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Forum "Funktionen" - Grenzwert, Logarithmus,klein o
Grenzwert, Logarithmus,klein o < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Grenzwert, Logarithmus,klein o: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:37 Mo 22.12.2014
Autor: sissile

Aufgabe
Man beweise:
log(1+x)=x+o(|x|) für x-> 0



Hallo zusammen,
Eine Aufgabe von Forster Analysis 1. Demstsprechend soll man für das Lösen der Aufgabe keine Taylorreihe oder Differentation verwenden.

Mit log(.) ist der natürliche Logarithmus gemeint.

[mm] x\in [/mm] (-1, [mm] \infty) [/mm] dann ist log(1+x) definiert.

log(1+x)=x+o(|x|) bedeutet log(1+x) - x= o(|x|)

Nach der Definition von dem landau-Symbol ist zu zeigen:
[mm] lim_{x->0} \frac{log(1+x)-x}{|x|}=0 [/mm]
bzw. die äquivalente Definition:
[mm] \forall \epsilon>0 [/mm] , [mm] \exists\delta:| [/mm] log(1+x)-x [mm] |\le \epsilon*|x| [/mm] für alle [mm] x\in [/mm] (-1, [mm] \infty) [/mm] mit |x| < [mm] \delta [/mm]

Ich hatte den Verdacht, dass mir der bekannte Grenzwert von [mm] lim_{x->0} \frac{e^x -1}{x}=1 [/mm] weiterhilft. Bin aber zu nichts vorzeigbaren gekommen.

Tips würden mich sehr freuen,
sissi

        
Bezug
Grenzwert, Logarithmus,klein o: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:49 Mo 22.12.2014
Autor: fred97

Du hast es ja schon richtig erkannt:

$log(1+x)=x+o(|x|)$  für $x [mm] \to [/mm]  0 $ ist gleichbedeutend mit


(*) $ [mm] \lim_{x->0} \frac{log(1+x)-x}{|x|}=0 [/mm] $.

Mach Dir klar, dass (*) gleichbedeutend ist mit


$ [mm] \lim_{x->0} \frac{log(1+x)-x}{x}=0 [/mm] $.

Definiere f(x):= log(1+x)-x

dann:

   [mm] \frac{log(1+x)-x}{x}= \frac{f(x)-f(0)}{x-0} \to [/mm] f'(0)=0  für x [mm] \to [/mm] 0

FRED


Bezug
                
Bezug
Grenzwert, Logarithmus,klein o: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 09:39 Di 23.12.2014
Autor: sissile

Hallo fred,
Danke für die Antwort.

> (*) $ [mm] \lim_{x->0} \frac{log(1+x)-x}{|x|}=0 [/mm] $.

> Mach Dir klar, dass (*) gleichbedeutend ist mit


> $ [mm] \lim_{x->0} \frac{log(1+x)-x}{x}=0 [/mm] $.

Aber für x [mm] \in [/mm] ]-1, [mm] \infty[ [/mm] ist doch der Logairthmus auch noch definiert?

LG,
sissi

Bezug
                        
Bezug
Grenzwert, Logarithmus,klein o: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:47 Di 23.12.2014
Autor: fred97


> Hallo fred,
>  Danke für die Antwort.
>
> > (*) [mm]\lim_{x->0} \frac{log(1+x)-x}{|x|}=0 [/mm].
>  
> > Mach Dir klar, dass (*) gleichbedeutend ist mit
>  
>
> > [mm]\lim_{x->0} \frac{log(1+x)-x}{x}=0 [/mm].
>
> Aber für x [mm]\in[/mm] ]-1, [mm]\infty[[/mm] ist doch der Logairthmus auch
> noch definiert?

Ja, aber wo ist Dein Problem ???

FRED

>  
> LG,
>  sissi


Bezug
                        
Bezug
Grenzwert, Logarithmus,klein o: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:05 Di 23.12.2014
Autor: Marcel

Hallo Sissi,

> Hallo fred,
>  Danke für die Antwort.
>
> > (*) [mm]\lim_{x->0} \frac{log(1+x)-x}{|x|}=0 [/mm].
>  
> > Mach Dir klar, dass (*) gleichbedeutend ist mit
>  
>
> > [mm]\lim_{x->0} \frac{log(1+x)-x}{x}=0 [/mm].
>
> Aber für x [mm]\in[/mm] ]-1, [mm]\infty[[/mm] ist doch der Logairthmus auch
> noch definiert?

damit kann Fred seine Funktion [mm] $f\,$ [/mm] auch auf [mm] $]-1,\infty[$ [/mm] definieren. Für die
Aufgabe würde es aber reichen, wenn er sie etwa auf einem Intervall

    [mm] $]-\delta,\delta[$ [/mm]

mit einem $0 [mm] \red{\,<\,} \delta \le [/mm] 1$ definieren würde. Etwas schlecht wäre es, wenn Freds
[mm] $f\,$ [/mm] (mit [mm] $f(x)=\log(1+x)-x\,$) [/mm] nur für $x > [mm] 0\,$ [/mm] definiert wäre; warum wäre das
wohl *noch nicht aussagekräftig genug*?

Gruß,
  Marcel

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