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Gradient eines Elektrischen Fe: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:22 Fr 31.10.2014
Autor: Melissa38

Aufgabe
[mm] \phi(r)= [/mm] - [mm] \bruch{q}{4*\pi\epsilon_1}* \bruch{1}{2R}+\bruch{q}{4*\pi*\epsilon_2}*(\bruch{1}{r}-\bruch{1}{R}) [/mm]

r= [mm] \wurzel{x^2+y^2+z^2} [/mm]

R, q , [mm] \epsilon:1 [/mm] und [mm] \epsilon_2 [/mm] sind Konstanten


Gesucht  [mm] -\nabla \phi(r) [/mm]


auf dem Napla ist noch ein Vektorpfeil abgebildet


r= [mm] \wurzel{x^2+y^2+z^2} [/mm]

R, q , [mm] \epsilon_1 [/mm] und [mm] \epsilon_2 [/mm] sind Konstanten


[mm] \vektor{- \bruch{\partial \phi(r)}{\partial x} \\ - \bruch{\partial \phi(r)}{\partial y} \\ - \bruch{\partial \phi(r)}{\partial z}} [/mm] =

[mm] \vektor{- \bruch{x}{r} \\ - \bruch{y}{r} \\ - \bruch{\z}{r}} [/mm] =
[mm] \- \bruch {1}{\vec r}\vektor{x \\ y \\ z} [/mm]
soweit bin ich gekommen


ich komme nicht auf diese Lösung

[mm] \bruch{q}{4*\pi\epsilon_2}* \bruch{ \vec r}{r^3} [/mm]

Was muss ich machen ?













Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Gradient eines Elektrischen Fe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:07 Fr 31.10.2014
Autor: chrisno


> .... Was muss ich machen ?
>  

Zuerst [mm] $\br{1}{r}$ [/mm] richtig ableiten. Das r, also der Wurzelterm, steht im Nenner.
Dann die multiplikative Konstante überleben lassen.

Bezug
                
Bezug
Gradient eines Elektrischen Fe: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:26 Fr 31.10.2014
Autor: Melissa38

Jetzt komm ich auf
[mm] \vektor{- \bruch{x}{\wurzel[2]{r^3}} \\ - \bruch{y}{\wurzel[2]{r^3}} \\ - \bruch{z}{\wurzel[2]{r^3}}} \bruch{q}{4*\pi\epsilon_2}* \bruch [/mm] ?


Aber immernoch Falsch ?




Bezug
                        
Bezug
Gradient eines Elektrischen Fe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:46 Fr 31.10.2014
Autor: MathePower

Hallo melissa38,

> Jetzt komm ich auf
> [mm]\vektor{- \bruch{x}{\wurzel[2]{r^3}} \\ - \bruch{y}{\wurzel[2]{r^3}} \\ - \bruch{z}{\wurzel[2]{r^3}}} \bruch{q}{4*\pi\epsilon_2}* \bruch[/mm]
> ?
>


Das ist [mm]\nabla \phi\left(r\right)[/mm]


>
> Aber immernoch Falsch ?
>  


Gruss
MathePower

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Gradient eines Elektrischen Fe: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:54 Fr 31.10.2014
Autor: Melissa38

[mm] \bruch{q}{4\cdot{}\pi\epsilon_2}\cdot{} \bruch{ \vec r}{r^3} [/mm]

Das steht aber als Lösung drin ?

Bezug
                                        
Bezug
Gradient eines Elektrischen Fe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:45 Fr 31.10.2014
Autor: MathePower

Hallo melissa38,

> [mm]\bruch{q}{4\cdot{}\pi\epsilon_2}\cdot{} \bruch{ \vec r}{r^3}[/mm]
>  


Das ist ja auch die richtige Lösung.


> Das steht aber als Lösung drin ?


Gruss
MathePower

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Gradient eines Elektrischen Fe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:56 Fr 31.10.2014
Autor: IdeeFix

Die Funktion Phi hat nur eine Variable nämlich 1/r.
Diese schreibst Du in karthesischen Koordinaten am besten so:
[mm] sqrt(x^2 [/mm] + [mm] y^2 [/mm] + [mm] z^2)^{-1/2}. [/mm]

Der ganze Therm hat folgende Struktur: C1 + C2(1/r - C3).

Der Nablooperator sieht aus wie ein Vektor. Stell Dir vor den partiellen Ableitungen nach x, y ,z immer noch die Einheitsvektoren x-Dach,..,z-Dach vor.

Jetzt bildest Du die partiellen Ableitungen von [mm] sqrt(x^2+y^2+z^2)^{-1/2}. [/mm]

Das ergibt für x: [mm] (-1/2)(x^2+y^2+z^2)^{-3/2} [/mm] * 2x

Das Ganze noch für y und z, dazwischen steht ein +.

Jetzt mußt Du ausklammern und die Einheitsvektoren nicht vergessen. Dann hast Du - die Konstanten vergessen wir noch : (x*x-Dach + y*y-Dach + z*z-Dach)ein Vektor im Zähler, also r im Zähler und [mm] r^3 [/mm] im Nenner und noch die Konstante C2 davor.

Das dürfte es gewesen sein.

Also Trick: r in karthesischen Koordinaten richtig hinschreiben, die Ableitungen richtig bilden und wieder alles zusammensetzen.

Das Ganze kannst Du auch direkt in sphärischen Koordinaten machen. Dann kannst Du direkt dPhi/dr bilden.

Sorry ich habe mir noch nicht angeschaut, wie man hier Formeln eingibt.

Bezug
                
Bezug
Gradient eines Elektrischen Fe: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:21 Fr 31.10.2014
Autor: Melissa38

Danke für die Ausführliche Antwort.

> Die Funktion Phi hat nur eine Variable nämlich 1/r.
>  Diese schreibst Du in karthesischen Koordinaten am besten
> so:
>  [mm]sqrt(x^2[/mm] + [mm]y^2[/mm] + [mm]z^2)^{-1/2}.[/mm]
>  
> Der ganze Therm hat folgende Struktur: C1 + C2(1/r - C3).
>  
> Der Nablooperator sieht aus wie ein Vektor. Stell Dir vor
> den partiellen Ableitungen nach x, y ,z immer noch die
> Einheitsvektoren x-Dach,..,z-Dach vor.
>  
> Jetzt bildest Du die partiellen Ableitungen von
> [mm]sqrt(x^2+y^2+z^2)^{-1/2}.[/mm]
>  
> Das ergibt für x: [mm](-1/2)(x^2+y^2+z^2)^{-3/2}[/mm] * 2x
>  
> Das Ganze noch für y und z, dazwischen steht ein +.


(- [mm] \bruch{x}{2*(x^2+y^2+z^2)^\bruch{3}{2}}) [/mm] +(- [mm] \bruch{y}{2*(x^2+y^2+z^2)^\bruch{3}{2}})+(- \bruch{z}{2*(x^2+y^2+z^2)^\bruch{3}{2}}) [/mm]


[mm] \bruch{q}{4\cdot{}\pi\epsilon_2}\cdot{} \bruch [/mm]

>  

> Jetzt mußt Du ausklammern und die Einheitsvektoren nicht
> vergessen. Dann hast Du - die Konstanten vergessen wir noch

- [mm] \bruch{1}{2*(x^2+y^2+z^2)^\bruch{3}{2}}(x *e_1+y*e_2+z*e_3) [/mm]
so ?

> : (x*x-Dach + y*y-Dach + z*z-Dach)ein Vektor im Zähler,
> also r im Zähler und [mm]r^3[/mm] im Nenner und noch die Konstante
> C2 davor.
>  

Den Letzen Teil habe ich nicht ganz verstanden mit

[mm] (x*\hat{x}+y*\hat{y}+z*\hat{z}) [/mm] ?

> Das dürfte es gewesen sein.
>  
> Also Trick: r in karthesischen Koordinaten richtig
> hinschreiben, die Ableitungen richtig bilden und wieder
> alles zusammensetzen.
>  
> Das Ganze kannst Du auch direkt in sphärischen Koordinaten
> machen. Dann kannst Du direkt dPhi/dr bilden.
>  
> Sorry ich habe mir noch nicht angeschaut, wie man hier
> Formeln eingibt.  

Bezug
                        
Bezug
Gradient eines Elektrischen Fe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:24 Fr 31.10.2014
Autor: chrisno


> Danke für die Ausführliche Antwort.
>  
> > Die Funktion Phi hat nur eine Variable nämlich 1/r.
>  >  Diese schreibst Du in karthesischen Koordinaten am
> besten
> > so:
>  >  [mm]sqrt(x^2[/mm] + [mm]y^2[/mm] + [mm]z^2)^{-1/2}.[/mm]
>  >  
> > Der ganze Therm hat folgende Struktur: C1 + C2(1/r - C3).
>  >  
> > Der Nablooperator sieht aus wie ein Vektor. Stell Dir vor
> > den partiellen Ableitungen nach x, y ,z immer noch die
> > Einheitsvektoren x-Dach,..,z-Dach vor.
>  >  
> > Jetzt bildest Du die partiellen Ableitungen von
> > [mm]sqrt(x^2+y^2+z^2)^{-1/2}.[/mm]
>  >  
> > Das ergibt für x: [mm](-1/2)(x^2+y^2+z^2)^{-3/2}[/mm] * 2x
>  >  
> > Das Ganze noch für y und z, dazwischen steht ein +.

da wäre schon ein Hinweis auf die Einheitsvektoren hilfreich gewesen,

>  
>

Die müssen hier nämlich schon drin stehen, dafür sind ein paar Zweier verloren gegangen

> (- [mm]\bruch{x}{2*(x^2+y^2+z^2)^\bruch{3}{2}})[/mm] +(- [mm]\bruch{y}{2*(x^2+y^2+z^2)^\bruch{3}{2}})+(- \bruch{z}{2*(x^2+y^2+z^2)^\bruch{3}{2}})[/mm]

[mm]\left(\bruch{-2x}{2*(x^2+y^2+z^2)^\bruch{3}{2}}\vec{e_1} + \bruch{-2y}{2*(x^2+y^2+z^2)^\bruch{3}{2}}\vec{e_2}+\bruch{-2z}{2*(x^2+y^2+z^2)^\bruch{3}{2}}\vec{e_3}\right)\bruch{q}{4\cdot{}\pi\epsilon_2}[/mm]

> >  

>
> > Jetzt mußt Du ausklammern und die Einheitsvektoren nicht
> > vergessen. Dann hast Du - die Konstanten vergessen wir noch
>
> - [mm]\bruch{1}{2*(x^2+y^2+z^2)^\bruch{3}{2}}(x *e_1+y*e_2+z*e_3)[/mm]
> so ?

ja

>  
> > : (x*x-Dach + y*y-Dach + z*z-Dach)ein Vektor im Zähler,
> > also r im Zähler und [mm]r^3[/mm] im Nenner und noch die Konstante
> > C2 davor.
>  >  
> Den Letzen Teil habe ich nicht ganz verstanden mit
>  
> [mm](x*\hat{x}+y*\hat{y}+z*\hat{z})[/mm] ?

Bleib bei Deinen Bezeichnungen [mm] $\vec{e_1}$ [/mm] usw.
[mm]\left(\bruch{-x}{(x^2+y^2+z^2)^\bruch{3}{2}}\vec{e_1} + \bruch{-y}{(x^2+y^2+z^2)^\bruch{3}{2}}\vec{e_2}+\bruch{-z}{(x^2+y^2+z^2)^\bruch{3}{2}}\vec{e_3}\right)\bruch{q}{4\cdot{}\pi\epsilon_2}[/mm] =
[mm]\left(\bruch{x}{r^3}\vec{e_1} + \bruch{y}{r^3}\vec{e_2}+\bruch{z}{r^3}\vec{e_3}\right)\bruch{-q}{4\cdot{}\pi\epsilon_2}[/mm] =
[mm]\left(x\vec{e_1} + y\vec{e_2}+z\vec{e_3}\right)\bruch{1}{r^3}\bruch{-q}{4\cdot{}\pi\epsilon_2}[/mm] =
[mm]\vec{r}\bruch{1}{r^3}\bruch{-q}{4\cdot{}\pi\epsilon_2}[/mm]

>  
> > Das dürfte es gewesen sein.
>  >  
> > Also Trick: r in karthesischen Koordinaten richtig
> > hinschreiben, die Ableitungen richtig bilden und wieder
> > alles zusammensetzen.
>  >  
> > Das Ganze kannst Du auch direkt in sphärischen Koordinaten
> > machen. Dann kannst Du direkt dPhi/dr bilden.
>  >  
> > Sorry ich habe mir noch nicht angeschaut, wie man hier
> > Formeln eingibt.  


Bezug
                                
Bezug
Gradient eines Elektrischen Fe: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:31 Fr 31.10.2014
Autor: Melissa38

Vielen Dank :)

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