matheraum.de
Raum für Mathematik
Offene Informations- und Nachhilfegemeinschaft

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Mathe
  Status Schulmathe
    Status Primarstufe
    Status Mathe Klassen 5-7
    Status Mathe Klassen 8-10
    Status Oberstufenmathe
    Status Mathe-Wettbewerbe
    Status Sonstiges
  Status Hochschulmathe
    Status Uni-Analysis
    Status Uni-Lin. Algebra
    Status Algebra+Zahlentheo.
    Status Diskrete Mathematik
    Status Fachdidaktik
    Status Finanz+Versicherung
    Status Logik+Mengenlehre
    Status Numerik
    Status Uni-Stochastik
    Status Topologie+Geometrie
    Status Uni-Sonstiges
  Status Mathe-Vorkurse
    Status Organisatorisches
    Status Schule
    Status Universität
  Status Mathe-Software
    Status Derive
    Status DynaGeo
    Status FunkyPlot
    Status GeoGebra
    Status LaTeX
    Status Maple
    Status MathCad
    Status Mathematica
    Status Matlab
    Status Maxima
    Status MuPad
    Status Taschenrechner

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
StartseiteMatheForenMathematik-WettbewerbeGleichungssysten III
Foren für weitere Schulfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Deutsch • Englisch • Französisch • Latein • Spanisch • Russisch • Griechisch
Forum "Mathematik-Wettbewerbe" - Gleichungssysten III
Gleichungssysten III < Wettbewerbe < Schule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Mathematik-Wettbewerbe"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Gleichungssysten III: Übungsaufgabe
Status: (Übungsaufgabe) Übungsaufgabe Status 
Datum: 17:39 Mo 20.09.2004
Autor: zwieback86

Man bestimme alle Paare (x,y) reeller Zahlen, die das Gleichungsystem

I  [mm] \wurzel{x+y} - \wurzel{x-y} = \wurzel{y} [/mm]
II  [mm] x^2 - y^2 = 144 [/mm]

erfüllen.

        
Bezug
Gleichungssysten III: Frage (reagiert)
Status: (Frage) reagiert/warte auf Reaktion Status 
Datum: 18:56 Mo 20.09.2004
Autor: Teletubyyy

Hi
Ich bin mir nicht ganz sicher ob meine Antwort stimmt, da sie mir ziehmlich einfach (fast zu einfach ?!) erscheint.

Quadriert man beide Seiten von I so erhält man:
[mm] (x+y) -2(\wurzel{(x+y)(x-y)}+(x-y) =y [/mm]
Dies vereinfacht man und setzt II ein.
[mm] \gdw 2x - \wurzel {x^2-y^2} =y \gdw y=2x-24 [/mm] III

D.h. nun, dass Zahlenpaare, die I und II lösen auch III lösen(umgekehr gilt das nicht zwangsläufig).

Nun was den Deffinitionsbereich des ursprünglichen Systems angeht, gilt: [mm] D={x;y \in R^+|x \ge y }[/mm]

Prüfen wir nun für welche Lösungen der Form y=2x-24 II gilt:
[mm]x^2-(2x-24)^2=x^2-(4x^2-48x+576) \gdw -3x^2+48x-576[/mm] IV

stellt man sich IV als Funktion vor, so beschreibt ihr Graph eine nach unten geöffnete Parabel. Als Nullsellen ergeben sich:
[mm]x_{1/2}=\bruch{-48 \pm \wurzel{48^2-4*3*576}}{-6}=\bruch{-48 \pm \wurzel{-4608}}{-6}[/mm]

Wegen der neg. Diskriminante kann es keine Reelen Nullstellen geben.
D.h. für alle x-Werte ist [mm]y<0[/mm] und somit [mm]y \not\in D[/mm] und daher kann das GLS keine reele Lösung haben!


I  [mm]\wurzel{x+y} - \wurzel{x-y} = \wurzel{y}[/mm]
II  [mm]x^2 - y^2 = 144[/mm]

[mm] L= \emptyset [/mm]
Hoffentlich hab ich diesmal ein richtige Lösung gepostet:-)

Gruß Samuel

Bezug
                
Bezug
Gleichungssysten III: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:36 Mo 20.09.2004
Autor: Hanno

Grüß dich Samuel.
Du hast einen kleinen Fehler beim Ausmultiplizieren begangen:
[mm] $(2x-24)^2=4x^2-96+576$ [/mm]

Gruß,
Hanno

Bezug
                        
Bezug
Gleichungssysten III: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:37 Mo 20.09.2004
Autor: Teletubyyy

Hi Hanno
Wenn Mathe doch blos nicht so viel mit RECHNEN [abgelehnt] zu tun haben würde!!! Und was die Tippfehler angeht, das wird sich auch noch bessern ;-)
Die Diskriminante ist also doch positiv...

[mm]x_{1/2}=\bruch{-96 \pm \wurzel{96^2-4*3*576}}{-6}=\bruch{-96 \pm \wurzel{48^2}}{-6}=16 \pm 8[/mm]
[mm]x_1=8[/mm][mm]x_2=24[/mm]

Jetzt muss man auch noch I betrachten:
[mm]\wurzel{x+y}-\wurzel{x-y}=\wurzel{y} \gdw \wurzel{x+2x-24}-\wurzel{x-2x+24}=\wurzel{2x-24}[/mm]
Aus [mm]\wurzel{x-2x+24}[/mm] ergibt sich [mm]x \le 24[/mm]
und aus [mm]\wurzel{2x-24}x[/mm] [mm]x \ge 12 [/mm] und somit [mm] x\in[12;24][/mm]

Vereinfacht ergibt sich:
[mm]\wurzel{3(x-8)}-\wurzel{24-x}=\wurzel{x-12}[/mm]
und nun folgt müsame RECHNEREI...
[mm](3x-24)-2\wurzel{(3(x-8)(24-x)}=x-12 \gdw x-6=\wurzel{(3(x-8)(24-x)}[/mm]
und nochmal Quadrieren...
[mm] x^2-12x+36=3(x-8)(24-x)\gdw x^2-12x+36=-3x^2+96x-576 \gdw 4x^2-108x+612=0[/mm] [mm]
[mm]x_{1/2}=\bruch{108 \pm \wurzel{108^2-4*4*612}}{8}=\bruch{108 \pm \wurzel{1872}}{8} \approx 5,4 \pm 13,5[/mm]
Die einzige Lösung die also noch sein könnte ist somit (wegen [mm]x\ge 12[/mm][mm]\bruch{108 + \wurzel{1872}}{8}[/mm]

wegen dem Quadrieren müssen wir diese Lösung noch in I einsetzen...(ich erspar mir die rechnerei und tippe es in den Taschenrechner ein und vergleiche die Ergebnisse)... und siehe da es PASST!

Man bekommt also das Lösungspaar ([mm]\bruch{108 + \wurzel{1872}}{8}[/mm] | [mm]2*\bruch{108 + \wurzel{1872}}{8}-24[/mm])
Man könnte noch teilweise wurzelziehen... Aber das Ergebniss stimmt auch so!-Hoffentlich ;-)

Gruß Samuel


Bezug
                                
Bezug
Gleichungssysten III: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:45 Mo 20.09.2004
Autor: zwieback86

Hallo Teletubby,

ich habe probiert deine Lösung in II einzusetzen, komme jedoch auf eine falsche Aussage. Meine beiden Lösungen sehen ganz anders aus.

mfg.

Bezug
                                        
Bezug
Gleichungssysten III: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:17 Mo 20.09.2004
Autor: Teletubyyy

hi Zwieback86

Hast du ne Ahnung, was ich falsch gemacht hab (außer dass ich meine Lösung nur für I und nicht für II geprüft habe).
1. habe ich bewiesen, dass alle Lösungen die Form (x|2x-24) haben
2. habe ich den Deffinitionsbereich von x auf [mm] x \in [12;24][/mm] eingeschränkt.
3. und schließlich y=2x-24 in I eingesetzt und dann nach der x aufgelöst.

Könntest du mir sagen, inwiefern deine Lösungen meinen Aussagen wiedersprechen(z.B: ist bei dir y=2x-24 oder ähnliches). Oder habe ich mich blos mal wieder verrechnet???

Gruß Samuel

Bezug
                                                
Bezug
Gleichungssysten III: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:25 Mo 20.09.2004
Autor: zwieback86

HI Samuel,

Ich kann dir nciht direkt sagen was du falsch gemacht hast, muss mir dein Artikel nochmal genauer durchlesen, auf jedenfall stimmt die Gleichung y=2x-24. Da meine beiden Lösungen einen war AUssage beim einsetzen ergeben. ICh werde nochmals lesen..

Bezug
        
Bezug
Gleichungssysten III: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:10 Mo 20.09.2004
Autor: KaiAhnung

Hallo.

> Man bestimme alle Paare (x,y) reeller Zahlen, die das
> Gleichungsystem
>  
> I  [mm]\wurzel{x+y} - \wurzel{x-y} = \wurzel{y}[/mm]
>  II  [mm]x^2 - y^2 = 144[/mm]

[mm]\wurzel{x+y} - \wurzel{x-y} = \wurzel{y}[/mm]
[mm]x+y+x-y-2*\wurzel{x^2-y^2} = y[/mm]
[mm]-2*\wurzel{x^2-y^2} = y-2x[/mm]
[mm]x-\frac{y}{2} = \wurzel{x^2-y^2}[/mm]
Aus II folgt:
[mm]x-\frac{y}{2} = 12[/mm]
[mm]x = \frac{y}{2}+12[/mm]
Eingesetzt in II ergibt sich
[mm](12+\frac{y}{2})^2 - y^2 = 144[/mm]
[mm]144+12*y+\frac{y^2}{4}-y^2 = 144[/mm]
[mm]y*(-\frac{3}{4}y+12) = 0[/mm]
[mm]y_1 = 0 \Rightarrow x_1 = 12[/mm]
[mm]-\frac{3}{4}y+12 = 0[/mm]
[mm]y_2 = 16 \Rightarrow x_2 = 20[/mm]

So, mehr Lösungen hab ich nicht...

MfG
Jan

Bezug
                
Bezug
Gleichungssysten III: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:20 Mo 20.09.2004
Autor: zwieback86

Hallo KaiAhnung,

ich habe die selben Ergebnisse raus, doch woher wissen wir nun, dass es alle Ergebnisse sind die das Gleichungssystem erfüllen?
Wie kann man sowas prüfen, bin mir nämlich nicht sicher.

mfg.

Bezug
                        
Bezug
Gleichungssysten III: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:29 Di 21.09.2004
Autor: Stefan

Hallo zwieback86!

Das sind auf jeden Fall alle Lösungen, weil Jan in jedem Schritt eine Folgerung gezogen hat, also notwendige Bedingungen an $x$ und $y$ hergeleitet hat. Die Frage ist, ob es aber auch tatsächlich Lösungen sind, ob die Bedingungen also auch hinreichend sind. Dies sieht man aber durch einfaches Einsetzen.

Die Aufgabe ist gelöst. [respekt], Jan und zwieback86!!!

Liebe Grüße
Stefan

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Mathematik-Wettbewerbe"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.matheraum.de
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]