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Gram-Schmidt: Vektor mit Länge 0
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:38 Mi 04.03.2015
Autor: MeMeansMe

Aufgabe
Wende die Gram-Schmidt-Methode an auf die Teilmenge $S = [mm] \{\vektor{1\\i\\0}, \vektor{1-i\\2\\4i}\}$ [/mm] des Skalarproduktraumes $V = [mm] \IC^3$ [/mm] an, um eine orthogonale Basis für den Span von $S$ zu erzeugen. Normiere die Vektoren, die du erhältst, um eine orthonormale Basis zu erhalten. Gib am Ende die (Fourier) Koeffizienten des Vektors [mm] $\vektor{3+i\\4i\\-4}$ [/mm] und der erstellten Basis.

Hallo, zusammen,

an sich weiß ich, was ich zu tun habe, um eine Menge von Vektoren zu orthogonalisieren, aber in diesem Fall stoße ich auf ein Problem. Ich nenne die beiden Vektoren in $S$ nun [mm] $s_1$ [/mm] und [mm] $s_2$ [/mm] und die neuen, orthogonalen Vektoren [mm] $v_1$ [/mm] und [mm] $v_2$. [/mm]

Für [mm] $v_1$ [/mm] wähle ich einfach:

[mm] $v_1 [/mm] = [mm] s_1 [/mm] = [mm] \vektor{1\\i\\0}$ [/mm]

[mm] $v_2$ [/mm] erhalte ich dann auf diese Weise:

[mm] $v_2 [/mm] = [mm] s_2 [/mm] - [mm] \bruch{}{\parallel v_1 \parallel^2}v_1$, [/mm]

wobei [mm] $\parallel v_1 \parallel [/mm] = [mm] \wurzel{}$ [/mm] die Länge des Vektors [mm] $v_1$ [/mm] bezeichnet. Aber genau hier liegt das Problem:

[mm] $\parallel v_1 \parallel^2 [/mm] = [mm] [/mm] = 0$

Ich müsste also durch $0$ teilen. Ist das einfach ein Fehler oder übersehe ich etwas?

Liebe Grüße.

        
Bezug
Gram-Schmidt: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:48 Mi 04.03.2015
Autor: MathePower

Hallo MeMeansMe,

> Wende die Gram-Schmidt-Methode an auf die Teilmenge [mm]S = \{\vektor{1\\i\\0}, \vektor{1-i\\2\\4i}\}[/mm]
> des Skalarproduktraumes [mm]V = \IC^3[/mm] an, um eine orthogonale
> Basis für den Span von [mm]S[/mm] zu erzeugen. Normiere die
> Vektoren, die du erhältst, um eine orthonormale Basis zu
> erhalten. Gib am Ende die (Fourier) Koeffizienten des
> Vektors [mm]\vektor{3+i\\4i\\-4}[/mm] und der erstellten Basis.
>  Hallo, zusammen,
>  
> an sich weiß ich, was ich zu tun habe, um eine Menge von
> Vektoren zu orthogonalisieren, aber in diesem Fall stoße
> ich auf ein Problem. Ich nenne die beiden Vektoren in [mm]S[/mm] nun
> [mm]s_1[/mm] und [mm]s_2[/mm] und die neuen, orthogonalen Vektoren [mm]v_1[/mm] und
> [mm]v_2[/mm].
>  
> Für [mm]v_1[/mm] wähle ich einfach:
>  
> [mm]v_1 = s_1 = \vektor{1\\i\\0}[/mm]
>  
> [mm]v_2[/mm] erhalte ich dann auf diese Weise:
>  
> [mm]v_2 = s_2 - \bruch{}{\parallel v_1 \parallel^2}v_1[/mm],
>  
> wobei [mm]\parallel v_1 \parallel = \wurzel{}[/mm] die
> Länge des Vektors [mm]v_1[/mm] bezeichnet. Aber genau hier liegt
> das Problem:
>


Hier ist

[mm]\vmat{\vmat{v_{1}}} = \wurzel{}=\wurzel{\vektor{1\\i\\0}.\vektor{1\\-i\\0}}[/mm]



> [mm]\parallel v_1 \parallel^2 = = 0[/mm]
>  
> Ich müsste also durch [mm]0[/mm] teilen. Ist das einfach ein Fehler
> oder übersehe ich etwas?
>  
> Liebe Grüße.


Gruss
MathePower

Bezug
        
Bezug
Gram-Schmidt: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:54 Mi 04.03.2015
Autor: fred97

Das Standardskalarprodukt auf [mm] \IC^n [/mm] ist wie folgt definiert:  

für [mm] z=(z_1,....,z_n), w=(w_1,...,w_n) [/mm] ist

    $<z,w>:= [mm] \summe_{k=1}^{n}z_k* \overline{w_k}$ [/mm]

Du hast die Konjugation vergessen !

FRED

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Bezug
Gram-Schmidt: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:25 Do 05.03.2015
Autor: MeMeansMe

Hallo,

danke für die Antworten! Ich poste hier mal meine Lösung.

Also, wir haben die Menge $S = [mm] \{s_1, s_2\} [/mm] = [mm] \{\vektor{1\\i\\0}, \vektor{1-i\\2\\4i}\}$ [/mm] und den Vektor $h = [mm] \vektor{3+i\\4i\\-4}$. [/mm] Wir erstellen nun die orthogonalen Vektoren [mm] $v_1$ [/mm] und [mm] $v_2$. [/mm]

[mm] $v_1 [/mm] = [mm] \vektor{1\\i\\i}$ [/mm]
[mm] $v_2 [/mm] = [mm] s_2 [/mm] - [mm] \bruch{}{\parallel v_1 \parellel^2} [/mm] = [mm] \vektor{1-i\\2\\4i} [/mm] - [mm] \bruch{1+i}{2}\vektor{1\\i\\0} [/mm] = [mm] \vektor{1/2-3/2i\\5/2-1/2i\\0}$ [/mm]

Um diese Vektoren zu orthonormalisieren und [mm] $n_1$ [/mm] bzw. [mm] $n_2$ [/mm] zu erhalten, berechnen wir die Längen von [mm] $v_1$ [/mm] und [mm] $v_2$: [/mm]

[mm] $\parallel v_1 \parallel [/mm] = [mm] \wurzel{2}$ [/mm]
[mm] $\parallel v_2 \parallel [/mm] = 3$

Also:

[mm] $n_1 [/mm] = [mm] \bruch{1}{\wurzel{2}}v_1 [/mm] = [mm] \bruch{1}{\wurzel{2}}\vektor{1\\i\\0}$ [/mm]
[mm] $n_2 [/mm] = [mm] \bruch{1}{3}v_2 [/mm] = [mm] \bruch{1}{3}\vektor{1/2-3/2i\\5/2-1/2i\\0}$ [/mm]

Die Fourierkoeffizienten [mm] $a_i$ [/mm] werden dann berechnet mit [mm] $$: [/mm]

[mm] $a_1 [/mm] = [mm] [/mm] = [mm] <\vektor{3+i\\4i\\-4},\bruch{1}{\wurzel{2}}\vektor{1\\i\\0}> [/mm] = [mm] \bruch{7\wurzel{2}}{2}+\bruch{\wurzel{2}}{2}i$ [/mm]
[mm] $a_2 [/mm] = [mm] [/mm] = [mm] <\vektor{3+i\\4i\\-4},\bruch{1}{3}\vektor{1/2-3/2i\\5/2-1/2i\\0}> [/mm] = [mm] -\bruch{2}{3}+5i$ [/mm]

Ist es so in Ordnung?

Liebe Grüße.

Bezug
                
Bezug
Gram-Schmidt: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:08 Do 05.03.2015
Autor: MathePower

Hallo MeMeansMe,

> Hallo,
>  
> danke für die Antworten! Ich poste hier mal meine
> Lösung.
>  
> Also, wir haben die Menge [mm]S = \{s_1, s_2\} = \{\vektor{1\\i\\0}, \vektor{1-i\\2\\4i}\}[/mm]
> und den Vektor [mm]h = \vektor{3+i\\4i\\-4}[/mm]. Wir erstellen nun
> die orthogonalen Vektoren [mm]v_1[/mm] und [mm]v_2[/mm].
>  
> [mm]v_1 = \vektor{1\\i\\i}[/mm]
>  [mm]v_2 = s_2 - \bruch{}{\parallel v_1 \parellel^2} = \vektor{1-i\\2\\4i} - \bruch{1+i}{2}\vektor{1\\i\\0} = \vektor{1/2-3/2i\\5/2-1/2i\\0}[/mm]
>  

Die Vektoren [mm]v_{1}, \ v_{2}[/mm] sind nicht orthogonal in [mm]}\IC^3}[/mm]


> Um diese Vektoren zu orthonormalisieren und [mm]n_1[/mm] bzw. [mm]n_2[/mm] zu
> erhalten, berechnen wir die Längen von [mm]v_1[/mm] und [mm]v_2[/mm]:
>  
> [mm]\parallel v_1 \parallel = \wurzel{2}[/mm]
>  [mm]\parallel v_2 \parallel = 3[/mm]
>  
> Also:
>  
> [mm]n_1 = \bruch{1}{\wurzel{2}}v_1 = \bruch{1}{\wurzel{2}}\vektor{1\\i\\0}[/mm]
>  
> [mm]n_2 = \bruch{1}{3}v_2 = \bruch{1}{3}\vektor{1/2-3/2i\\5/2-1/2i\\0}[/mm]
>  
> Die Fourierkoeffizienten [mm]a_i[/mm] werden dann berechnet mit
> [mm][/mm]:
>  
> [mm]a_1 = = <\vektor{3+i\\4i\\-4},\bruch{1}{\wurzel{2}}\vektor{1\\i\\0}> = \bruch{7\wurzel{2}}{2}+\bruch{\wurzel{2}}{2}i[/mm]
>  
> [mm]a_2 = = <\vektor{3+i\\4i\\-4},\bruch{1}{3}\vektor{1/2-3/2i\\5/2-1/2i\\0}> = -\bruch{2}{3}+5i[/mm]
>  
> Ist es so in Ordnung?
>  


Nein.


> Liebe Grüße.


Gruss
MathePower

Bezug
                        
Bezug
Gram-Schmidt: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:28 Fr 06.03.2015
Autor: MeMeansMe

Hallo,

>
> Die Vektoren [mm]v_{1}, \ v_{2}[/mm] sind nicht orthogonal in
> [mm]}\IC^3}[/mm]
>  

Neuer Versuch. Zur Erinnerung: $S = [mm] \{s_1, s_2\} [/mm] = [mm] \{\vektor{1\\i\\0}, \vektor{1-i\\2\\4i}\}$ [/mm] und $h = [mm] \vektor{3+i,4i,-4}$. [/mm]

[mm] $v_1$ [/mm] und [mm] $v_2$ [/mm] sind die orthogonales Vektoren:

[mm] $v_1 [/mm] = [mm] s_1 [/mm] = [mm] \vektor{1\\i\\0}$ [/mm]
[mm] $v_2 [/mm] = [mm] s_2 [/mm] - [mm] \bruch{}{\parallel v_1 \parallel^2}v_1 [/mm] = [mm] \vektor{1-i\\2\\4i}-\bruch{1-3i}{2}\vektor{1\\i\\0} [/mm] = [mm] \vektor{1/2+1/2i\\1/2-1/2i\\4i}$ [/mm]

Das Skalarprodukt von [mm] $v_1$ [/mm] und [mm] $v_2$ [/mm] ergibt 0, d.h. die Vektoren sind orthogonal.

Die Längen sind:

[mm] $\parallel v_1 \parallel [/mm] = [mm] \wurzel{2}$ [/mm]
[mm] $\parallel v_2 \parallel [/mm] = [mm] \wurzel{17}$ [/mm]

Und die normierten Vektoren [mm] $n_1$ [/mm] und [mm] $n_2$ [/mm] dann:

[mm] $n_1 [/mm] = [mm] \bruch{1}{\wurzel{2}}\vektor{1\\i\\0}$ [/mm]
[mm] $n_2 [/mm] = [mm] \bruch{1}{\wurzel{17}}\vektor{1/2+1/2i\\1/2-1/2i\\4i}$ [/mm]

Die Fourierkoeffizienten wären dann:

[mm] $a_1 [/mm] = [mm] [/mm] = [mm] \bruch{7\wurzel{2}}{2}+\bruch{\wurzel{2}}{2}i$ [/mm]
[mm] $a_2 [/mm] = [mm] [/mm] = [mm] \wurzel{17}i$ [/mm]

Ich hoffe, jetzt stimmt's. Wäre dankbar für eine weitere Kontrolle.

Liebe Grüße.

Bezug
                                
Bezug
Gram-Schmidt: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:48 Fr 06.03.2015
Autor: MathePower

Hallo MeMeansMe,

> Hallo,
>  
> >
> > Die Vektoren [mm]v_{1}, \ v_{2}[/mm] sind nicht orthogonal in
> > [mm]}\IC^3}[/mm]
>  >  
>
> Neuer Versuch. Zur Erinnerung: [mm]S = \{s_1, s_2\} = \{\vektor{1\\i\\0}, \vektor{1-i\\2\\4i}\}[/mm]
> und [mm]h = \vektor{3+i,4i,-4}[/mm].
>  
> [mm]v_1[/mm] und [mm]v_2[/mm] sind die orthogonales Vektoren:
>  
> [mm]v_1 = s_1 = \vektor{1\\i\\0}[/mm]
>  [mm]v_2 = s_2 - \bruch{}{\parallel v_1 \parallel^2}v_1 = \vektor{1-i\\2\\4i}-\bruch{1-3i}{2}\vektor{1\\i\\0} = \vektor{1/2+1/2i\\1/2-1/2i\\4i}[/mm]
>  
> Das Skalarprodukt von [mm]v_1[/mm] und [mm]v_2[/mm] ergibt 0, d.h. die
> Vektoren sind orthogonal.
>  
> Die Längen sind:
>  
> [mm]\parallel v_1 \parallel = \wurzel{2}[/mm]
>  [mm]\parallel v_2 \parallel = \wurzel{17}[/mm]
>  
> Und die normierten Vektoren [mm]n_1[/mm] und [mm]n_2[/mm] dann:
>  
> [mm]n_1 = \bruch{1}{\wurzel{2}}\vektor{1\\i\\0}[/mm]
>  [mm]n_2 = \bruch{1}{\wurzel{17}}\vektor{1/2+1/2i\\1/2-1/2i\\4i}[/mm]
>  
> Die Fourierkoeffizienten wären dann:
>  
> [mm]a_1 = = \bruch{7\wurzel{2}}{2}+\bruch{\wurzel{2}}{2}i[/mm]
>  
> [mm]a_2 = = \wurzel{17}i[/mm]
>  
> Ich hoffe, jetzt stimmt's. Wäre dankbar für eine weitere
> Kontrolle.
>  


Jetzt stimmt's. [ok]


> Liebe Grüße.



Gruss
MathePower

Bezug
                                        
Bezug
Gram-Schmidt: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 09:34 Do 12.03.2015
Autor: MeMeansMe

Perfekt, danke :)

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