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Glücksrad-Vermutung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:11 Fr 31.01.2014
Autor: rabilein1

Aufgabe
Gegeben sei ein Glücksrad mit 2 Feldern. Das Gewinnfeld hat einen Mittelpunktswinkel der Größe [mm] \alpha. [/mm]

Das Rad wird d mal gedreht.

Bestimmen Sie den Winkel [mm] \alpha [/mm] so, dass die Wahrscheinlichkeit, dass es genau g Gewinne gibt, maximal ist.

Ich habe die Vermutung, dass die Wahrscheinlichkeit genau dann am größten ist, wenn das Verhältnis g zu d genau dem Verhältnis [mm] \alpha [/mm] zu 360° entspricht,

Also, dass [mm] \alpha [/mm] = [mm] \bruch{360*g}{d} [/mm] sein muss


Das ist zwar nur eine Vermutung, aber erstens habe ich sie an einem Beispiel (d=3 und g=2) nachgewiesen, und zweitens denke ich, dass bestimmt schon jemand mal "bewiesen" hat, dass die obige Formel auch für alle anderen d und g gilt.  

        
Bezug
Glücksrad-Vermutung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:54 Fr 31.01.2014
Autor: Fulla

Hallo Ralph!

> Gegeben sei ein Glücksrad mit 2 Feldern. Das Gewinnfeld
> hat einen Mittelpunktswinkel der Größe [mm]\alpha.[/mm]

>

> Das Rad wird d mal gedreht.

>

> Bestimmen Sie den Winkel [mm]\alpha[/mm] so, dass die
> Wahrscheinlichkeit, dass es genau g Gewinne gibt, maximal
> ist.
> Ich habe die Vermutung, dass die Wahrscheinlichkeit genau
> dann am größten ist, wenn das Verhältnis g zu d genau
> dem Verhältnis [mm]\alpha[/mm] zu 360° entspricht,

>

> Also, dass [mm]\alpha[/mm] = [mm]\bruch{360*g}{d}[/mm] sein muss

>
>

> Das ist zwar nur eine Vermutung, aber erstens habe ich sie
> an einem Beispiel (d=3 und g=2) nachgewiesen, und zweitens
> denke ich, dass bestimmt schon jemand mal "bewiesen" hat,
> dass die obige Formel auch für alle anderen d und g gilt.

Du vermutest richtig.

Die Wahrscheinlichkeit für einen Gewinn (beim einmaligen Drehen) ist [mm]p=\frac{\alpha}{360^\circ}[/mm]. Das d-malige Drehen ist eine Bernoulli-Kette der Länge d mit Wahrscheinlichkeit p. Es ist also [mm]\binom{d}{g}\cdot p^g\cdot (1-p)^{d-g}[/mm] die Wahrscheinlichkeit g Geweinne bei d Drehungen zu bekommen.
Diese kannst du als Funktion in Abhängigkeit von p auffassen (d und g sind ja fest vorgegeben). Um rauszufinden, wann diese Wahrscheinlichkeit maximal wird, leite sie nach p ab und setze den gefundenen Ausdruck gleich Null, also
[mm]\left[\binom{d}{g}\cdot p^g\cdot (1-p)^{d-g}\right]^\prime=0[/mm]
und löse nach p auf.

Du wirst auf [mm]p=\frac gd[/mm] kommen und zusammen mit [mm]p=\frac{\alpha}{360^\circ}[/mm] ergibt sich genau deine "Vermutung".


Lieben Gruß,
Fulla

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Glücksrad-Vermutung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 10:25 Sa 01.02.2014
Autor: rabilein1

Und noch eine weitere Vermutung habe ich:

Sie hängt sogar indirekt mit dieser Aufgabe zusammen:
Und zwar mit der darin gemachten Aussage von Sax "Man teilt 100 durch e":

Wenn man das Glücksrad sehr sehr oft dreht (nahezu unendlich oft) und genau einen Treffer haben will, dazu den entsprechenden Winkel [mm] \alpha [/mm] nimmt - dann wird die Wahrscheinlichkeit, genau diesen einen Treffer zu erzielen, nie größer als 36,788 %.

Und das ist wieder dieses 100 durch e. Das kann doch kein Zufall sein???

Wieso taucht in der Wahrscheinlichkeitsrechnung immer dieses e als Grenzwert auf?  

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Bezug
Glücksrad-Vermutung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:08 Sa 01.02.2014
Autor: Sax

Hi,

die Wahrscheinlichkeit, bei d Drehungen (Einzelwahrscheinlichkeit 1/d) genau 1 Treffer zu haben ist doch [mm] p=\vektor{d \\ 1}*(\bruch{1}{d})^1*(1-\bruch{1}{d})^{d-1}=(1-\bruch{1}{d})^{d-1}=\bruch{(1-\bruch{1}{d})^{d}}{1-\bruch{1}{d}} [/mm]  und das konvergiert für [mm] d\to\infty [/mm] gegen [mm] \bruch{1/e}{1}=\bruch{1}{e}. [/mm]
Allerdings ist es eine monoton fallende Folge, so dass es in deiner Mitteilung heißen sollte  "nie kleiner als 36,788%"

Gruß Sax.

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Glücksrad-Vermutung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:04 Sa 01.02.2014
Autor: rabilein1


> Allerdings ist es eine monoton fallende Folge, so dass es
> in deiner Mitteilung heißen sollte  "nie kleiner als 36,788%"

"Nie kleiner als..." heißt doch, es müsste immer großer als 36,788 sein.

Aber soweit ich mich erinnern kann, kam z.B. bei d=3 [mm] (\Alpha [/mm] = 120°) raus, dass die Wahrscheinlichkeit auf genau einen Gewinn bei 1/3 lag, also kleiner als 36%



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Glücksrad-Vermutung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:25 Sa 01.02.2014
Autor: Sax

Hi,

da trügt dich deine Erinnerung. Die W. beträgt 4/9.

Gruß Sax.

Bezug
                                        
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Glücksrad-Vermutung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:27 Sa 01.02.2014
Autor: Fulla

Hallo Ralph!

> > Allerdings ist es eine monoton fallende Folge, so dass es
> > in deiner Mitteilung heißen sollte "nie kleiner als
> 36,788%"

>

> "Nie kleiner als..." heißt doch, es müsste immer großer
> als 36,788 sein.

>

> Aber soweit ich mich erinnern kann, kam z.B. bei d=3
> [mm](\Alpha[/mm] = 120°) raus, dass die Wahrscheinlichkeit auf
> genau einen Gewinn bei 1/3 lag, also kleiner als 36%

Setz doch einfach d=3 ein: [mm]p=\left(1-\frac 1d\right)^{d-1}=\left(\frac 23\right)^2=\frac 49\approx 0.44[/mm]


Lieben Gruß
Fulla

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Glücksrad-Vermutung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:59 Sa 01.02.2014
Autor: rabilein1


Ja, dann muss ich die Zahlen wohl falsch in Erinnerung gehabt haben.
Die entsprechenden Schmierzettel hatte ich in der Zwischenzeit weggeworfen.

Wenn ich die Scheibe nur einmal drehe, wäre bei [mm] \alpha=360° [/mm] die Wahrscheinlichkeit auf 1 Treffer 100%.
Bei zweimal drehen und [mm] \alpha=180° [/mm] wäre die Wahrscheinlichkeit auf 1 Treffer 50%.

Dann wäre es ja auch unlogisch, wenn sie bei dreimal drehen unter 35% liegt und anschließend wieder auf über 37% steigen würde.

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