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Grenzwert bestimmen: Rückfrage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:58 Do 02.02.2017
Autor: Dom_89

Aufgabe
Bestimme den Grenzwert von

[mm] \limes_{x\rightarrow\infty}x^2*(1-cos(\bruch{1}{x})) [/mm]

Hallo,

hier einmal mein Ansatz:

[mm] \limes_{x\rightarrow\infty}x^2*(1-cos(\bruch{1}{x})) [/mm] =
[mm] \limes_{x\rightarrow\infty}\bruch{1-cos(\bruch{1}{x})}{\bruch{1}{x^2}} [/mm] = [mm] \limes_{x\rightarrow\infty} \bruch{-\bruch{sin(\bruch{1}{x})}{x^2}}{-\bruch{2}{x^3}} [/mm] = [mm] \limes_{x\rightarrow\infty}-\bruch{sin(\bruch{1}{x})}{x^2}*-\bruch{x^3}{2} [/mm] = [mm] \limes_{x\rightarrow\infty}\bruch{sin(\bruch{1}{x})}{1}*-\bruch{x}{2} [/mm]

Jetzt komme ich aber nicht so wirklich weiter - wo habe ich denn einen Fehler gemacht?



        
Bezug
Grenzwert bestimmen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:19 Do 02.02.2017
Autor: Diophant

Hallo,

> Bestimme den Grenzwert von

>

> [mm]\limes_{x\rightarrow\infty}x^2*(1-cos(\bruch{1}{x}))[/mm]
> Hallo,

>

> hier einmal mein Ansatz:

>

> [mm]\limes_{x\rightarrow\infty}x^2*(1-cos(\bruch{1}{x}))[/mm] =
> [mm]\limes_{x\rightarrow\infty}\bruch{1-cos(\bruch{1}{x})}{\bruch{1}{x^2}}[/mm]
> = [mm]\limes_{x\rightarrow\infty} \bruch{-\bruch{sin(\bruch{1}{x})}{x^2}}{-\bruch{2}{x^3}}[/mm]
> =
> [mm]\limes_{x\rightarrow\infty}-\bruch{sin(\bruch{1}{x})}{x^2}*-\bruch{x^3}{2}[/mm]
> =
> [mm]\limes_{x\rightarrow\infty}\bruch{sin(\bruch{1}{x})}{1}*-\bruch{x}{2}[/mm]

>

> Jetzt komme ich aber nicht so wirklich weiter - wo habe ich
> denn einen Fehler gemacht?

>

Ja: im lezten Schritt steckt ein Vorzeichenfehler, was auch kein Wunder ist...

Schonmal was von Klammern gehört? Die fehlen hier spätestens ab der zweiten Gleichheit (würdest du mit Stift und Papier wirklich etwa ein Multiplikationszeichen und ein Minus hintereinander schreiben???). Gerechnet hast du richtig, nun ist es aber so, dass bei Grenzwerten meist das Rechnen alleine nicht wirklich hilft. Da muss man auch über seine Resultate nachdenken, in diesem Fall: kann man an dem umgeformten Term jetzt sehen, was für [mm] x\to\infty [/mm] passiert? (Es war eine rhetorische Frage: man kann nicht!)

Entweder musst du ein weiteres Mal de l'Hospital bemühen, oder du versuchst einen anderen Ansatz, etwa über eine Substitution, wie in der anderen Antwort von fred97 vorgeschlagen.


Gruß, Diophant

Bezug
                
Bezug
Grenzwert bestimmen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:34 Do 02.02.2017
Autor: Omega91


> Entweder musst du ein weiteres Mal de l'Hospital bemühen,
> oder du versuchst einen anderen Ansatz, etwa über eine
> Substitution, wie in der anderen Antwort von fred97
> vorgeschlagen.

Aber auch da bleibt er von l'Hospital (2mal) nicht verschont :)


LG

Bezug
                        
Bezug
Grenzwert bestimmen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:48 Do 02.02.2017
Autor: fred97


>
> > Entweder musst du ein weiteres Mal de l'Hospital bemühen,
> > oder du versuchst einen anderen Ansatz, etwa über eine
> > Substitution, wie in der anderen Antwort von fred97
> > vorgeschlagen.
>  
> Aber auch da bleibt er von l'Hospital (2mal) nicht
> verschont :)
>

Doch, wenn man Potenzreihen verwendet.

Oder man darf als bekannt voraussetzen: [mm] $\lim_{t \to 0} \frac{ \sin t}{t}=1$ [/mm]

>
> LG  


Bezug
                                
Bezug
Grenzwert bestimmen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:16 Do 02.02.2017
Autor: Omega91


> >
> > > Entweder musst du ein weiteres Mal de l'Hospital bemühen,
> > > oder du versuchst einen anderen Ansatz, etwa über eine
> > > Substitution, wie in der anderen Antwort von fred97
> > > vorgeschlagen.
>  >  
> > Aber auch da bleibt er von l'Hospital (2mal) nicht
> > verschont :)
> >
>
> Doch, wenn man Potenzreihen verwendet.
>  
> Oder man darf als bekannt voraussetzen: [mm]\lim_{t \to 0} \frac{ \sin t}{t}=1[/mm]


allerdings wird es durch Potenzreihen doch ein weniger mühsamer (und ich glaube nicht, dass das Ziel ist.. vermutlich dient diese Aufgabe doch dazu, um l'Hospital ein wenig zu üben).

beim zweiten Punkt gebe ich dir allerdings vollkommen recht - das kann man sich sogar sehr schön geometrisch überlegen.

>  
> >
> > LG  
>  


Bezug
                                        
Bezug
Grenzwert bestimmen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:29 Do 02.02.2017
Autor: fred97


> > >
> > > > Entweder musst du ein weiteres Mal de l'Hospital bemühen,
> > > > oder du versuchst einen anderen Ansatz, etwa über eine
> > > > Substitution, wie in der anderen Antwort von fred97
> > > > vorgeschlagen.
>  >  >  
> > > Aber auch da bleibt er von l'Hospital (2mal) nicht
> > > verschont :)
> > >
> >
> > Doch, wenn man Potenzreihen verwendet.
>  >  
> > Oder man darf als bekannt voraussetzen: [mm]\lim_{t \to 0} \frac{ \sin t}{t}=1[/mm]
>  
>
> allerdings wird es durch Potenzreihen doch ein weniger
> mühsamer


Hä ? mit der Potenzreihe bekommt man ratzfatz:


$ [mm] \frac{1-\cos t}{t^2}=\frac{1}{2!}-\frac{t^2}{4!}+\frac{t^4}{6!}-+... [/mm] $  für $t [mm] \ne [/mm] 0$.

Somit $ [mm] \frac{1-\cos t}{t^2} \to \frac{1}{2}$ [/mm] für $t [mm] \to [/mm] 0$




>  (und ich glaube nicht, dass das Ziel ist..
> vermutlich dient diese Aufgabe doch dazu, um l'Hospital ein
> wenig zu üben).

Ach was ! Bist Du Hellseher ?


>  
> beim zweiten Punkt gebe ich dir allerdings vollkommen recht
> - das kann man sich sogar sehr schön geometrisch
> überlegen.
>  
> >  

> > >
> > > LG  
> >  

>  


Bezug
                                                
Bezug
Grenzwert bestimmen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:56 Do 02.02.2017
Autor: Omega91


> > > >
> > > > > Entweder musst du ein weiteres Mal de l'Hospital bemühen,
> > > > > oder du versuchst einen anderen Ansatz, etwa über eine
> > > > > Substitution, wie in der anderen Antwort von fred97
> > > > > vorgeschlagen.
>  >  >  >  
> > > > Aber auch da bleibt er von l'Hospital (2mal) nicht
> > > > verschont :)
> > > >
> > >
> > > Doch, wenn man Potenzreihen verwendet.
>  >  >  
> > > Oder man darf als bekannt voraussetzen: [mm]\lim_{t \to 0} \frac{ \sin t}{t}=1[/mm]
>  
> >  

> >
> > allerdings wird es durch Potenzreihen doch ein weniger
> > mühsamer
>  
>
> Hä ? mit der Potenzreihe bekommt man ratzfatz:

ja, du - ich glaube aber nicht, dass für den Fragesteller die Potenzreihenentwicklung eine offensichtliche Variante ist.

>  
>
> [mm]\frac{1-\cos t}{t^2}=\frac{1}{2!}-\frac{t^2}{4!}+\frac{t^4}{6!}-+...[/mm]
>  für [mm]t \ne 0[/mm].
>  
> Somit [mm]\frac{1-\cos t}{t^2} \to \frac{1}{2}[/mm] für [mm]t \to 0[/mm]
>  
>
>
>
> >  (und ich glaube nicht, dass das Ziel ist..

> > vermutlich dient diese Aufgabe doch dazu, um l'Hospital ein
> > wenig zu üben).
>  
> Ach was ! Bist Du Hellseher ?
>  
>
> >  

> > beim zweiten Punkt gebe ich dir allerdings vollkommen recht
> > - das kann man sich sogar sehr schön geometrisch
> > überlegen.
>  >  
> > >  

> > > >
> > > > LG  
> > >  

> >  

>  


Bezug
                
Bezug
Grenzwert bestimmen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:01 Do 02.02.2017
Autor: Dom_89

Hallo Diophant,

vielen Dank für deine Hilfe!

Mit den Klammern und den daraus resultierenden Vorzeichenfehler hast du Recht!

$ [mm] \limes_{x\rightarrow\infty}\bruch{sin(\bruch{1}{x})}{1}\cdot{}\bruch{x}{2} [/mm] $

sollte es ja eigentlich heißen.

Was dann nichts anderes als [mm] \limes_{x\rightarrow\infty}\bruch{sin(\bruch{1}{x})*x}{2} [/mm]

ist.

Jetzt muss doch nur noch das x aus dem Zähler in den Nenner und anschließend nocheinmal l'Hospital. Dann würde da doch stehen:

[mm] \limes_{x\rightarrow\infty}\bruch{sin(\bruch{1}{x})}{2x} [/mm]






Bezug
                        
Bezug
Grenzwert bestimmen: Korrektur
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:00 Do 02.02.2017
Autor: Loddar

Hallo Dom!


> Dann würde da doch stehen:  [mm]\limes_{x\rightarrow\infty}\bruch{sin(\bruch{1}{x})}{2x}[/mm]

[notok] Das muss heißen:  [mm]\limes_{x\rightarrow\infty}\bruch{\sin\left(\bruch{1}{x}\right)}{\bruch{2}{x}} \ = \ \bruch{1}{2}*\limes_{x\rightarrow\infty}\bruch{\sin\left(\bruch{1}{x}\right)}{\bruch{1}{x}}[/mm]


Gruß
Loddar


Bezug
        
Bezug
Grenzwert bestimmen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:27 Do 02.02.2017
Autor: fred97


> Bestimme den Grenzwert von
>  
> [mm]\limes_{x\rightarrow\infty}x^2*(1-cos(\bruch{1}{x}))[/mm]
>  Hallo,
>  
> hier einmal mein Ansatz:
>  
> [mm]\limes_{x\rightarrow\infty}x^2*(1-cos(\bruch{1}{x}))[/mm] =
> [mm]\limes_{x\rightarrow\infty}\bruch{1-cos(\bruch{1}{x})}{\bruch{1}{x^2}}[/mm]
> = [mm]\limes_{x\rightarrow\infty} \bruch{-\bruch{sin(\bruch{1}{x})}{x^2}}{-\bruch{2}{x^3}}[/mm]
> =
> [mm]\limes_{x\rightarrow\infty}-\bruch{sin(\bruch{1}{x})}{x^2}*-\bruch{x^3}{2}[/mm]
> =
> [mm]\limes_{x\rightarrow\infty}\bruch{sin(\bruch{1}{x})}{1}*-\bruch{x}{2}[/mm]
>  
> Jetzt komme ich aber nicht so wirklich weiter - wo habe ich
> denn einen Fehler gemacht?

Das hat Diophant Dir gesagt.

Einfacher gehts so:



$ [mm] \limes_{x\rightarrow\infty}x^2\cdot{}(1-cos(\bruch{1}{x}))= \limes_{t\rightarrow 0} \frac{1-\cos t}{t^2} [/mm] $.

Jetzt Du.

>  
>  


Bezug
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