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Grad einer Abbildung < Topologie+Geometrie < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Grad einer Abbildung: Verständnis
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:18 Mo 08.05.2017
Autor: Suprema

Aufgabe
Angenommen man habe einen Lift [mm] g:\IR \to \IR [/mm] einer Abbildung [mm] f:S^1 \to S^1, [/mm] was bedeutet, dass [mm] f \circ \pi = \pi \circ g[/mm] gelten muss. Dabei ist [mm]\pi:\IR \to \IR/\IZ \cong S^1[/mm]  die Projektionsabbildung gegeben durch t [mm] \mapsto [/mm] t mod 1. Nun habe ich gelesen, dass Folgendes gilt:

1. [mm]g(x + 1) = g(x) + k[/mm]

wobei man k den Grad einer Abbildung nennt. Weiterhin soll wohl für ein f mit Grad 1 gelten, dass

2. [mm]g(x + n) = g(x) + n[/mm].

Nun versuche ich gerade zu verstehen warum 1. und 2. gelten.

Hallo zusammen,

wie in der Aufgabenstellung beschrieben, habe ich eine Frage zum Grad einer Abbildung bei der "Standard-Hochhebung des Kreises". Meine eigenen Versuche sind immer wieder gescheitet zu verstehen, was hier passiert, dennoch habe ich natürlich meine eigenen Versuche und konkreten Fragen dazu aufgeschrieben:

Eigener Versuch:

Zu 1: Sei [mm]t \in \IR[/mm] beliebig.
[mm]f([t]) = \pi(\pi^{-1}(f([t]))) = \pi(\pi^{-1}(f([t])) + k) \gdw \pi^{-1} (f([t])) = \pi^{-1}(f([t])) + k \gdw \pi^{-1} (f(\pi(t + 1))) = \pi^{-1}(f(\pi(t))) + k \gdw g(t + 1) = g(t) + k [/mm]
Also ich glaube, - und genau das verwirrt mich- dass man vollkommen analog [mm]g(x + j) = g(x) + k[/mm] für alle [mm]j,k \in \IZ[/mm] zeigen kann. Stimmt das?

Zu 2: Verstehe ich noch weniger, denn: f ist eine Grad-1-Abbildung, d.h. k=1. Aus 1. folgt somit [mm]g(t + 1) = g(t) + 1[/mm]. ABER:
[mm]g(t + 1) = \pi^{-1} \circ f \circ \pi (t + 1) = \pi^{-1} \circ f(t)[/mm]
und
[mm]g(t) + 1 = \pi^{-1} \circ f \circ \pi (t) + 1 = \pi^{-1} \circ f(t) + 1[/mm]
Somit [mm]g(t + 1) = g(t) + 1 \gdw 0 = 1[/mm]...Widerspruch!

Könnt ihr mir bei diesen Verwirrungen vllt. helfen? Ich würde das so gerne verstehen!!!

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

Vielen Dank auf jeden Fall für jeden Hinweis und viele Grüße,
Lena

        
Bezug
Grad einer Abbildung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:19 Mo 08.05.2017
Autor: donquijote

Hallo,

> Angenommen man habe einen Lift [mm]g:\IR \to \IR[/mm] einer
> Abbildung [mm]f:S^1 \to S^1,[/mm] was bedeutet, dass [mm]f \circ \pi = \pi \circ g[/mm]
> gelten muss. Dabei ist [mm]\pi:\IR \to \IR/\IZ \cong S^1[/mm]  die
> Projektionsabbildung gegeben durch t [mm]\mapsto[/mm] t mod 1. Nun
> habe ich gelesen, dass Folgendes gilt:
>  
> 1. [mm]g(x + 1) = g(x) + k[/mm]
>
> wobei man k den Grad einer Abbildung nennt. Weiterhin soll
> wohl für ein f mit Grad 1 gelten, dass
>
> 2. [mm]g(x + n) = g(x) + n[/mm].
>  
> Nun versuche ich gerade zu verstehen warum 1. und 2.
> gelten.
>  Hallo zusammen,
>  
> wie in der Aufgabenstellung beschrieben, habe ich eine
> Frage zum Grad einer Abbildung bei der "Standard-Hochhebung
> des Kreises". Meine eigenen Versuche sind immer wieder
> gescheitet zu verstehen, was hier passiert, dennoch habe
> ich natürlich meine eigenen Versuche und konkreten Fragen
> dazu aufgeschrieben:
>  
> Eigener Versuch:
>  
> Zu 1: Sei [mm]t \in \IR[/mm] beliebig.
>  [mm]f([t]) = \pi(\pi^{-1}(f([t]))) = \pi(\pi^{-1}(f([t])) + k) \gdw \pi^{-1} (f([t])) = \pi^{-1}(f([t])) + k \gdw \pi^{-1} (f(\pi(t + 1))) = \pi^{-1}(f(\pi(t))) + k \gdw g(t + 1) = g(t) + k [/mm]
>  Also ich glaube, - und genau das verwirrt mich- dass man vollkommen analog [mm]g(x + j) = g(x) + k[/mm] für alle [mm]j,k \in \IZ[/mm] zeigen kann. Stimmt das?
>

Dein Problem scheint mir zu sein, dass du mit einer "Umkehrfunktion" [mm]\pi^{-1}[/mm] argumentierst. Dabei ist [mm]\pi[/mm] aber nicht injektiv und daher nicht eindeutig umkehrbar.
Trotzdem ist der Gedqanke dahinter nicht völlig verkehrt. Sauber aufgeschrieben könnte es wie folgt aussehen:
Aus [mm]\pi(g(x+1))=f(\pi(x+1))=f(\pi(x))=\pi(g(x))[/mm] folgt, dass sich [mm]g(x)[/mm] und [mm]g(x+1)[/mm] um eine ganze Zahl unterscheiden, also [mm]g(x+1)-g(x)=k\in\mathbb{Z}[/mm].
(dies würde auch noch funktionieren, wenn x+1 durch x+j ersetzt wird).
Um zu begründen, dass k von x unabhängig ist, brauchst du eine wichtige Voraussetzung, die du unterschlagen hast, nämlich dass alle Abbildungen stetig sein müssen. Dann hat die stetige Funktion [mm]g(x+1)-g(x)[/mm] Werte in [mm]\mathbb{Z}[/mm] und muss daher konstant sein.

> Zu 2: Verstehe ich noch weniger, denn: f ist eine Grad-1-Abbildung, d.h. k=1. Aus 1. folgt somit [mm]g(t + 1) = g(t) + 1[/mm]. ABER:
>  [mm]g(t + 1) = \pi^{-1} \circ f \circ \pi (t + 1) = \pi^{-1} \circ f(t)[/mm]
>  und
>  [mm]g(t) + 1 = \pi^{-1} \circ f \circ \pi (t) + 1 = \pi^{-1} \circ f(t) + 1[/mm]
>  Somit [mm]g(t + 1) = g(t) + 1 \gdw 0 = 1[/mm]...Widerspruch!

Der Widerspruch kommt daher, dass die von der Existenz einer eindeutigen Umkerhabbildung [mm]\pi^{-1}[/mm] ausgegangen bist.
Aussage 2 ist jedoch eine direkte Folgerung aus 1 (durch Induktion zu beweisen).

>  
> Könnt ihr mir bei diesen Verwirrungen vllt. helfen? Ich würde das so gerne verstehen!!!
>  
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
>  
> Vielen Dank auf jeden Fall für jeden Hinweis und viele Grüße,
>  Lena


Bezug
                
Bezug
Grad einer Abbildung: Danke schön!
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:25 Mo 08.05.2017
Autor: Suprema

Hallo, ich möchte mich schon einmal bei dir bedanken. Ich habe verstanden, dass die Projektionsabbildung nicht bijektiv ist! Ich werde mir gleich nochmal den anderen Beweis vornehmen und falls ich noch Fragen habe, mich nochmals melden. Vielen Dank nochmal!!! :)

Bezug
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