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Forum "Differenzialrechnung" - Grenzwert
Grenzwert < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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Grenzwert: A 50.2 ff , Heuser Analysis 1
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:59 Mi 23.12.2015
Autor: sandroid

Aufgabe
Zeige:

2) [mm] $\limes_{x \to 0} \bruch{\wurzel{1+x * sin(x)} - cos(x)}{sin^{2}(\bruch{x}{2})}=4$ [/mm]

4) [mm] $\limes_{x \to 0} \bruch{\wurzel{cos(ax)}-\wurzel{cos(bx)}}{x^2} [/mm] = [mm] \bruch{(b^2 - a^2)}{4}$ [/mm]

5) [mm] $\limes_{x \to 1-} [/mm] ln(x) * ln(1-x) = 0$

Hallo,

heute mal ein par Grenzwerte, bei denen ich nicht weiter komme.

Wenn ich einen eigenen Ansatz hätte, würde ich den euch gerne verraten. Ich habe schon die Regel von de l'Hospital versucht anzuwenden, doch teils werden dann die Rechnungen sehr lang, weswegen ich nicht mehr an den Erfolg dadurch glaubte.

Kann es sein, dass ich bei 4) den Term zu einem Differenzquotienten umformen muss?

Für Tipps bin ich dankbar!


        
Bezug
Grenzwert: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:00 Do 24.12.2015
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

wende bei 1.) und 2.) die dritte binomische Formel an, sowie bei ersten zusätzlich das Additionstheorem

[mm] $\sin^2(x) [/mm] = [mm] \frac{1}{2}(1-\cos(2x))$ [/mm]

Dadurch erhälst du jeweils ein Produkt von Grenzwerten, bei dem einer sich direkt berechnen lässt und der andere jeweils durch l'Hopital mit maximal 2 Schritten kerechnet werden kann.

Die dritte Aufgabe machen wir dann zuletzt :-)

Gruß,
Gono

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Bezug
Grenzwert: Rückfrage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:34 Do 24.12.2015
Autor: sandroid


Hallo,

vielen Dank für deine schnelle Antwort.

Könntest du das mit der binomischen Formel noch näher erläutern?
Ich vermag noch nicht so recht zu sehen, wo ich diese hier anwenden kann.



Bezug
                        
Bezug
Grenzwert: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:43 Do 24.12.2015
Autor: fred97

Nehmen wir uns  [mm] \bruch{\wurzel{cos(ax)}-\wurzel{cos(bx)}}{x^2} [/mm] vor.

[mm] \bruch{\wurzel{cos(ax)}-\wurzel{cos(bx)}}{x^2}=\bruch{\wurzel{cos(ax)}-\wurzel{cos(bx)}}{x^2}* \bruch{\wurzel{cos(ax)}+\wurzel{cos(bx)}}{\wurzel{cos(ax)}+\wurzel{cos(bx)}}= \bruch{cos(ax)-cos(bx)}{x^2(\wurzel{cos(ax)}+\wurzel{cos(bx)})} [/mm]

FRED

Bezug
        
Bezug
Grenzwert: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:31 Fr 25.12.2015
Autor: Thomas_Aut

Hallo,


zum letzten Bsp:

$ln(x)ln(x-1) = [mm] \frac{ln(x-1)}{\frac{1}{ln(x)}}$ [/mm]

nun l'Hospital.


Lg

Bezug
                
Bezug
Grenzwert: Dankeschön
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:35 Fr 25.12.2015
Autor: sandroid

Vielen Dank Thomas, Fred und Gonozal!
Eure Antworten haben mir wie immer geholfen.

Ich sehe schon, ich muss da noch mehr Grenzwertaufgaben üben, um mit den Methoden etwas geläufig zu werden.



Bezug
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