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Forum "Vektoren" - Gradient und Hessematrix
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Gradient und Hessematrix: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:48 Fr 10.07.2009
Autor: benjerrry

Aufgabe
Betrachten Sie die Funktion
f(x1,x2) = 6 * x1² + 4 * x1 * x2 + 2 * x2² - 18 * x1 + 12 * x2

a) Geben Sie den Gradienten von f an.
b) Geben Sie die zugehörige Hessematrix an.

Kann mir vielleicht jemand bei der Lösung behilflich sein? Brauche umbedingt den Lösungsweg, da diese Aufgabe definitv morgen eine Klausuraufgabe sein wird.

Bin eine kleine Mathe-Niete :-(

Danke im Voraus.

LG
Mirco

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Gradient und Hessematrix: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:53 Fr 10.07.2009
Autor: angela.h.b.


> Betrachten Sie die Funktion
>  f(x1,x2) = 6 * x1² + 4 * x1 * x2 + 2 * x2² - 18 * x1 +
> 12 * x2
>  
> a) Geben Sie den Gradienten von f an.

Hallo,

für den gradienten mußt Du die beiden partiellen Ableitungen nach [mm] x_1 [/mm] und [mm] x_2 [/mm] in einen Vektor "stapeln": grad f= [mm] \vektor{f_{x_1}\\f_{x_2}} [/mm]

>  b) Geben Sie die zugehörige Hessematrix an.

Für die Hessematrix brauchst Du die 2. partiellen Ableitungen.

Es ist [mm] H_f= \pmat{ f_{x_1x_1} & f_{x_1x_2} \\ f_{x_2x_1} & f_{x_2x_2} } [/mm]


>  Kann mir vielleicht jemand bei der Lösung behilflich
> sein?

Leg mal los und zeig, was Du erreichst.

Gruß v. Angela



Brauche umbedingt den Lösungsweg, da diese Aufgabe

> definitv morgen eine Klausuraufgabe sein wird.
>  
> Bin eine kleine Mathe-Niete :-(
>  
> Danke im Voraus.
>  
> LG
>  Mirco
>  
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.  


Bezug
                
Bezug
Gradient und Hessematrix: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:00 Fr 10.07.2009
Autor: benjerrry

Danke für die schnelle Antwort.

Aber was ist nun eine partielle Abteilung?
Das gleiche wie eine "normale Ableitung" ?

Falls ja, würde ich es so machen:

f'(x1,x2) = 12 x1 + 4 x2 + 4 x2 - 18 x1 + 12 x2

Bezug
                        
Bezug
Gradient und Hessematrix: partielle Ableitungen
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:02 Fr 10.07.2009
Autor: Roadrunner

Hallo Benjerry!


Bei der partiellen Ableitung nach [mm] $x_1$ [/mm] werden alle anderen Variablen wie z.B. [mm] $x_2$ [/mm] wie Konstanten behandelt.


Gruß vom
Roadrunner


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Bezug
Gradient und Hessematrix: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:06 Fr 10.07.2009
Autor: benjerrry

Also so:

Vf = (12 x1 + 4 x2 - 18       4 x1 + 4 x2 + 12)

und dann die Hessematrix:

Hf = (12  4)
        (4    4)

Bezug
                                        
Bezug
Gradient und Hessematrix: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:20 Fr 10.07.2009
Autor: angela.h.b.


> Also so:
>
> Vf = (12 x1 + 4 x2 - 18       4 x1 + 4 x2 + 12)
>  
> und dann die Hessematrix:
>  
> Hf = (12  4)
>          (4    4)

Hallo,

ja, richtig.

Gruß v. Angela

Bezug
                                        
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Gradient und Hessematrix: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:55 Fr 10.07.2009
Autor: benjerrry

Nochmal zum Verständnis..

f(x1,x2) = 6 * x1² + 4 * x1 * x2 + 2 * x2² - 18 * x1 + 12 * x2

wenn ich das jetzt erstmal nach x1 ableite ist das Ergebnis ja

12 x1 + 4 x2 - 18

Aber wieso?
Die x2 muss ich ja nicht beachten und die fallen alle weg, aber wieso wird aus dem 4 x1 nach der Ableitung ein 4 x2 und wieso fällt bei 18 x1 nach der Ableitung einfach das x1 weg???

Bezug
                                                
Bezug
Gradient und Hessematrix: siehe auch oben!
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:02 Fr 10.07.2009
Autor: Roadrunner

Hallo benjerry!


Wie ich oben schon schrieb: bei der partiellen Ableitung nach [mm] $x_1$ [/mm] werden alle anderen Variablen als konstant angesehen.

Ersetze doch einfach mal jedes [mm] $x_1$ [/mm] durch $x_$ und jedes [mm] $x_2$ [/mm] durch eine beliebige Zahl, z.B. [mm] $x_2 [/mm] \ = \ 4$ .

Dann wie gewohnt die Ableitung bilden. Was stellst Du fest?


Gruß vom
Roadrunner


Bezug
                                                        
Bezug
Gradient und Hessematrix: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:38 Fr 10.07.2009
Autor: benjerrry

Dann habe ich:

nach x1 abgelitet:


6x² + 4x * 4 + 2 * 4² - 18x + 12 * 4

normal abgeleitet ergibt das dann aber

12x + 4 - 18 und nicht 12x1 + 4x2 -18


nach x2 abgeleitet:

6 * 4² + 4 * 4 * x2 + 2 *x2² - 18 * 4 + 12 * x2

normal abgeleitet würde das dann

x2 + 4x2 + 12x2 und nicht 4x1 + 4x2 + 12


Bezug
                                                                
Bezug
Gradient und Hessematrix: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:12 Fr 10.07.2009
Autor: angela.h.b.

Hallo,

der Vorschlag, das [mm] x_2 [/mm] mal durch eine Zahl zu ersetzen, war doch nur eine kleine Vorübung...

Merke Dir: wenn Du partiell nach [mm] x_1 [/mm] ableitest, behandelst Du die [mm] x_2 [/mm] so, als stünden da irgendwelche festen Zahlen,

und wenn Du partiell nach [mm] x_2 [/mm] ableitest, machst Du's umgekehrt.



Beispiel:  

g(x,y)=x^2y + [mm] xy^5 [/mm] + 17xy +2x +3y +9

[mm] g_x(x,y)=2xy+y^5+17y [/mm] +2

[mm] g_y(x,y)=x^2+5xy^4 [/mm] + 17x+3

[mm] g_x_y(x,y)= (g_x(x,y))_y= 2x+5y^4+17, [/mm]

die anderen schaffst Du nu nsicher selbst.

Gruß v. Angela


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