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Grenzwert im Konvergenzbereich: Frage (reagiert)
Status: (Frage) reagiert/warte auf Reaktion Status 
Datum: 20:26 Fr 03.07.2009
Autor: tunetemptation

Hallo, habe folgende Aufgabe.
Bestimmen sie die Konvergenradius der Reihe
[mm] \summe_{k=0}^{\infty}\bruch{3^k}{2^(k+1)}*x^k [/mm] und den Grenzwert im Konvergenzbereich.
Habe ich gemacht komme auf den Konvergenzradius [mm] \bruch{2}{3}.Also [/mm] ist mein Konvergenzbereich )- [mm] \bruch{2}{3}; \bruch{2}{3}( [/mm]
Wenn ich jetzt  [mm] \bruch{2}{3} [/mm] für x einsetzte erhalte ich doch den Grenzwert im Konvergenzbereich. Komme dann auf  [mm] \bruch{1}{2}. [/mm]
Stimmt das so ?


        
Bezug
Grenzwert im Konvergenzbereich: was hast Du gemacht?
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:10 Fr 03.07.2009
Autor: Loddar

Hallo tunetemptation!


> Bestimmen sie die Konvergenradius der Reihe
> [mm]\summe_{k=0}^{\infty}\bruch{3^k}{2^(k+1)}*x^k[/mm] und den
> Grenzwert im Konvergenzbereich.


> Habe ich gemacht komme auf den Konvergenzradius
> [mm]\bruch{2}{3}.Also[/mm] ist mein Konvergenzbereich )-  [mm]\bruch{2}{3}; \bruch{2}{3}([/mm]

[ok]


> Wenn ich jetzt  [mm]\bruch{2}{3}[/mm] für x einsetzte erhalte ich doch
> den Grenzwert im Konvergenzbereich.

Das verstehe ich nicht.


> Komme dann auf  [mm]\bruch{1}{2}.[/mm]

Was hast Du hier wie gerechnet?


Gruß
Loddar


Bezug
                
Bezug
Grenzwert im Konvergenzbereich: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:26 Fr 03.07.2009
Autor: tunetemptation

Also die Aufgabenstellung war den konvergenzradius der reihe zu bestimmen und dann den GW der Reihe im Konvergenzbereich. ich habe dann [mm] \bruch{2}{3} [/mm] für x eingesetzt das Quotientenkriterium angwandt und dann kam mal 1/2 heraus. keine Ahnung ob das stimmt. Das wäre ja der GW der an und nicht der Reihe.
Aber wie ermittel ich den der Reihe ???

Bezug
                        
Bezug
Grenzwert im Konvergenzbereich: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:46 Fr 03.07.2009
Autor: fencheltee


> Also die Aufgabenstellung war den konvergenzradius der
> reihe zu bestimmen und dann den GW der Reihe im
> Konvergenzbereich. ich habe dann [mm]\bruch{2}{3}[/mm] für x
> eingesetzt das Quotientenkriterium angwandt und dann kam
> mal 1/2 heraus. keine Ahnung ob das stimmt. Das wäre ja
> der GW der an und nicht der Reihe.
>  Aber wie ermittel ich den der Reihe ???

[mm] \summe_{k=0}^{\infty}\bruch{3^k}{2^{k+1}}\cdot{}x^k [/mm]
wenn du [mm] 2^{k+1} [/mm] in [mm] 2^k*2^1 [/mm] umwandelst, und die [mm] \frac{1}{2} [/mm] vor die summe ziehst, haben alle "faktoren" den gleichen exponenten: k, wenn du diese zusammenfasst, hast du eine geometrische reihe, von dem der grenzwert bekannt ist.


Bezug
                                
Bezug
Grenzwert im Konvergenzbereich: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:50 Fr 03.07.2009
Autor: tunetemptation

Aha okay und was bringt mir das dann innerhalb von diesem Konvergenzbereich ???

Bezug
                                        
Bezug
Grenzwert im Konvergenzbereich: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:04 Fr 03.07.2009
Autor: fencheltee


> Aha okay und was bringt mir das dann innerhalb von diesem
> Konvergenzbereich ???

dass die reihe dann in dem konvergenzbereich konvergiert. wenn du den grenzwert berechnet hast, siehst du auch, dass wenn du [mm] \frac{2}{3} [/mm] in die explizite formel (also den grenzwert abhängig von x) einsetzt, diese eine polstelle dort hat.
aber berechne den grenzwert doch erstmal ;-)

Bezug
                                                
Bezug
Grenzwert im Konvergenzbereich: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 09:02 Sa 04.07.2009
Autor: tunetemptation

Wenn ich das in die GW Formel einsetzte erhalte ich [mm] \bruch{\bruch{1}{3}}{x-\bruch{2}{3}} [/mm]
Wenn ich da jetzt für x [mm] \bruch{2}{3} [/mm] einsetze steht 0 im Nenner ???Ist doch nicht erlaubt ???

Bezug
                                                        
Bezug
Grenzwert im Konvergenzbereich: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:33 Sa 04.07.2009
Autor: Al-Chwarizmi


> Wenn ich das in die GW Formel einsetzte erhalte ich
> [mm]\bruch{\bruch{1}{3}}{x-\bruch{2}{3}}[/mm]
>  Wenn ich da jetzt für x [mm]\bruch{2}{3}[/mm] einsetze steht 0 im
> Nenner ???Ist doch nicht erlaubt ???


Weshalb willst du denn jetzt für x ausgerechnet
den Wert  [mm] x=\bruch{2}{3} [/mm]  einsetzen, der ja eben gerade
knapp nicht mehr im Konvergenzbereich liegt ?

Für alle x innerhalb des Konvergenzbereiches
liefert aber der Term

       [mm] \bruch{\bruch{1}{3}}{x-\bruch{2}{3}} [/mm]

den man übrigens noch vereinfachen sollte,
den Grenzwert, also die Summe der geometrischen
Reihe.

LG

Bezug
                                                                
Bezug
Grenzwert im Konvergenzbereich: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 09:41 Sa 04.07.2009
Autor: tunetemptation

Sorry, war ja falsch .
Ist Ja [mm] \bruch{\bruch{1}{2}}{1-\bruch{3x}{2}} [/mm]
Also vereinfacht [mm] \bruch{1}{2-3x}. [/mm]
Dies ist dann also mien GW im KOnvergenzbereich ?!

Bezug
                                                                        
Bezug
Grenzwert im Konvergenzbereich: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:48 Sa 04.07.2009
Autor: fencheltee


> Sorry, war ja falsch .
>  Ist Ja [mm]\bruch{\bruch{1}{2}}{1-\bruch{3x}{2}}[/mm]
>  Also vereinfacht [mm]\bruch{1}{2-3x}.[/mm]
>  Dies ist dann also mien GW im KOnvergenzbereich ?!

richtig!
[mm] f(x)=\summe_{k=0}^{\infty}\bruch{3^k}{2^{k+1}}\cdot{}x^k=\frac{1}{2-3*x} [/mm] für alle x [mm] \in ]-\frac{2}{3};\frac{2}{3}[ [/mm]


Bezug
                                                        
Bezug
Grenzwert im Konvergenzbereich: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:45 Sa 04.07.2009
Autor: fencheltee


> Wenn ich das in die GW Formel einsetzte erhalte ich
> [mm]\bruch{\bruch{1}{3}}{x-\bruch{2}{3}}[/mm]

du meinst eher [mm] \bruch{\bruch{1}{3}}{\red{-}(x-\bruch{2}{3})} [/mm] sonst hättest du für x [mm] \in ]0;\frac{2}{3}[ [/mm] mit der expliziten formel ja einen negativen grenzwert, was ja nicht sein kann, wenn man sich die summenformel anschaut ;-)

>  Wenn ich da jetzt für x [mm]\bruch{2}{3}[/mm] einsetze steht 0 im
> Nenner ???Ist doch nicht erlaubt ???

"der Konvergenzradius einer Potenzreihe f(x) ist der Abstand zwischen ihrem Entwicklungspunkt und der nächstgelegenen Stelle, an der f(x) nicht beliebig oft diff'bar ist" (gilt nur über der Grundmenge [mm] \IC) [/mm]
Entwicklungspunkt ist ja hier 0, und du siehst schön, dass du bei [mm] \frac{2}{3}(=Konvergenzradius) [/mm] eine Polstelle hast, also f(x) nicht diff'bar ist. Dachte ist mal ganz interessant den Zusammenhang für dich dabei zu sehen :-)

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