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Gram-Schmidt, Skalarprod.: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:15 Mi 07.01.2015
Autor: eva4eva

Aufgabe
[mm] v_{1}=\vektor{3 \\ 3} [/mm]
[mm] v_{2}=\vektor{1 \\ 4} [/mm]
Basisvektoren

Zur Suche einer ONB normiere ich [mm] v_{1}, [/mm] was [mm] u_{1} [/mm] ergibt.
Dann fälle ich das Lot von [mm] v_{2} [/mm] auf [mm] v_{1}. [/mm] Die "Strecke dieses Lotes" ergibt nach Normieren den zweiten Basisvektor [mm] u_{2}. [/mm]

Es ergibt sich rechnerisch

[mm] u_{2}=v_{2}-u_{1}. [/mm]

Ich versuche das ganze grafisch nachzuvollziehen und komme nicht dahinter:

Warum ist die Strecke (der Vektor) vom Ursprung entlang [mm] v_{1} [/mm] bis zum Lotpkt von [mm] v_{2} [/mm] folgende:
[mm] u_{1} [/mm]
Warum ist [mm] [/mm] das Skalar für den Vektor [mm] u_{1}, [/mm] der die Richtung vorgibt?
Kann man sich dem (noch) anschaulich(er) nähern?

Oder kann man sich lediglich vorstellen, dass das Skalarprodukt zweier Vektoren die Länge der Strecke in Richtung des einen Vektors bis zum Lotpunkt des anderen Vektors ist?



        
Bezug
Gram-Schmidt, Skalarprod.: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:53 Mi 07.01.2015
Autor: chrisno


>   .....
> Warum ist die Strecke (der Vektor) vom Ursprung entlang
> [mm]v_{1}[/mm] bis zum Lotpkt von [mm]v_{2}[/mm] folgende:
>  [mm]u_{1}[/mm]
>  Warum ist [mm][/mm] das Skalar für den Vektor [mm]u_{1},[/mm]
> der die Richtung vorgibt?

Ich nehme das Skalarprodukt im [mm] $\IR^2$. [/mm] Dann ist [mm] $ [/mm] = [mm] |v_2||v_1|\cos(\angle(v_2,v_1))$. [/mm]
Der Cosinus sorgt dafür, das der Betrag des einen Vektors so gestutzt wird, dass er von der Länge her der Projektion auf den anderen Vektor entspricht. Diese projizierte Länge wird mit der Länge des anderen Vektors multipliziert. (Prüfe für die Fälle 0° und 90°, zeichne das Dreieck für den cos)
Wenn nun der eine Vektor normiert ist, bleibt als Ergebnis des Produkts die projizierte Länge des anderen Vektors über. Also ist [mm]u_{1}[/mm] die projizierte Länge von [mm] $v_2$ [/mm] auf [mm] $u_1$. [/mm]
Anders gesprochen: das ist die Komponente von [mm] $v_2$ [/mm] in Richtung [mm] $u_1$. [/mm] Das ist nun genau das Stück, was man nicht von [mm] $v_2$ [/mm] haben will. Daher wird es abgezogen. Beim Abziehen muss man vektoriell arbeiten, also muss diese Länge noch mit [mm] $u_1$ [/mm] multipliziert werden. Danach hat [mm] $v_2$ [/mm] keine [mm] $u_1$-Komponente [/mm] mehr, ist also senkrecht.



Bezug
                
Bezug
Gram-Schmidt, Skalarprod.: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:40 Do 08.01.2015
Autor: eva4eva


> >   .....

>  > Warum ist die Strecke (der Vektor) vom Ursprung entlang

> > [mm]v_{1}[/mm] bis zum Lotpkt von [mm]v_{2}[/mm] folgende:
>  >  [mm]u_{1}[/mm]
>  >  Warum ist [mm][/mm] das Skalar für den Vektor
> [mm]u_{1},[/mm]
> > der die Richtung vorgibt?
>

Hallo, danke für die Antwort!

Ich habe im Folgenden einfach mal schreibend nachgedacht, vielleicht kann man dazu noch was sagen:

> Ich nehme das Skalarprodukt im [mm]\IR^2[/mm]. Dann ist
> [mm] = |v_2||v_1|\cos(\angle(v_2,v_1))[/mm].
>  Der
> Cosinus sorgt dafür, das der Betrag des einen Vektors so
> gestutzt wird, dass er von der Länge her der Projektion
> auf den anderen Vektor entspricht.

Genau das kann ich mir grafisch nicht vorstellen.
Mit [mm] \cos(\angle(v_2,v_1))=cos\alpha [/mm] bzgl. des rechtwinkl. Dreiecks, welches durch das Lot entsteht:

[mm] cos\alpha= \bruch{|a*u_1|}{|v_2|} [/mm]

es gilt aber auch mit [mm] [/mm] = [mm] |v_2||v_1|\cos(\angle(v_2,v_1)) [/mm] $ <=> [mm] cos\alpha= \bruch{||}{|v_2||v_1|} [/mm]

D.h. es gilt

[mm] \bruch{|a*u_1|}{|v_2|}= \bruch{||}{|v_2||v_1|} [/mm]

jetzt versuche ich umzuformen: <=>

[mm] \bruch{|a*u_1| |v_{1}|}{|v_2| |v_{1}|}= \bruch{||}{|v_2||v_1|} [/mm]

Es ist [mm] |a*u_1|=|a|*|u_1|=|a| [/mm] mit [mm] |u_1|=1 [/mm]

=> mit o g Gleichung folgt durch Gegenüberstellen der Zähler

(1) [mm] |a||v_{1}|= [/mm]

Wohin wollte ich? Nach [mm] a= [/mm]
Kommt nicht ganz hin, oder? Wo ist der Fehler?
EDIT: Moment mal. Mein [mm] v_1 [/mm] ist ja dann normiert und ich will nach [mm] au_1=u_{1}<=>a= [/mm]
Und wenn ich in (1) [mm] v_{1} [/mm] durch [mm] u_{1} [/mm] ersetze, passt es, oder?



Nun muss ich mir auch mal den Beweis ansehen, warum der Winkel zwischen den Vektoren über das Skalarprodukt definiert ist, vielleicht komme ich dann dahinter, was das Skalarprodukt anschaulich anstellt. (Ich willes ja nicht nur glauben, sondern selbst sehen)


> Diese projizierte Länge
> wird mit der Länge des anderen Vektors multipliziert.
> (Prüfe für die Fälle 0° und 90°, zeichne das Dreieck
> für den cos)

für 90° wird [mm] v_2 [/mm] ja auf den Ursprung projiziert, oder?

>  Wenn nun der eine Vektor normiert ist, bleibt als Ergebnis
> des Produkts die projizierte Länge des anderen Vektors
> über.

für 0°:

[mm] cos0°=\bruch{|a*u_{1}|}{|v_2|}<=>a=|v_2| [/mm]

Tatsächlich.


> Also ist [mm]u_{1}[/mm] die projizierte Länge
> von [mm]v_2[/mm] auf [mm]u_1[/mm].
>  Anders gesprochen: das ist die Komponente von [mm]v_2[/mm] in
> Richtung [mm]u_1[/mm]. Das ist nun genau das Stück, was man nicht
> von [mm]v_2[/mm] haben will. Daher wird es abgezogen. Beim Abziehen
> muss man vektoriell arbeiten, also muss diese Länge noch
> mit [mm]u_1[/mm] multipliziert werden. Danach hat [mm]v_2[/mm] keine
> [mm]u_1[/mm]-Komponente mehr, ist also senkrecht.
>  
>  


Bezug
                        
Bezug
Gram-Schmidt, Skalarprod.: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:08 Do 08.01.2015
Autor: leduart

Hallo
Nochmal, das Skalarprodukt von  mit einem Einheitsvektor e  ist die Komponente des Vektors in Richtung e probier es mal mit den  einfachen Einheitsvektoren [mm] e_1(=1,0)^T [/mm] und [mm] e_2=(0,1)^T [/mm] aus
z. B v=(3,4) <(1,0),(3,4)>=3
[mm] =4 [/mm]
da e:1 und [mm] e_2 [/mm] senkrecht sins weisst du jetzt [mm] v=3e_1+4_e2 [/mm]
wenn du v auf e:1 projizierst oder auf 7*e:1 bekommst du natürlich in deiner Zeichnung denselben Wert.
jetzt allgemein. v auf w projiziert: in der Zeichnung bekommst du einfach einen Vektor. um festzustellen, wie lang er ist, musst du w in Stückchen der Länge 1 einteilen und dann sehen, wieviele davon du hast, das gibt die Länge von v' (Komponente in w Richtung
[Dateianhang nicht öffentlich]

Gruß leduart

Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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