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Forum "Funktionalanalysis" - Grenzwert mit e
Grenzwert mit e < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Grenzwert mit e: Korrektur
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:25 So 28.02.2016
Autor: Lars.P

Aufgabe
[mm] \limes_{x\rightarrow\infty} (\bruch{x^3-2}{x^3+5})^{x^3} [/mm]



Meine Idee ist es [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} (\bruch{x^3-2}{x^3+5})^{x^3} [/mm] erstmal den bruch umzuschreiben.

[mm] (\bruch{x^3 +5-7}{x^3 +5})^{x^3}= (\bruch{x^3 +5}{x^3 +5}+\bruch{ -7}{x^3 +5})^{x^3}= (1+(\bruch{-7}{x^3 +5}))^{x^3} [/mm]

Wenn ich davon den  [mm] \limes_{x\rightarrow\infty} (1+(\bruch{-7}{x^3 +5}) )^{x^3} [/mm] = [mm] e^{-7} [/mm] oder kann man das nicht so einfach sagen??

        
Bezug
Grenzwert mit e: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:11 So 28.02.2016
Autor: fred97


> [mm]\limes_{x\rightarrow\infty} (\bruch{x^3-2}{x^3+5})^{x^3}[/mm]
>  
>
> Meine Idee ist es [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} (\bruch{x^3-2}{x^3+5})^{x^3}[/mm]
> erstmal den bruch umzuschreiben.
>  
> [mm](\bruch{x^3 +5-7}{x^3 +5})^{x^3}= (\bruch{x^3 +5}{x^3 +5}+\bruch{ -7}{x^3 +5})^{x^3}= (1+(\bruch{-7}{x^3 +5}))^{x^3}[/mm]
>  
> Wenn ich davon den  [mm]\limes_{x\rightarrow\infty} (1+(\bruch{-7}{x^3 +5}) )^{x^3}[/mm]
> = [mm]e^{-7}[/mm] oder kann man das nicht so einfach sagen??

Na ja, eine Begründung wäre angebracht

Fred


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Grenzwert mit e: Rückfrage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:36 So 28.02.2016
Autor: Lars.P

Ich weiß dass [mm] e=\limes_{n\rightarrow\infty} (1+\bruch{1}{x})^{x} [/mm]
Dann habe ich  mir gedacht weil es ja beides mal [mm] x^3 [/mm] ist dass es genau wie hoch x wäre und die +5 vernachlässigbar wäre... da ich ja x gegen unendlich laufen lassen und dadurch +5 im vergleich mit unendlich vernachlässigen kann.
Andernfalls könnte man ja [mm] x^3=n [/mm] setzen und schauen was dann passiert. wäre aber das gleiche mit der +5
Auch bei anderen Aufgaben die ich gelöst haben, hatte ich jedesmal das richtige Ergebniss wenn ich die Potenz gleich der im Bruch gesetzt habe .  

Bezug
                        
Bezug
Grenzwert mit e: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:46 So 28.02.2016
Autor: DieAcht

Hallo Lars.P!


> Ich weiß dass [mm]e=\limes_{n\rightarrow\infty} (1+\bruch{1}{x})^{x}[/mm]

Du meinst

      [mm] $e=\limes_{x\rightarrow\infty} (1+\bruch{1}{x})^{x}$. [/mm]

>  Andernfalls könnte man ja [mm]x^3=n[/mm] setzen und schauen was dann passiert.

Setze [mm] $n=x^3+5$. [/mm]


Gruß
DieAcht

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Grenzwert mit e: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:05 Mo 29.02.2016
Autor: fred97


> Ich weiß dass [mm]e=\limes_{n\rightarrow\infty} (1+\bruch{1}{x})^{x}[/mm]
>  
> Dann habe ich  mir gedacht weil es ja beides mal [mm]x^3[/mm] ist
> dass es genau wie hoch x wäre und die +5 vernachlässigbar
> wäre... da ich ja x gegen unendlich laufen lassen und
> dadurch +5 im vergleich mit unendlich vernachlässigen
> kann.

Mit Verlaub, aber das ist nur Gerede. Es ist

[mm] (1-\bruch{7}{x^3 +5})^{x^3}=(1-\bruch{7}{x^3 +5})^{x^3+5}*(1-\bruch{7}{x^3 +5})^{-5}. [/mm]

Der erste Faktor rechts strebt für $x [mm] \to \infty$ [/mm] gegen [mm] e^{-7} [/mm] under der zweite gegen 1.

FRED

>  Andernfalls könnte man ja [mm]x^3=n[/mm] setzen und schauen was
> dann passiert. wäre aber das gleiche mit der +5
>  Auch bei anderen Aufgaben die ich gelöst haben, hatte ich
> jedesmal das richtige Ergebniss wenn ich die Potenz gleich
> der im Bruch gesetzt habe .  


Bezug
                                
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Grenzwert mit e: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 08:41 Mo 29.02.2016
Autor: sinnlos123

Hi Fred,

wie zeigt man, dass [mm] (1+\bruch{a}{x})^{x} [/mm] gegen [mm] e^{a} [/mm] strebt?

(denn darauf läufts ja dann hinaus)

Bezug
                                        
Bezug
Grenzwert mit e: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:08 Mo 29.02.2016
Autor: fred97


> Hi Fred,
>  
> wie zeigt man, dass [mm](1+\bruch{a}{x})^{x}[/mm] gegen [mm]e^{a}[/mm]
> strebt?

Hi sinnlos,

dafür gibts viele Beweise. Einer geht zum Beispiel so:

Für a=0 ist die Sache klar. Sei also a [mm] \ne [/mm] 0. Im Folgenden sei x [mm] \in \IR, [/mm] x > 0 und x>-a. Für t>-1 setze [mm] f(t):=\ln(1+t). [/mm] Rechne nach:

  [mm] \ln((1+\bruch{a}{x})^x)=\bruch{f(\bruch{a}{x})-f(0)}{\bruch{1}{x}}=a*\bruch{f(\bruch{a}{x})-f(0)}{\bruch{a}{x}}. [/mm]

Für $x [mm] \to \infty$ [/mm] haben wir also, mit der Differenzierbarkeit von f in 0:

   [mm] $\ln((1+\bruch{a}{x})^x) \to [/mm] a*f'(0)=a$.

Es folgt mit der Stetigkeit der Exponentialfunktion:

$ [mm] (1+\bruch{a}{x})^x =\exp( \ln((1+\bruch{a}{x})^x)) \to e^a [/mm] $  für $x [mm] \to \infty$. [/mm]

Gruß


FRED

>  
> (denn darauf läufts ja dann hinaus)


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Grenzwert mit e: Rückfrage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:20 Mo 29.02.2016
Autor: Lars.P

Das bedeutet ich verändere die Potenz immer so, dass sie gleich dem Nenner ist? und schaue dann wie sich die Neuen Klammern verhalten. Sobald Potenz und Nenner gleich ist gilt die Regel mit e?? und die andere klammer gibt mir dann den rest

Bezug
                                        
Bezug
Grenzwert mit e: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:06 Mo 29.02.2016
Autor: fred97


> Das bedeutet ich verändere die Potenz immer so, dass sie
> gleich dem Nenner ist? und schaue dann wie sich die Neuen
> Klammern verhalten. Sobald Potenz und Nenner gleich ist
> gilt die Regel mit e?? und die andere klammer gibt mir dann
> den rest

Ja

FRED

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