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Gram-Schmidtsches Verfahren: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:29 Mi 10.07.2013
Autor: helicopter

Aufgabe
Seien a=(i,i,0,0), b=(0,i,i,0), c=(0,0,i,i) und d=(1,1,1,1) [mm] \in\IC. [/mm]

Orthonormalisieren Sie die Menge {a,b,c,d} mit dem Gram-Schmidt Verfahren
bzgl. des Standard-Skalarprodukts auf dem [mm] \IC^4 [/mm]

Hallo,

das Verfahren ist mir eigentlich fast klar. Meine Frage ist wie die Vektoren im Skalarprodukten stehen müssen.
Nach Wikipedia ist es nämlich [mm] $v_{1}=\frac{w_1}{||w_1||}, v_{2}'=\langle v_{1},w_{2} \rangle*v_1$ [/mm] usw.
Gehe ich so vor, bekomm ich bei [mm] v_4 [/mm] nur quatsch, [mm] v_1,v_2,v_3 [/mm] sind jedoch ok, ich habe schon mehrfach nachgerechnet
sehe aber keinen Fehler.

Drehe ich das Skalarprodukt aber um, also [mm] $v_{2}'=\langle w_{2}, v_{1} \rangle*v_1 [/mm] $ bekomme ich wie gewünscht
eine Orthonormalbasis.

Könnte mir jemand erklären warum?



Gruß helicopter

        
Bezug
Gram-Schmidtsches Verfahren: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:39 Mi 10.07.2013
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

ich zitiere mal aus dem Wikipedia-Artikel:

> Im komplexen Fall kommt es deshalb bei den unten dargestellten Formeln auf die Reihenfolge der Faktoren im Skalarprodukt an, im reellen Fall jedoch nicht.

Gruß,
Gono.

Bezug
                
Bezug
Gram-Schmidtsches Verfahren: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:45 Mi 10.07.2013
Autor: helicopter

Hallo,

ich habe mich ja an die Reihenfolge auch gehalten, wahrscheinlich würde es Funktionieren wenn das SSP als [mm] \langle x,y\rangle [/mm] = [mm] \summe_{i=1}^n \overline x_iy_i [/mm] definiert wäre, bei uns in der Vorlesung wurde es halt (warum auch immer, in der Physik nutzen wir auch diese Definition) andersrum definiert.

Lag es daran?



Gruß helicopter

Bezug
                        
Bezug
Gram-Schmidtsches Verfahren: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:28 Mi 10.07.2013
Autor: MathePower

Halo helicopter,


> Hallo,
>
> ich habe mich ja an die Reihenfolge auch gehalten,
> wahrscheinlich würde es Funktionieren wenn das SSP als
> [mm]\langle x,y\rangle[/mm] = [mm]\summe_{i=1}^n \overline x_iy_i[/mm]
> definiert wäre, bei uns in der Vorlesung wurde es halt
> (warum auch immer, in der Physik nutzen wir auch diese
> Definition) andersrum definiert.
>  
> Lag es daran?
>  


Nein, daran lag es nicht.

Die gegebene Menge ist linear abhängig.

[mm]\left(-i\right)*a+\left(-i\right)*c=d[/mm]


>
>
> Gruß helicopter


Gruss
MathePower

Bezug
                                
Bezug
Gram-Schmidtsches Verfahren: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:23 Mi 10.07.2013
Autor: helicopter

Hallo,

nachdem ich die Skalarprodukte vertauscht habe bekam ich 3 orthonormale Vektoren und (0,0,0,0), habs auf Wolfram Alpha nachgeprüft
und es stimmt. Ohne zu vertauschen bekam ich als 4. Vektor aber (2,2,2,2) was ja Quatsch ist da da Skalarprodukt allein mit [mm] v_1 [/mm] schon [mm] \ne [/mm] 0 wäre.


Gruß helicopter

Bezug
                                        
Bezug
Gram-Schmidtsches Verfahren: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:01 Mi 10.07.2013
Autor: MathePower

Hallo helicopter,

> Hallo,
>  
> nachdem ich die Skalarprodukte vertauscht habe bekam ich 3
> orthonormale Vektoren und (0,0,0,0), habs auf Wolfram Alpha
> nachgeprüft
>  und es stimmt. Ohne zu vertauschen bekam ich als 4. Vektor
> aber (2,2,2,2) was ja Quatsch ist da da Skalarprodukt
> allein mit [mm]v_1[/mm] schon [mm]\ne[/mm] 0 wäre.
>  


In diesem Fall bekam ich zuerst als 4. Vektor den angegebenen Vektor.
Ein nochmaliges Nachrechnen lieferte (0,0,0,0).


>
> Gruß helicopter


Gruss
MathePower

Bezug
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