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Grenzwert: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:28 So 30.08.2015
Autor: Ice-Man

Aufgabe
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}(1+\bruch{4}{x})^{x} [/mm]

Hallo, ich habe mal bitte eine kurze Frage,
warum ist der Grenzwert [mm] e^{4}? [/mm]

Ich hab leider ein Verständnisproblem.

[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}=e^{ln(1+\bruch{4}{x})^{x}}=e^{xln(1+\bruch{4}{x})} [/mm]

Und jetzt hört es leider auf...

Hätte evtl. bitte jemand einen Tipp für mich?

Danke schon einmal

        
Bezug
Grenzwert: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:35 So 30.08.2015
Autor: DieAcht

Hallo Ice-Man!


> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}(1+\bruch{4}{x})^{x}[/mm]

Du meinst

      [mm] \limes_{x\rightarrow\infty}\left(1+\bruch{4}{x}\right)^{x} [/mm]

> warum ist der Grenzwert [mm]e^{4}?[/mm]

Es ist

      [mm] \lim_{x\to\infty}\left(1+\frac{z}{x}\right)^x=e^z [/mm] für alle [mm] z\in\IC. [/mm]

Demnach ist

      [mm] $\lim_{x\to\infty}\left(1+\frac{4}{x}\right)^x=e^4$. [/mm]


Gruß
DieAcht

Bezug
                
Bezug
Grenzwert: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:36 So 30.08.2015
Autor: Ice-Man

Ich danke dir.

Das ist dann also eine "Rechenregel"?

Bezug
                        
Bezug
Grenzwert: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:44 So 30.08.2015
Autor: DieAcht


> Das ist dann also eine "Rechenregel"?

Jein. Je nach dem wie man die Exponentialfunktion definiert hat
ist es dann entweder die Definition selbst oder ein "Satz".

Eine Möglichkeit die Exponentialfunktion zu definieren geht über
die Exponentialreihe. Eine weitere Möglichkeit ist Definition
als Grenzwert der Folge [mm] $((1+x/n)^n)_{n\in\IN}$. [/mm]


Bezug
        
Bezug
Grenzwert: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:35 So 30.08.2015
Autor: abakus


> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}(1+\bruch{4}{x})^{x}[/mm]
> Hallo, ich habe mal bitte eine kurze Frage,
> warum ist der Grenzwert [mm]e^{4}?[/mm]

Hallo,
dir ist sicher bekannt, dass [mm]\limes_{k\rightarrow\infty}(1+\bruch{1}{k})^{k}=e[/mm] gilt.
Mit der Substitution k=n/4 folgt auch
 [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}(1+\bruch{4}{n})^{\frac{n}{4}}=e[/mm]. Nun gilt ja  [mm] $(1+\bruch{4}{n})^{n}= ((1+\bruch{4}{n})^\frac{n}{4})^{4} [/mm] $... 

>

> Ich hab leider ein Verständnisproblem.

>

> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}=e^{ln(1+\bruch{4}{x})^{x}}=e^{xln(1+\bruch{4}{x})}[/mm]

>

> Und jetzt hört es leider auf...

>

> Hätte evtl. bitte jemand einen Tipp für mich?

>

> Danke schon einmal

Bezug
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