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Forum "Funktionen" - Grenzwert einer Funktion
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Grenzwert einer Funktion: Grenzwert
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:00 Mi 16.12.2015
Autor: LPark

Aufgabe
Bestimmen Sie den Grenzwert, falls dieser existiert:

Hallo, ich habe ein Problem, bei dem ich nicht weiter komme,
gegeben ist folgende Funktion:

[mm] \limes_{n\rightarrow\ 0} [/mm] = tan(x)/x

Das sollte man umformen können, sodass nicht mehr "0/0" da steht.
Aber die Einzige Umformung, auf die ich komme ist:

tan(x) = sin(x)/cos(x)

Womit man lediglich sin(x)/cos(x) * 1/x und dann 0/1 * 1/0 dastehen hat...

Danke :)

        
Bezug
Grenzwert einer Funktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:06 Mi 16.12.2015
Autor: fred97


> Bestimmen Sie den Grenzwert, falls dieser existiert:
>  Hallo, ich habe ein Problem, bei dem ich nicht weiter
> komme,
>  gegeben ist folgende Funktion:
>  
> [mm]\limes_{n\rightarrow\ 0}[/mm] = tan(x)/x


Das lautet doch so:  [mm] $\limes_{x \rightarrow\ 0}tan(x)/x$ [/mm]


>  
> Das sollte man umformen können, sodass nicht mehr "0/0" da
> steht.
>  Aber die Einzige Umformung, auf die ich komme ist:
>  
> tan(x) = sin(x)/cos(x)
>  
> Womit man lediglich sin(x)/cos(x) * 1/x und dann 0/1 * 1/0
> dastehen hat...
>  

[mm] \bruch{tan(x)}{x}=\bruch{sin(x)}{x*cos(x)}=\bruch{sin(x)}{x}*\bruch{1}{cos(x)}. [/mm]

Hilft das ?


> Danke :)


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Bezug
Grenzwert einer Funktion: also
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:32 Mi 16.12.2015
Autor: LPark

Ist das nicht das selbe, was ich da stehen habe?

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Bezug
Grenzwert einer Funktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:36 Mi 16.12.2015
Autor: fred97


> Ist das nicht das selbe, was ich da stehen habe?

Na ja, ich habs deutlicher geschrieben, damit Du vielleicht darauf kommst, worauf ich hinaus will. Kennst Du die Grenzwerte von

[mm] \bruch{sin(x)}{x} [/mm] und [mm] \bruch{1}{cos(x)} [/mm] für x [mm] \to [/mm] 0 ?

FRED


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Grenzwert einer Funktion: kay
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:37 Mi 16.12.2015
Autor: LPark

Nein, die kenne ich nicht.
Wenn die irgendwo vordefiniert sind, wäre das natürlich wesentlich einfacher. :D

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Bezug
Grenzwert einer Funktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:58 Mi 16.12.2015
Autor: X3nion

Hi!

Zumindest der Grenzwert von [mm] \frac{1}{cosx)} [/mm] für x -> 0 sollte dir doch einfallen!
Es ist doch cos(0) = 1, somit ist [mm] \limes_{x\rightarrow0} \frac{1}{cos(x)} [/mm] = 1.

>Nein, die kenne ich nicht.
>Wenn die irgendwo vordefiniert sind, wäre das natürlich wesentlich einfacher. :D
cos(0) ist doch nun wahrlich ein Wert, der "vordefiniert" bzw. besser gesagt bekannt ist.

Zum Grenzwert von [mm] \frac{sin(x)}{x}Dieser [/mm] ist zugegemenermaßen im ersten Augenblick nicht so ganz offensichtlich wie für jenen von [mm] \frac{1}{cos(x)}. [/mm] Für x -> 0 konvergiert doch sowohl der Zähler als auch der Nenner von [mm] \frac{sin(x)}{x} [/mm] gegen "null".
Wie wäre es hier mit der Regel von L'Hospital?

Gruß X³nion


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Bezug
Grenzwert einer Funktion: also
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:04 Mi 16.12.2015
Autor: LPark

Stimmt, cos(0) ist ja gleich 1, dann natürlich auch der Grenzwert.
L'Hospital behandeln wir in unserer Vorlesung nicht.
Daher kann ich dazu leider auch nichts sagen.

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Grenzwert einer Funktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:10 Mi 16.12.2015
Autor: X3nion

Hi,

hmm okay. Wie schaut es denn mit den Taylorreihen aus, habt ihr die behandelt. Hiermit würde man auch an's Ziel kommen.

Gruß X³nion

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Grenzwert einer Funktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:43 Mi 16.12.2015
Autor: DieAcht

Hallo LPark!


Habt ihr bereits mit der Differentialrechnung angefangen?
Der Differenzenquozient führt hier schnell zum Ziel! Betrachte dazu

      [mm] $\lim_{x\to 0}\frac{\sin(x)-0}{x-0}=\ldots$. [/mm]

Alternativ: Fang direkt an mit

      [mm] $\lim_{x\to 0}\frac{\tan(x)-0}{x-0}=\ldots$. [/mm]


P.S. Grenzwertsätze wurden bereits eingeführt?


Gruß
DieAcht

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Grenzwert einer Funktion: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:51 Mi 16.12.2015
Autor: LPark

Leider noch keines von beiden.
Aber ich denke, ich werde diesbezüglich einfach meinen Prof fragen, wie er sich das gedacht hat,
aber danke für die Antworten. =)

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Bezug
Grenzwert einer Funktion: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:45 Mi 16.12.2015
Autor: DieAcht


> Leider noch keines von beiden.
> Aber ich denke, ich werde diesbezüglich einfach meinen
> Prof fragen, wie er sich das gedacht hat,
> aber danke für die Antworten. =)

Wie habt ihr denn die Sinus- bzw. die Kosinusfunktion eingeführt?

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Bezug
Grenzwert einer Funktion: Link für geometrische Lösung
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:35 Mi 16.12.2015
Autor: Loddar

Hallo LPark!


Siehe mal hier.
Dort gibt es eine geometrische Herleitung für den Grenzwert [mm] $\limes_{x\rightarrow 0}\bruch{\sin(x)}{x}$ [/mm] .


Gruß
Loddar

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