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Forum "Folgen und Reihen" - Grenzwert einer Folge
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Grenzwert einer Folge: aufzeigen
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:39 Di 18.04.2017
Autor: Austinn

Aufgabe
Untersuchen Sie die Folge [mm] a_{n}=n^{-2}+\bruch{10}{n}+\bruch{n}{100} [/mm] auf Konvergenz und bestimmen Sie (wenn möglich) den Grenzwert.


[mm] a_{n}=n^{-2}+\bruch{10}{n}+n^{-3n}+\bruch{n}{100} [/mm]
forme ich nun um zu:
[mm] =\bruch{1}{n^{2}}+\bruch{10}{n}+\bruch{1}{n^{3n}}+\bruch{n}{100} [/mm]
und
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{1}{n^{2}} [/mm] konvergiert gegen 0.
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{10}{n} [/mm] konvergiert gegen 0.
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{1}{n^{3n}} [/mm] konvergiert gegen 0.
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty\}bruch{n}{100} [/mm] geht gegen [mm] \infty. [/mm]

Also ist die Folge divergent.
Ist meine Überlegung richtig?

        
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Grenzwert einer Folge: Administration erforderlich
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:06 Di 18.04.2017
Autor: Diophant

Hallo,

soweit man das derzeit in Anbetracht der Fehlfunktionen beim LaTeX-Rendern sagen kann, geht es um die Folge

[mm] a(n)=1/n^2+10/n+n/100 [/mm]

Und die geht natürlich gegen unendlich. Deine Argumentation ist prinzipiell richtig, wenn ich auch nicht ersehen kann, wozu du den Summanden 1/n^(3n) anführst, der ja in der Folge gar nicht vorkommt. Aber wie gesagt: das kann auch an den momentanen technischen Problemen liegen.

@Admins: LaTex-Rendering funktioniert derzeit nicht.


Gruß, Diophant

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Grenzwert einer Folge: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:35 Di 18.04.2017
Autor: Austinn

hey,
danke für deine Antwort. Du hast recht. Ich habe ausversehen die Folge falsch abgeschrieben. Da Latex nicht funktioniert hat konnte ich das auch leider in der Vorschau nicht überprüfen. Tut mir nochmal leid.

Die eigentliche Folge lautet:
$ [mm] a_{n}=n^{-2}+\bruch{10}{n}+n^{-3n}+\bruch{n}{100} [/mm] $

Daher kommt auch die [mm] \bruch{1}{x^{3n}} [/mm]

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Grenzwert einer Folge: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:59 Di 18.04.2017
Autor: Diophant

Hallo,

> hey,
> danke für deine Antwort. Du hast recht. Ich habe
> ausversehen die Folge falsch abgeschrieben. Da Latex nicht
> funktioniert hat konnte ich das auch leider in der Vorschau
> nicht überprüfen. Tut mir nochmal leid.

>

> Die eigentliche Folge lautet:
> [mm]a_{n}=n^{-2}+\bruch{10}{n}+n^{-3n}+\bruch{n}{100}[/mm]

>

> Daher kommt auch die [mm]\bruch{1}{x^{3n}}[/mm]

Dann passt ja alles (du meinst sicherlich n anstelle von x im Nenner des letzten Bruchs).

Ja, im Forum ist schon seit gestern mächtig der Wurm drin. Da läuft wohl so einiges schief derzeit...

Gruß, Diophant

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Grenzwert einer Folge: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:29 Di 18.04.2017
Autor: Austinn

hätte noch eine Frage bezüglich einer anderen Folge ;D
Ich habe folgende Folge gegeben:
[mm] b_{n}=2-(\bruch{1}{2})^{n-1} [/mm]
Ich weiß leider nicht wie ich das umzuformen habe. Besonders verwirrt mich der exponent n-1.

Bezug
                                        
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Grenzwert einer Folge: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:50 Di 18.04.2017
Autor: Diophant

Hallo,

[mm]b_n=2-\left ( \frac{1}{2} \right )^{n-1}=2-2*\left ( \frac{1}{2} \right )^n[/mm]

Dabei habe ich das Potenzgesetz

[mm] \frac{x^a}{x^b}=x^{a-b}[/mm]

angewendet, mehr nicht. Besser so (mache dir einfach klar, was mit dem Bruch für große n passiert)?

Gruß, Diophant

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Grenzwert einer Folge: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:47 Di 18.04.2017
Autor: Austinn

Der Bruch für große n geht gegen 0. Also ist das eine 0-Folge?
Aber ich verstehe leider die Umformung nicht.
Wie bist du mit dem Potenzgesetz [mm] \frac{x^a}{x^b}=x^{a-b} [/mm]  auf  [mm] b_n=2-\left ( \frac{1}{2} \right )^{n-1}=2-2\cdot{}\left ( \frac{1}{2} \right )^n [/mm]  gekommen?
Danke!

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Bezug
Grenzwert einer Folge: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:55 Di 18.04.2017
Autor: Valerie20


> Der Bruch für große n geht gegen 0. Also ist das eine
> 0-Folge?
> Aber ich verstehe leider die Umformung nicht.
> Wie bist du mit dem Potenzgesetz [mm]\frac{x^a}{x^b}=x^{a-b}[/mm]
> auf [mm]b_n=2-\left ( \frac{1}{2} \right )^{n-1}=2-2\cdot{}\left ( \frac{1}{2} \right )^n[/mm]
> gekommen?
> Danke!

[mm]\left ( \frac{1}{2} \right )^{n-1}=\frac{(\frac{1}{2})^n}{(\frac{1}{2})^{1}}=2\cdot (\frac{1}{2})^n[/mm]

Bezug
                                                                
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Grenzwert einer Folge: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:00 Di 18.04.2017
Autor: Austinn

Aber würde es laut der Regel dann nicht heissen, dass $ [mm] \left ( \frac{1}{2} \right )^{n-1}=\frac{(\frac{1}{2})^n}{(\frac{1}{2})^{1}} [/mm] $
also 1 statt -1.


Bezug
                                                                        
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Grenzwert einer Folge: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:40 Di 18.04.2017
Autor: Valerie20


> Aber würde es laut der Regel dann nicht heissen, dass
> [mm]\left ( \frac{1}{2} \right )^{n-1}=\frac{(\frac{1}{2})^n}{(\frac{1}{2})^{1}}[/mm]

>

> also 1 statt -1.

>

[ok] Das war ein Tippfehler meinerseits ;-)

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