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Grenzwert Funktion: Ideen
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 08:26 Mo 23.05.2016
Autor: Lars.P

Aufgabe
Brechnen sie folgenden Grenzwerte
1)
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{1}{n} (f(\bruch{1}{n})+f(\bruch{2}{n})+...+f(\bruch{n}{n})), [/mm] (f stetig)

2)
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} (\bruch{1}{n}+\bruch{1}{n+1}+....+\bruch{1}{2n}) [/mm]

3)
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} (\bruch{1^{k}+2^{k}+3^{k}+...+n^{k}}{n^{k+1}}) [/mm]  ( [mm] k\in \IN [/mm] )

ich würde bei allen sagen der Grenzwert ist =0

Bei 1) wegen 1/n
Bei 2) weil jeder bruch gegen Null kostet
Bei 3)  [mm] n^{k+1}>> n^{k} [/mm]

Aber sonst hab ich keine Ahnung. Würde mich über tipps  freuen.

        
Bezug
Grenzwert Funktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:53 Mo 23.05.2016
Autor: fred97


> Brechnen sie folgenden Grenzwerte
>  1)
>  [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{1}{n} (f(\bruch{1}{n})+f(\bruch{2}{n})+...+f(\bruch{n}{n})),[/mm]
> (f stetig)
>  
> 2)
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} (\bruch{1}{n}+\bruch{1}{n+1}+....+\bruch{1}{2n})[/mm]
>  
> 3)
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} (\bruch{1^{k}+2^{k}+3^{k}+...+n^{k}}{n^{k+1}})[/mm]
>  ( [mm]k\in \IN[/mm] )
>  ich würde bei allen sagen der Grenzwert ist =0

Nein. Das stimmt nicht.


>  
> Bei 1) wegen 1/n
> Bei 2) weil jeder bruch gegen Null kostet
>  Bei 3)  [mm]n^{k+1}>> n^{k}[/mm]
>  
> Aber sonst hab ich keine Ahnung. Würde mich über tipps  
> freuen.


Zu 1):  [mm] \bruch{1}{n} (f(\bruch{1}{n})+f(\bruch{2}{n})+...+f(\bruch{n}{n})) [/mm] ist eine Riemannsche Zwischensumme für das Integral [mm] \integral_{0}^{1}{f(x) dx}. [/mm]

Als stetige Funktion ist f integrierbar über [0,1]. Somit haben wir

    $ [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{1}{n} (f(\bruch{1}{n})+f(\bruch{2}{n})+...+f(\bruch{n}{n}))=\integral_{0}^{1}{f(x) dx}$. [/mm]

Zu 2): Setze [mm] f(x):=\bruch{1}{1+x} [/mm] und zeige:

   [mm] \bruch{1}{n}+\bruch{1}{n+1}+....+\bruch{1}{2n}= \bruch{1}{n} (f(\bruch{1}{n})+f(\bruch{2}{n})+...+f(\bruch{n}{n})). [/mm]

Wende 1) an.

Zu 3): Setze [mm] f(x):=x^k [/mm] und zeige:

  [mm] \bruch{1^{k}+2^{k}+3^{k}+...+n^{k}}{n^{k+1}}= \bruch{1}{n} (f(\bruch{1}{n})+f(\bruch{2}{n})+...+f(\bruch{n}{n})). [/mm]

Wende 1) an.

FRED

  

Bezug
                
Bezug
Grenzwert Funktion: Rückfrage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 09:27 Mo 23.05.2016
Autor: Lars.P

Ich verstehe was du mir sagen möchtes. Zu2)und 3) versteh ich wie ich das zeigen muss und den Grenzwert berechne ich ja über das Integral dann.
Bei 1)  habe ich ja kein f(x)= irgendwas also wäre die Lösung nur allgemein und nur das [mm] \integral_{0}^{1}{f(x) dx} [/mm]  oder irre ich mich?

Bezug
                        
Bezug
Grenzwert Funktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:36 Mo 23.05.2016
Autor: fred97


> Ich verstehe was du mir sagen möchtes. Zu2)und 3) versteh
> ich wie ich das zeigen muss


Hast Du es gemacht ?


>  und den Grenzwert berechne ich
> ja über das Integral dann.

Ja


>  Bei 1)  habe ich ja kein f(x)= irgendwas also wäre die
> Lösung nur allgemein und nur das [mm]\integral_{0}^{1}{f(x) dx}[/mm]


Ja

FRED

>  oder irre ich mich?


Bezug
                                
Bezug
Grenzwert Funktion: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:00 Mo 23.05.2016
Autor: Lars.P

Bei 3)
Bruch auseinander ziehen zu [mm] \bruch{1^{k}}{n^{k}*n}+.... [/mm] dann [mm] n^{1} [/mm] aus den bruch ziehen und f(x) einsetzten

2)bei zwei bekomme ich auch alle hin bis auf das [mm] \bruch{1}{n} [/mm]  den rest bekomme ich dahin geführt aber 1/n  irgendwieverschwindet es

Bezug
                                        
Bezug
Grenzwert Funktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:01 Mo 23.05.2016
Autor: fred97


> Bei 3)
>   Bruch auseinander ziehen zu [mm]\bruch{1^{k}}{n^{k}*n}+....[/mm]
> dann [mm]n^{1}[/mm] aus den bruch ziehen und f(x) einsetzten

Ja


>  
> 2)bei zwei bekomme ich auch alle hin bis auf das
> [mm]\bruch{1}{n}[/mm]  den rest bekomme ich dahin geführt aber 1/n  
> irgendwieverschwindet es  

Zeig Deine Rechnungen !

FRED


Bezug
                                                
Bezug
Grenzwert Funktion: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:26 Mo 23.05.2016
Autor: Lars.P

2) komme auf die form [mm] \bruch{1}{n}( f(\bruch{1}{n})+......)mit f(x)=\bruch{1}{1+x} [/mm]

Erster schritt wär [mm] \bruch{1}{n} [/mm] ausklammern
[mm] \bruch{1}{n}( 1+\bruch{1}{\bruch{1}{n}+1} [/mm] +....+ [mm] \bruch{1}{2}) [/mm] bei allen zahlen bis auf erste und letzte könnte man jetzt sagen [mm] f(\bruch{1}{n}) =\bruch{1}{1+\bruch{1}{n}} [/mm] beim letzten könnte man sagen [mm] f(\bruch{n}{n}=f(1)=\bruch{1}{2} [/mm]
Jedoch die 1 in der klammer also [mm] \bruch{1}{n} [/mm]  finde ich nichts

Bezug
                                                        
Bezug
Grenzwert Funktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:46 Mo 23.05.2016
Autor: fred97

[mm] \bruch{1}{n}( 1+\bruch{1}{\bruch{1}{n}+1} [/mm]  +....+  [mm] \bruch{1}{2})= [/mm]
[mm] \bruch{1}{n}( 1+\bruch{1}{\bruch{1}{n}+1} [/mm]  +....+  [mm] \bruch{1}{1+\bruch{n}{n}}) [/mm] =
[mm] \bruch{1}{n}+\bruch{1}{n}(f(1/n)+f(2/n)+....+f(n/n)) [/mm]


FRED

Bezug
                                                                
Bezug
Grenzwert Funktion: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:52 Mo 23.05.2016
Autor: Lars.P

Das heißt [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] vondem mist wären= [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{1}{n} [/mm] + Integral oder ? Aber da [mm] \bruch{1}{n} [/mm] gegen 0 läuft vernachlässigen

Bezug
                                                                        
Bezug
Grenzwert Funktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:58 Mo 23.05.2016
Autor: fred97


> Das heißt [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}[/mm] vondem mist

mist ? O yeah ist das cool ...


> wären=
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{1}{n}[/mm] + Integral oder ?
> Aber da [mm]\bruch{1}{n}[/mm] gegen 0 läuft vernachlässigen

Ja.

FRED


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