matheraum.de
Raum für Mathematik
Offene Informations- und Nachhilfegemeinschaft

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Mathe
  Status Schulmathe
    Status Primarstufe
    Status Mathe Klassen 5-7
    Status Mathe Klassen 8-10
    Status Oberstufenmathe
    Status Mathe-Wettbewerbe
    Status Sonstiges
  Status Hochschulmathe
    Status Uni-Analysis
    Status Uni-Lin. Algebra
    Status Algebra+Zahlentheo.
    Status Diskrete Mathematik
    Status Fachdidaktik
    Status Finanz+Versicherung
    Status Logik+Mengenlehre
    Status Numerik
    Status Uni-Stochastik
    Status Topologie+Geometrie
    Status Uni-Sonstiges
  Status Mathe-Vorkurse
    Status Organisatorisches
    Status Schule
    Status Universität
  Status Mathe-Software
    Status Derive
    Status DynaGeo
    Status FunkyPlot
    Status GeoGebra
    Status LaTeX
    Status Maple
    Status MathCad
    Status Mathematica
    Status Matlab
    Status Maxima
    Status MuPad
    Status Taschenrechner

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
StartseiteMatheForenGraphentheorieGraph oder Komplement zyklisch
Foren für weitere Schulfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Geschichte • Erdkunde • Sozialwissenschaften • Politik/Wirtschaft
Forum "Graphentheorie" - Graph oder Komplement zyklisch
Graph oder Komplement zyklisch < Graphentheorie < Diskrete Mathematik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Graphentheorie"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Graph oder Komplement zyklisch: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 15:35 Di 26.05.2009
Autor: Wastelander

Aufgabe
G = (E, K, ϕ) sei ein Graph mit mindestens fünf Knoten. Zeigen Sie, dass G oder der zu G komplementäre Graph G = (E', K', ϕ') mit E' = E, k∈K' ⇔ k∉K und ϕ' : K' → E×E einen Kreis enthält.

Mein Ansatz hier ist Folgender:

Sei $G$ mit $E = [mm] \{e_1, ... , e_n\}$,$n \ge [/mm] 5$ zusammenhängend und kreisfrei. Somit existiert ein maximaler Weg zwischen $x,y [mm] \in [/mm] E$ mit Kanten [mm] $(v_1, [/mm] ... [mm] ,v_{n-1})$. [/mm]

Auch in [mm] $\bar{G}$ [/mm] existiert ein Weg zwischen $x$ und $y$ mit Kanten [mm] $(w_1, [/mm] ... [mm] ,w_m)$, $w_1, [/mm] ... , [mm] w_m \notin [/mm] K$. Weiterhin existiert eine Kante [mm] $w_0 [/mm] = (x,y)$, wodurch sich o.g. Weg zu einem Kreis erweitern lässt.

Kann man bei dieser Aufgabe so begründen? Ich habe allerdings noch keinen Ansatz für den 2. Fall (G kreisfrei und nicht zusammenhängend). Könnt ihr mir (mal wieder ^^) helfen?

LG
~W

        
Bezug
Graph oder Komplement zyklisch: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 04:20 Mi 27.05.2009
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
Bezug
                
Bezug
Graph oder Komplement zyklisch: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 12:03 Mi 27.05.2009
Autor: Wastelander

Aufgabe
Sei $G = [mm] (E,K,\phi)$ [/mm] ein Graph mit der Eigenschaft, dass alle Knoten den Knotengrad mindestens 2 haben. Zeigen Sie, dass G einen Kreis enthält.

Ich habe die Aufgabe noch einmal durchdacht und glaube, dass ich sie mithilfe des vorigen Aufgabenteils (s. oben) und einigen Modifikationen an meiner obigen Antwort vollständig lösen kann.

Zunächst meine Lösung zum ersten Aufgabenteil:

(a) Angenommen $G$ mit $E = [mm] \{e_1 , \cdots , e_n \}$ [/mm] sei kreisfrei und der Knotengrad [mm] $g(e_i) \ge [/mm] 2$ in jedem Knoten.

[mm] \Rightarrow [/mm] $G$ ist ein Baum [mm] \Rightarrow [/mm] $G$ hat maximal $n-1$ Kanten

Ein derartiger Graph müsste aber $ [mm] \summe_{i=1}^{n} g(e_i) \ge [/mm] 2 * n [mm] \ge [/mm] n-1$ Kanten haben, da jeder Knoten mind. 2 Kanten besitzt, die zu bisher unverbundenen Knoten führen.

[mm] \Rightarrow [/mm] Widerspruch


(b) Sei $G$ ein schlichter, kreisfreier Graph mit $n [mm] \ge [/mm] 5$ Knoten $E = [mm] \{e_1, \cdots , e_n\} [/mm] $.

[mm] \Rightarrow [/mm] $G$ ist maximal ein aufspannender Baum des vollständigen Graphen $V = (E, [mm] K_V, \phi_V)$. [/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] $G$ hat maximal $n-1$ Kanten [mm] $k_1, \cdots [/mm] , [mm] k_{n-1}$ [/mm] und jeder Knoten den Grad [mm] $g(e_i) \le [/mm] 2$.
[mm] \Rightarrow [/mm] Im komplementären Graph [mm] $\bar [/mm] {G}$ hat jeder Knoten den Grad [mm] $\bar g(e_i) \ge n-1-g(e_i) \ge [/mm] 2$.
[mm] \Rightarrow^{(a)} [/mm] $G$ enthält einen Kreis.

Erneut die Frage, kann man so argumentieren? Nach neuerlicher Überlegung bin ich mir mit meinem "Beweis" zu Aufgabenteil (a) überhaupt nicht mehr sicher.

Ich bitte um Hilfe.

LG ~W

Bezug
                        
Bezug
Graph oder Komplement zyklisch: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:20 Mi 27.05.2009
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Graphentheorie"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.matheraum.de
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]