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Forum "Lineare Algebra - Skalarprodukte" - Gram-Schmidt-Verfahren
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Gram-Schmidt-Verfahren: Tipp
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:49 Di 14.05.2013
Autor: Approximus

Aufgabe
Bestimmen sie durch Anwendung des Gram-Schmidt-Verfahrens auf die ersten fünf Elemente der Menge [mm] M:=\{x_{n}\in L^{2}((-1,1),\IR):x_{n}(t)=t^{n},n=0,1,2,3,...\} [/mm] ein Orthonormalsystem [mm] S=\{e_{0},...,e_{4}\} [/mm] in [mm] L^{2}((-1,1),\IR) [/mm] mit [mm] span\{S\}=span\{x_{n}:n=0,...,4\} [/mm]


Hallo,
Ich brauche einen kleinen Tipp bei der Ausführung des Gram-Schmidt-Verfahrens.

[mm] x_{0}=t^{0}=1 [/mm]

[mm] e_{0}=\bruch{x_{0}}{\parallel x_{0}\parallel}=e_{x_{0}} [/mm] was ja eigentlich [mm] e_{x} [/mm] ist.

[mm] e'_{1}=x_{2}-*e_{0} [/mm]
[mm] e_{1}=\bruch{e'_{1}}{\parallel e'_{1}\parallel} [/mm]

[mm] x_{1}=t [/mm]
Das Skalarprodukt in [mm] L^{2}((-1,1),\IR) [/mm] ist mit [mm] \integral_{-1}^{1}{f(x)g(x) dx} [/mm] definiert.
Also habe ich [mm] =\integral_{-1}^{1}{e_{0}*t dt} [/mm]

Nehme ich jetzt hier einfach [mm] e_{0}=1 [/mm] und [mm] x_{1}=t [/mm] und es folgt [mm] =\integral_{-1}^{1}{t dt}=0 [/mm] und es würde sich für [mm] e_{1}'=t [/mm] ergeben und daraus weiter [mm] e_{1}=\bruch{t}{\parallel t\parallel}=e_{t}? [/mm]

Ich hoffe Ihr könnt mir helfen meine vorübergehende Konfusion zu überwinden.

Diese Frage habe ich in keinem anderen Forum gestellt
MfG

        
Bezug
Gram-Schmidt-Verfahren: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:48 Di 14.05.2013
Autor: angela.h.b.


> Bestimmen sie durch Anwendung des Gram-Schmidt-Verfahrens
> auf die ersten fünf Elemente der Menge [mm]M:=\{x_{n}\in L^{2}((-1,1),\IR):x_{n}(t)=t^{n},n=0,1,2,3,...\}[/mm]
> ein Orthonormalsystem [mm]S=\{e_{0},...,e_{4}\}[/mm] in
> [mm]L^{2}((-1,1),\IR)[/mm] mit [mm]span\{S\}=span\{x_{n}:n=0,...,4\}[/mm]

Hallo,

mal zum Sortieren für mich:
[mm] span\{S} [/mm] wird erzeugt von 1, x, [mm] x^2, x^3, x^4, [/mm]

also ist [mm] Span\{S\}=span\{1, x, x^2, x^3, x^4\}. [/mm]

Die 5 Vektoren sind linear unabhängig, also eine Basis von [mm] Span\{S\}, [/mm] und Du sollst aus diesen nun mithilfe des Gram-Schmidt-Verfahrens eine ONB herstellen. Die 5 Vektoren der ONB sollen [mm] e_0,...,e_4 [/mm] heißen.

Das Skalarprodukt auf dem Dir vorliegenden Raum ist gegeben durch <f(x), [mm] g(x)>:=\integral_{-1}^{1}{f(x)g(x) dx}, [/mm]
und es ist
[mm] \parallel f(x)\parallel =\wurzel{\integral_{-1}^{1}{(f(x))^2dx}} [/mm]


> [mm]x_{0}=t^{0}=1[/mm]

>

Jetzt normieren:

> [mm] e_{0}=\bruch{x_{0}}{\parallel x_{0}\parallel} [/mm]

[mm] =\bruch{1}{\parallel 1\parallel} [/mm]

Genau. Und was kommt raus, wenn Du normiert hast?

> [mm]e_{0}=\bruch{x_{0}}{\parallel x_{0}\parallel}=e_{x_{0}}[/mm] was
> ja eigentlich [mm]e_{x}[/mm] ist.

??? Ich glaub, das ist ziemlicher Blödsinn...



>

> [mm]e'_{1}=x_{2}-*e_{0}[/mm]

Wäre jetzt nicht erstmal [mm] x_1 [/mm] zu verwursten, wenn man die Reihenolge einhält?

Das Skalarprodukt mußt Du ausführen,

> [mm]e_{1}=\bruch{e'_{1}}{\parallel e'_{1}\parallel}[/mm]

und anschließend die Normierung.

Und dann machst Du weiter mit Gram-Schmidt bis zum bitteren Ende.
Am Schluß hast Du 5 Polynome.



>

> [mm]x_{1}=t[/mm]
> Das Skalarprodukt in [mm]L^{2}((-1,1),\IR)[/mm] ist mit
> [mm]\integral_{-1}^{1}{f(x)g(x) dx}[/mm] definiert.
> Also habe ich [mm]=\integral_{-1}^{1}{e_{0}*t dt}[/mm]


Genau.

>

> Nehme ich jetzt hier einfach [mm]e_{0}=1[/mm]

[mm] e_0 [/mm] ist nicht =1.
Du mußt die Norm bzgl des hier vorliegenden Skalarproduktes berechnen, s.o.



> und [mm]x_{1}=t[/mm] und es
> folgt [mm]=\integral_{-1}^{1}{t dt}=0[/mm]


Es muß [mm] [/mm] heißen, und [mm] e_0 [/mm] ist nicht =1,
aber Du hast das Wesentliche verstanden: Du mußt dieses durchs Integral definierte Skalarprodukt nehmen.

LG Angela


> und es
> würde sich für [mm]e_{1}'=t[/mm] ergeben und daraus weiter
> [mm]e_{1}=\bruch{t}{\parallel t\parallel}=e_{t}?[/mm]

>

> Ich hoffe Ihr könnt mir helfen meine vorübergehende
> Konfusion zu überwinden.

>

> Diese Frage habe ich in keinem anderen Forum gestellt
> MfG


Bezug
        
Bezug
Gram-Schmidt-Verfahren: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:39 Di 21.05.2013
Autor: Approximus

Hallo Angela,
vielen Dank für deine Hilfe. Mit der richtigen Norm macht das ganze natürlich mehr Sinn. Ich war aus irgend einem Grund bei der euklidischen Norm.

[mm] \parallel [/mm] 1 [mm] \parallel=\wurzel{2} [/mm]

und damit ergibt sich für [mm] e_{0}=\bruch{1}{\wurzel{2}} [/mm]

naja und den Rest weiter nach dem Gram-Schmidt-Verfahren.
Viele Grüße.

Bezug
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