maci,

da gibts nichts, auf dass man "kommen" müsste.

Rechne doch einfach mal aus, bis Du keine Klammern mal hast:

[mm] (x+yi)^3=\cdots [/mm]

Grüße
reverend

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Bezug
Gleichungen komplexe Zahlen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:42 So 17.05.2009
Autor: Maci


> Hall maci,
>  
> da gibts nichts, auf dass man "kommen" müsste.
>  
> Rechne doch einfach mal aus, bis Du keine Klammern mal
> hast:
>  
> [mm](x+yi)^3=\cdots[/mm]
>  
> Grüße
>  reverend

also wenn ich das ausrechne komme ihc soweit:
x³+3x²yi-3xy²-y³i=343i
aber weiter bin ich dann ja iwie immer noch nicht

Bezug
                                        
Bezug
Gleichungen komplexe Zahlen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:51 So 17.05.2009
Autor: informix

Hallo Maci und [willkommenmr],

> > Hall maci,
>  >  
> > da gibts nichts, auf dass man "kommen" müsste.
>  >  
> > Rechne doch einfach mal aus, bis Du keine Klammern mal
> > hast:
>  >  
> > [mm](x+yi)^3=\cdots[/mm]
>  >  
> > Grüße
>  >  reverend
>
> also wenn ich das ausrechne komme ihc soweit:
>  x³+3x²yi-3xy²-y³i=343i
>  aber weiter bin ich dann ja iwie immer noch nicht

Doch: sortiere mal:
[mm] (x^3-3xy^2) +(3x^2y-y^3)*i=0+343*i [/mm]

nun machst du einen Koeffizientenvergleich - aber das wurde dir im anderen Post von weightgainer doch schon empfohlen, oder?


Gruß informix

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Gleichungen komplexe Zahlen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:10 So 17.05.2009
Autor: Maci

Aufgabe
BEstimmen Sie die Lösungen der Gleichung
z³= 343*i

hi! Wie kommt man bei dieser Gleichung auf die Lösungen z1=6,06+3,5*i; z2=-6,06+3,5*i; z3= -7*i   ????
Lg


Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

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Gleichungen komplexe Zahlen: Doppelpost
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:31 So 17.05.2009
Autor: informix

Hallo Maci und [willkommenmr],

> BEstimmen Sie die Lösungen der Gleichung
>  z³= 343*i
>  hi! Wie kommt man bei dieser Gleichung auf die Lösungen
> z1=6,06+3,5*i; z2=-6,06+3,5*i; z3= -7*i   ????
>  Lg
>  
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.

Diese Frage hast du (ähnlich) vor zwei Stunden schon gestellt:
bitte vermeide solche Doppelpostings!

Gruß informix

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Gleichungen komplexe Zahlen: Erste Schritte
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:40 So 17.05.2009
Autor: weightgainer

Hallo Maci,

setze für z = x + iy ein, dann stehen auf der linken Seite ein paar Terme ohne i und einige mit i. Die ohne i müssen 0 ergeben und die mit dem i müssen 343 ergeben (so genannter Koeffizientenvergleich).
Daraus bekommst du zwei Gleichungen:
(1) [mm] x^{3} [/mm] - [mm] 3xy^{2} [/mm] = 0
(2) [mm] 3x^{2} [/mm] + [mm] y^{3} [/mm] = -343

Wenn du die erste Gleichung ein wenig bearbeitest, bekommst du zwei Fälle, die du dann in die zweite Gleichung einsetzen kannst. In einem ist es sehr einfach, im zweiten musst du noch ein bisschen mehr tun. Ich weiß jetzt nicht, was du alles verwenden darfst - im zweiten Fall gibt das eine Gleichung dritten Grades, die du entweder mit den Cardanoschen Formeln oder mit einem Näherungsverfahren (wie z.B. Newton-Verfahren) lösen kannst.
Habe das jetzt nicht weiter gerechnet - und bin mir auch nicht 100%ig sicher, aber vielleicht kommst du weiter damit :-).

Gruß,
weightgainer


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