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Goldener Schnitt: Verblüfft ?!
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 00:47 So 12.01.2014
Autor: Mathmark

Hallo zusammen !

Hab mich ein wenig mit Kunst und Architektur auseinandergesetzt und dort findet der Goldene Schnitt sehr häufig Anwendung.
Jeder kennt die Unmengen an Geschichten über den Goldenen Schnitt.
Stetige Teilung, Goldene Spirale, Fibonacci, ....

Aber wenn ich ehrlich bin, hab ich ein wenig recherchiert und wirklich garnichts über folgende Eigenschaft gefunden:

Sei die Strecke AB gegeben. Dann Teilt x die Strecke im Goldenen Teilverhältnis.

A_____________x______B  

Dann ist (Ax)²=AB*xB

Soll heissen, x ist der einzige Punkt, der eine gegebene Strecke genau dort teilt, wo sich ein Quadrat mit gleichem Inhalt eines Rechtecks aus dieser Strecke bilden lässt.
(Mit Zirkel und Lineal)


Vielleicht hat ja schonmal wer von gehört und kann mirn link posten für weitere Lektüre....

Liebe Grüße und....äh... Frohes Neues Euch allen !!!!

Mathy
 

        
Bezug
Goldener Schnitt: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 23:46 So 12.01.2014
Autor: felixf

Moin Mathy!

> Hab mich ein wenig mit Kunst und Architektur
> auseinandergesetzt und dort findet der Goldene Schnitt sehr
> häufig Anwendung.
>  Jeder kennt die Unmengen an Geschichten über den Goldenen
> Schnitt.
>  Stetige Teilung, Goldene Spirale, Fibonacci, ....
>  
> Aber wenn ich ehrlich bin, hab ich ein wenig recherchiert
> und wirklich garnichts über folgende Eigenschaft
> gefunden:
>  
> Sei die Strecke AB gegeben. Dann Teilt x die Strecke im
> Goldenen Teilverhältnis.
>  
> A_____________x______B  
>  
> Dann ist (Ax)²=AB*xB

Wenn das Verhaeltnis von [mm] $\overline{A x}$ [/mm] zu [mm] $\overline{A B}$ [/mm] gleich [mm] $\phi$ [/mm] ist, dann steht da ja [mm] $(\phi \overline{A B})^2 [/mm] = [mm] \overline{AB} \cdot [/mm] (1 - [mm] \phi) \overline{A B}$. [/mm] Kuerzt man aus der Gleichung [mm] $\overline{A B}^2$, [/mm] so bleibt [mm] $\phi^2 [/mm] + [mm] \phi [/mm] = 1$ uebrig, was die positive Loesung [mm] $\phi [/mm] = [mm] \frac{\sqrt{5} - 1}{2} [/mm] = [mm] \Phi^{-1}$ [/mm] (mit [mm] $\Phi [/mm] = [mm] \frac{\sqrt{5} + 1}{2}$ [/mm] der goldenen-Schnitt-Zahl) hat.

Insofern nur bedingt ueberraschend, wuerde ich sagen :-)

LG Felix


Bezug
                
Bezug
Goldener Schnitt: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:46 Mo 13.01.2014
Autor: Mathmark

Servus

Danke für die Antworten !

@fred97: danke für den link, aber da steht nix über das Flächenverhältnis.

@felixf:

Das ist ja eigentlich das bemerkenswerte.
Man stößt auf diese Eigenschaft, wenn man die Aufgabe algebraisch löst, aber auch nur so nebenbei.... ;-)

Da stellt sich mir aber die Frage (hab auch schon rumprobiert), ob auch die andere Richtung
geht:
Konstruiere nur mit Zirkel und Lineal aus einem gegebenen Quadrat ein Rechteck mit gleichem Flächeninhalt.

Bisher fehlt mirn Ansatz.....

Grüße

Bezug
                        
Bezug
Goldener Schnitt: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:20 Mo 13.01.2014
Autor: Mathmark

Äh.....räusper !!!

Maln sorry in die Runde geschmissen..... [enlightened]

Äussere Teilung.... Wikipedia.... zu faul zum richtig lesen...

Danke Euch
liebe Grüße

Bezug
        
Bezug
Goldener Schnitt: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 09:31 Mo 13.01.2014
Autor: fred97

Schau mal hier:

http://de.wikipedia.org/wiki/Goldener_Schnitt

FRED

Bezug
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