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Grenzwertbildung geo. Reihe: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:49 Do 08.01.2015
Autor: Benbw

Aufgabe
[mm] \summe_{i=0}^{\infty} x^i [/mm] =  [mm] \bruch{1}{1-x} [/mm] falls Betrag x < 1

Berechne diesen Grenzwert durch Betrachtung des Grenzwertes der Teilsummen. Tipp: Multipliziere die Teilsummen mit (1-x) und ermittle den Grenzwert dieser Produkte.

Hallo,
ich habe ein Problem mit der o.g. Aufgabe.
Mein bisheriger Ansatz war:
[mm] \summe_{i=0}^{\infty} x^i [/mm] = [mm] \bruch{1}{1-x}= 1*(x-0)^i= 1+1x+1x^2+1x^3+... [/mm] was ja nun immer so weiter gehen würde. Nun weis ich nicht wie ich von dieser Rechnung nun dahin komme das ich den Grenzwert bilden kann. Und scheinbar sollte ich jede Teilsumme auch noch mit (1-x) multiplizieren. Das bringt mich aber leider auch nicht weiter.
Ich hoffe hier kann jemand helfen :)

Viele Grüße

        
Bezug
Grenzwertbildung geo. Reihe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:57 Do 08.01.2015
Autor: fred97


> [mm]\summe_{i=0}^{\infty} x^i[/mm] =  [mm]\bruch{1}{1-x}[/mm] falls Betrag x
> < 1
>  
> Berechne diesen Grenzwert durch Betrachtung des Grenzwertes
> der Teilsummen. Tipp: Multipliziere die Teilsummen mit
> (1-x) und ermittle den Grenzwert dieser Produkte.
>  Hallo,
>  ich habe ein Problem mit der o.g. Aufgabe.
>  Mein bisheriger Ansatz war:
> [mm]\summe_{i=0}^{\infty} x^i[/mm] = [mm]\bruch{1}{1-x}= 1*(x-0)^i= 1+1x+1x^2+1x^3+...[/mm]
> was ja nun immer so weiter gehen würde. Nun weis ich nicht
> wie ich von dieser Rechnung nun dahin komme das ich den
> Grenzwert bilden kann. Und scheinbar sollte ich jede
> Teilsumme auch noch mit (1-x) multiplizieren. Das bringt
> mich aber leider auch nicht weiter.
> Ich hoffe hier kann jemand helfen :)
>  
> Viele Grüße


Im Tipp werden doch Teilsummen genannt. Benutze sie !

Für n [mm] \in \IN [/mm] sei

    [mm] s_n:=\summe_{i=0}^{n} x^i. [/mm]


Es ist  [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}s_n=\summe_{i=0}^{\infty} x^i. [/mm]

Ist Dir das klar ?

Zeige nun:

      [mm] (1-x)s_n=1-x^{n+1}. [/mm]

Es ist |x|<1, was ist also [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}x^{n+1} [/mm] ?

Berechne daraus  [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}(1-x)s_n [/mm] ?

Wie fällt also [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}s_n [/mm] aus.

Bezug
                
Bezug
Grenzwertbildung geo. Reihe: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:08 Do 08.01.2015
Autor: Benbw


> > [mm]\summe_{i=0}^{\infty} x^i[/mm] =  [mm]\bruch{1}{1-x}[/mm] falls Betrag x
> > < 1
>  >  
> > Berechne diesen Grenzwert durch Betrachtung des Grenzwertes
> > der Teilsummen. Tipp: Multipliziere die Teilsummen mit
> > (1-x) und ermittle den Grenzwert dieser Produkte.
>  >  Hallo,
>  >  ich habe ein Problem mit der o.g. Aufgabe.
>  >  Mein bisheriger Ansatz war:
> > [mm]\summe_{i=0}^{\infty} x^i[/mm] = [mm]\bruch{1}{1-x}= 1*(x-0)^i= 1+1x+1x^2+1x^3+...[/mm]
> > was ja nun immer so weiter gehen würde. Nun weis ich nicht
> > wie ich von dieser Rechnung nun dahin komme das ich den
> > Grenzwert bilden kann. Und scheinbar sollte ich jede
> > Teilsumme auch noch mit (1-x) multiplizieren. Das bringt
> > mich aber leider auch nicht weiter.
> > Ich hoffe hier kann jemand helfen :)
>  >  
> > Viele Grüße
>
>
> Im Tipp werden doch Teilsummen genannt. Benutze sie !
>  
> Für n [mm]\in \IN[/mm] sei
>  
> [mm]s_n:=\summe_{i=0}^{n} x^i.[/mm]
>  
>
> Es ist  
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}s_n=\summe_{i=0}^{\infty} x^i.[/mm]
>  
> Ist Dir das klar ?
>   Ja das ist mir klar.
> Zeige nun:
>  
> [mm](1-x)s_n=1-x^{n+1}.[/mm]
>  
> Es ist |x|<1, was ist also
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}x^{n+1}[/mm] ?

[mm]\limes_{n\rightarrow\infty}x^{n+1}[/mm] wird sehr klein, also geht gegen 0 oder ?


>  
> Berechne daraus  [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}(1-x)s_n[/mm] ?

[mm]\limes_{n\rightarrow\infty}(1-x)s_n[/mm]= 1

>  
> Wie fällt also [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}s_n[/mm] aus.

Der Grenzwert ist 1?

[mm](1-x)s_n=1-x^{n+1}.[/mm]
Wie du darauf kommst ist mir allerdings noch nicht ganz klar.

Bezug
                        
Bezug
Grenzwertbildung geo. Reihe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:15 Do 08.01.2015
Autor: fred97


> > > [mm]\summe_{i=0}^{\infty} x^i[/mm] =  [mm]\bruch{1}{1-x}[/mm] falls Betrag x
> > > < 1
>  >  >  
> > > Berechne diesen Grenzwert durch Betrachtung des Grenzwertes
> > > der Teilsummen. Tipp: Multipliziere die Teilsummen mit
> > > (1-x) und ermittle den Grenzwert dieser Produkte.
>  >  >  Hallo,
>  >  >  ich habe ein Problem mit der o.g. Aufgabe.
>  >  >  Mein bisheriger Ansatz war:
> > > [mm]\summe_{i=0}^{\infty} x^i[/mm] = [mm]\bruch{1}{1-x}= 1*(x-0)^i= 1+1x+1x^2+1x^3+...[/mm]
> > > was ja nun immer so weiter gehen würde. Nun weis ich nicht
> > > wie ich von dieser Rechnung nun dahin komme das ich den
> > > Grenzwert bilden kann. Und scheinbar sollte ich jede
> > > Teilsumme auch noch mit (1-x) multiplizieren. Das bringt
> > > mich aber leider auch nicht weiter.
> > > Ich hoffe hier kann jemand helfen :)
>  >  >  
> > > Viele Grüße
> >
> >
> > Im Tipp werden doch Teilsummen genannt. Benutze sie !
>  >  
> > Für n [mm]\in \IN[/mm] sei
>  >  
> > [mm]s_n:=\summe_{i=0}^{n} x^i.[/mm]
>  >  
> >
> > Es ist  
> > [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}s_n=\summe_{i=0}^{\infty} x^i.[/mm]
>  
> >  

> > Ist Dir das klar ?
>  >   Ja das ist mir klar.
>  > Zeige nun:

>  >  
> > [mm](1-x)s_n=1-x^{n+1}.[/mm]
>  >  
> > Es ist |x|<1, was ist also
> > [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}x^{n+1}[/mm] ?
>  [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}x^{n+1}[/mm] wird sehr klein, also
> geht gegen 0 oder ?

Ja, der Grenzwert = 0.


>  
>
> >  

> > Berechne daraus  [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}(1-x)s_n[/mm] ?
>  [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}(1-x)s_n[/mm]= 1

Ja


>  >  
> > Wie fällt also [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}s_n[/mm] aus.
> Der Grenzwert ist 1?

Nein. Nicht raten , denken !

Wenn  [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}(1-x)s_n[/mm]= 1, dann ist

(1-x)* [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}s_n=1, [/mm]

somit ist  [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}s_n= [/mm] ?

>  
> [mm](1-x)s_n=1-x^{n+1}.[/mm]
>   Wie du darauf kommst ist mir allerdings noch nicht ganz
> klar.

Berechne mal [mm] (1-x)s_n [/mm] für n=1, n=2 und n=3. Dann kommst Du auf die Vermutung

    [mm](1-x)s_n=1-x^{n+1}.[/mm].


Beweise das nun mit Induktion.

FRED


Bezug
                                
Bezug
Grenzwertbildung geo. Reihe: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:44 Do 08.01.2015
Autor: Benbw


> > > > [mm]\summe_{i=0}^{\infty} x^i[/mm] =  [mm]\bruch{1}{1-x}[/mm] falls Betrag x
> > > > < 1
>  >  >  >  
> > > > Berechne diesen Grenzwert durch Betrachtung des Grenzwertes
> > > > der Teilsummen. Tipp: Multipliziere die Teilsummen mit
> > > > (1-x) und ermittle den Grenzwert dieser Produkte.
>  >  >  >  Hallo,
>  >  >  >  ich habe ein Problem mit der o.g. Aufgabe.
>  >  >  >  Mein bisheriger Ansatz war:
> > > > [mm]\summe_{i=0}^{\infty} x^i[/mm] = [mm]\bruch{1}{1-x}= 1*(x-0)^i= 1+1x+1x^2+1x^3+...[/mm]
> > > > was ja nun immer so weiter gehen würde. Nun weis ich nicht
> > > > wie ich von dieser Rechnung nun dahin komme das ich den
> > > > Grenzwert bilden kann. Und scheinbar sollte ich jede
> > > > Teilsumme auch noch mit (1-x) multiplizieren. Das bringt
> > > > mich aber leider auch nicht weiter.
> > > > Ich hoffe hier kann jemand helfen :)
>  >  >  >  
> > > > Viele Grüße
> > >
> > >
> > > Im Tipp werden doch Teilsummen genannt. Benutze sie !
>  >  >  
> > > Für n [mm]\in \IN[/mm] sei
>  >  >  
> > > [mm]s_n:=\summe_{i=0}^{n} x^i.[/mm]
>  >  >  
> > >
> > > Es ist  
> > > [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}s_n=\summe_{i=0}^{\infty} x^i.[/mm]
>  
> >  

> > >  

> > > Ist Dir das klar ?
>  >  >   Ja das ist mir klar.
>  >  > Zeige nun:

>  >  >  
> > > [mm](1-x)s_n=1-x^{n+1}.[/mm]
>  >  >  
> > > Es ist |x|<1, was ist also
> > > [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}x^{n+1}[/mm] ?
>  >  [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}x^{n+1}[/mm] wird sehr klein,
> also
> > geht gegen 0 oder ?
>  
> Ja, der Grenzwert = 0.
>  
>
> >  

> >
> > >  

> > > Berechne daraus  [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}(1-x)s_n[/mm] ?
>  >  [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}(1-x)s_n[/mm]= 1
>  
> Ja
>  
>
> >  >  

> > > Wie fällt also [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}s_n[/mm] aus.
> > Der Grenzwert ist 1?
>  
> Nein. Nicht raten , denken !
>  
> Wenn  [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}(1-x)s_n[/mm]= 1, dann ist
>  
> (1-x)* [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}s_n=1,[/mm]
>  
> somit ist  [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}s_n=[/mm] ?

[mm]\limes_{n\rightarrow\infty}s_n= \bruch {1}{1-x}[/mm]

>  >  
> > [mm](1-x)s_n=1-x^{n+1}.[/mm]
>  >   Wie du darauf kommst ist mir allerdings noch nicht
> ganz
> > klar.
>
> Berechne mal [mm](1-x)s_n[/mm] für n=1, n=2 und n=3. Dann kommst Du
> auf die Vermutung
>  
> [mm](1-x)s_n=1-x^{n+1}.[/mm].

[mm] s_n [/mm] ist ja das Summen Glied an n-ter Stelle.
[mm](1-x)s_n[/mm]= [mm] 1-x^2 [/mm] für n=1
Das auch für n= 2 und n=3 machen, nach sn umstellen und zusammen addieren ?

>  
>
> Beweise das nun mit Induktion.
>  
> FRED
>  


Bezug
        
Bezug
Grenzwertbildung geo. Reihe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:03 Do 08.01.2015
Autor: Marcel

Hallo,

> [mm]\summe_{i=0}^{\infty} x^i[/mm] =  [mm]\bruch{1}{1-x}[/mm] falls Betrag x
> < 1
>  
> Berechne diesen Grenzwert durch Betrachtung des Grenzwertes
> der Teilsummen. Tipp: Multipliziere die Teilsummen mit
> (1-x) und ermittle den Grenzwert dieser Produkte.
>  Hallo,
>  ich habe ein Problem mit der o.g. Aufgabe.
>  Mein bisheriger Ansatz war:
> [mm]\summe_{i=0}^{\infty} x^i[/mm] = [mm]\bruch{1}{1-x}= 1*(x-0)^i= 1+1x+1x^2+1x^3+...[/mm]

am besten fängt man eigentlich so an (das steht auch im Tipp):

    [mm] $(1-x)*\sum_{k=0}^n x^k=\sum_{k=0}^n x^k -x*\sum_{k=0}^n x^k=\sum_{k=0}^n x^k -\sum_{k=0}^n x^{k+1}=\sum_{k=0}^n x^k -\sum_{k=1}^{n\red{+1}} x^k=x^0+\left(\sum_{k=1}^n x^k -\sum_{k=1}^n x^k\right)-x^{n+1}=...\,.$ [/mm]

Dann hast Du Freds Formel!

Ist Dir das klar? Da gehen schon einige (elementare) Rechenregeln ein
(Assoziativität, Kommutativität der Addition bei ENDLICHEN Summen, ...)
Falls nicht: Frage an der Stelle nach, die Dir unklar ist. Noch ein Wort: An
einer Stelle habe ich einen sogenannten Indexshift vorgenommen!

Gruß,
  Marcel

Bezug
                
Bezug
Grenzwertbildung geo. Reihe: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:21 Do 08.01.2015
Autor: Benbw


> Hallo,
>  
> > [mm]\summe_{i=0}^{\infty} x^i[/mm] =  [mm]\bruch{1}{1-x}[/mm] falls Betrag x
> > < 1
>  >  
> > Berechne diesen Grenzwert durch Betrachtung des Grenzwertes
> > der Teilsummen. Tipp: Multipliziere die Teilsummen mit
> > (1-x) und ermittle den Grenzwert dieser Produkte.
>  >  Hallo,
>  >  ich habe ein Problem mit der o.g. Aufgabe.
>  >  Mein bisheriger Ansatz war:
> > [mm]\summe_{i=0}^{\infty} x^i[/mm] = [mm]\bruch{1}{1-x}= 1*(x-0)^i= 1+1x+1x^2+1x^3+...[/mm]
>
> am besten fängt man eigentlich so an (das steht auch im
> Tipp):
>  
> [mm](1-x)*\sum_{k=0}^n x^k=\sum_{k=0}^n x^k -x*\sum_{k=0}^n x^k=\sum_{k=0}^n x^k -\sum_{k=0}^n x^{k+1}=\sum_{k=0}^n x^k -\sum_{k=1}^{n\red{+1}} x^k=x^0+\left(\sum_{k=1}^n x^k -\sum_{k=1}^n x^k\right)-x^{n+1}=... > > Dann hast Du Freds Formel! > > Ist Dir das klar? Da gehen schon einige (elementare) > Rechenregeln ein > (Assoziativität, Kommutativität der Addition bei > ENDLICHEN Summen, ...) > Falls nicht: Frage an der Stelle nach, die Dir unklar ist. > Noch ein Wort: An > einer Stelle habe ich einen sogenannten Indexshift > vorgenommen! > > Gruß, > Marcel \sum_{k=0}^n x^k -\sum_{k=1}^{n\red{+1}} x^k=x^0+\left(\sum_{k=1}^n x^k -\sum_{k=1}^n x^k\right)-x^{n+1}=...\,.[/mm]

Bis dahin kann ich es nachvollziehen allerdings hört es dann beim Indexshift auf.

[mm] x^0 [/mm] = [mm] \sum_{k=0}^n x^k [/mm]  ok.
aber wie du dann auf [mm] \left(\sum_{k=1}^n x^k -\sum_{k=1}^n x^k\right)-x^{n+1}=...\,.[/mm] [/mm] kommst verstehe ich nicht.

Bezug
                        
Bezug
Grenzwertbildung geo. Reihe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:57 Do 08.01.2015
Autor: Marcel

Hallo,

> > Hallo,
>  >  
> > > [mm]\summe_{i=0}^{\infty} x^i[/mm] =  [mm]\bruch{1}{1-x}[/mm] falls Betrag x
> > > < 1
>  >  >  
> > > Berechne diesen Grenzwert durch Betrachtung des Grenzwertes
> > > der Teilsummen. Tipp: Multipliziere die Teilsummen mit
> > > (1-x) und ermittle den Grenzwert dieser Produkte.
>  >  >  Hallo,
>  >  >  ich habe ein Problem mit der o.g. Aufgabe.
>  >  >  Mein bisheriger Ansatz war:
> > > [mm]\summe_{i=0}^{\infty} x^i[/mm] = [mm]\bruch{1}{1-x}= 1*(x-0)^i= 1+1x+1x^2+1x^3+...[/mm]
> >
> > am besten fängt man eigentlich so an (das steht auch im
> > Tipp):
>  >  
> > [mm](1-x)*\sum_{k=0}^n x^k=\sum_{k=0}^n x^k -x*\sum_{k=0}^n x^k=\sum_{k=0}^n x^k -\sum_{k=0}^n x^{k+1}=\sum_{k=0}^n x^k -\sum_{k=1}^{n\red{+1}} x^k=x^0+\left(\sum_{k=1}^n x^k -\sum_{k=1}^n x^k\right)-x^{n+1}=... > > Dann hast Du Freds Formel! > > Ist Dir das klar? Da gehen schon einige (elementare) > Rechenregeln ein > (Assoziativität, Kommutativität der Addition bei > ENDLICHEN Summen, ...) > Falls nicht: Frage an der Stelle nach, die Dir unklar ist. > Noch ein Wort: An > einer Stelle habe ich einen sogenannten Indexshift > vorgenommen! > > Gruß, > Marcel \sum_{k=0}^n x^k -\sum_{k=1}^{n\red{+1}} x^k=x^0+\left(\sum_{k=1}^n x^k -\sum_{k=1}^n x^k\right)-x^{n+1}=...\,.[/mm]
>  
> Bis dahin kann ich es nachvollziehen allerdings hört es
> dann beim Indexshift auf.

Okay, also bis

    [mm] $\sum_{k=0}^n x^k-\sum_{k=0}^n x^{k+1}=:(\*)$ [/mm]

ist Dir alles klar. Ich setze mal [mm] $m:=k+1\,,$ [/mm] dann

    [mm] $(\*)=\sum_{k=0}^n x^k -\sum_{m=1}^{n+1}x^m=...$ [/mm]

Ist das noch klar? Ich schreibe weiter:

    [mm] $...=(x^0+\red{(x^1+...+x^n)})-(\red{(x^1+x^2+...+x^n)}+x^{n+1})$ [/mm]

    [mm] $=(x^0+(\red{\sum_{k=1}^n x^k}))-(\red{\sum_{m=1}^n x^m})-x^{n+1}$ [/mm]

    [mm] $=1+\underbrace{\left(\red{\sum_{k=1}^n x^k}-\red{\sum_{m=1}^n x^m}\right)}_{=0}-x^{n+1}=1-x^{n+1}$ [/mm]

Tipp: Schreibe Dir das, was ich gerechnet habe, erst mal speziell für etwa
[mm] $n=3\,$ [/mm] hin - ich mache jetzt einen Mischmasch zwischen *ausschreiben* und
Summenformelbenutzung:

    [mm] $(1-x)\sum_{k=0}^3 x^k=\sum_{k=0}^3 x^k [/mm] - [mm] x*\sum_{k=0}^3 x^k=\sum_{k=0}^3 x^k -\sum_{m=1}^{3+1} x^m$ [/mm]

    [mm] $=(x^0+\red{(x^1+x^2+x^3)})-(\red{(x^1+x^2+x^3)}+x^4)$ [/mm]

    [mm] $=x^0+\left(\sum_{k=1}^3 x^k - \sum_{m=1}^3 x^m\right)- x^{3+1}$ [/mm]

    [mm] $=1-x^{3+1}$ [/mm]

Gruß,
  Marcel

Bezug
                                
Bezug
Grenzwertbildung geo. Reihe: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:34 Do 08.01.2015
Autor: Benbw


> Hallo,
>  
> > > Hallo,
>  >  >  
> > > > [mm]\summe_{i=0}^{\infty} x^i[/mm] =  [mm]\bruch{1}{1-x}[/mm] falls Betrag x
> > > > < 1
>  >  >  >  
> > > > Berechne diesen Grenzwert durch Betrachtung des Grenzwertes
> > > > der Teilsummen. Tipp: Multipliziere die Teilsummen mit
> > > > (1-x) und ermittle den Grenzwert dieser Produkte.
>  >  >  >  Hallo,
>  >  >  >  ich habe ein Problem mit der o.g. Aufgabe.
>  >  >  >  Mein bisheriger Ansatz war:
> > > > [mm]\summe_{i=0}^{\infty} x^i[/mm] = [mm]\bruch{1}{1-x}= 1*(x-0)^i= 1+1x+1x^2+1x^3+...[/mm]
> > >
> > > am besten fängt man eigentlich so an (das steht auch im
> > > Tipp):
>  >  >  
> > > [mm](1-x)*\sum_{k=0}^n x^k=\sum_{k=0}^n x^k -x*\sum_{k=0}^n x^k=\sum_{k=0}^n x^k -\sum_{k=0}^n x^{k+1}=\sum_{k=0}^n x^k -\sum_{k=1}^{n\red{+1}} x^k=x^0+\left(\sum_{k=1}^n x^k -\sum_{k=1}^n x^k\right)-x^{n+1}=... > > Dann hast Du Freds Formel! > > Ist Dir das klar? Da gehen schon einige (elementare) > Rechenregeln ein > (Assoziativität, Kommutativität der Addition bei > ENDLICHEN Summen, ...) > Falls nicht: Frage an der Stelle nach, die Dir unklar ist. > Noch ein Wort: An > einer Stelle habe ich einen sogenannten Indexshift > vorgenommen! > > Gruß, > Marcel \sum_{k=0}^n x^k -\sum_{k=1}^{n\red{+1}} x^k=x^0+\left(\sum_{k=1}^n x^k -\sum_{k=1}^n x^k\right)-x^{n+1}=...\,.[/mm]
>  
> >  

> > Bis dahin kann ich es nachvollziehen allerdings hört es
> > dann beim Indexshift auf.
>
> Okay, also bis
>
> [mm]\sum_{k=0}^n x^k-\sum_{k=0}^n x^{k+1}=:(\*)[/mm]
>  
> ist Dir alles klar. Ich setze mal [mm]m:=k+1\,,[/mm] dann
>  
> [mm](\*)=\sum_{k=0}^n x^k -\sum_{m=1}^{n+1}x^m=...[/mm]
>  
> Ist das noch klar? Ich schreibe weiter:
>  
> [mm]...=(x^0+\red{(x^1+...+x^n)})-(\red{(x^1+x^2+...+x^n)}+x^{n+1})[/mm]
>  
> [mm]=(x^0+(\red{\sum_{k=1}^n x^k}))-(\red{\sum_{m=1}^n x^m})-x^{n+1}[/mm]
>  
> [mm]=1+\underbrace{\left(\red{\sum_{k=1}^n x^k}-\red{\sum_{m=1}^n x^m}\right)}_{=0}-x^{n+1}=1-x^{n+1}[/mm]
>  
> Tipp: Schreibe Dir das, was ich gerechnet habe, erst mal
> speziell für etwa
> [mm]n=3\,[/mm] hin - ich mache jetzt einen Mischmasch zwischen
> *ausschreiben* und
>  Summenformelbenutzung:
>  
> [mm](1-x)\sum_{k=0}^3 x^k=\sum_{k=0}^3 x^k - x*\sum_{k=0}^3 x^k=\sum_{k=0}^3 x^k -\sum_{m=1}^{3+1} x^m[/mm]
>  
> [mm]=(x^0+\red{(x^1+x^2+x^3)})-(\red{(x^1+x^2+x^3)}+x^4)[/mm]
>  
> [mm]=x^0+\left(\sum_{k=1}^3 x^k - \sum_{m=1}^3 x^m\right)- x^{3+1}[/mm]
>  
> [mm]=1-x^{3+1}[/mm]
>  
> Gruß,
>    Marcel

Also ich verstehe nicht wie du auf deine geschilderten Schritte kommst. Die Substitution von k+1 dient der vereinfachung nehme ich an aber wieso erhöst du den Index auf n+1 und setzt für die Laufvariable m ein.

[mm]=1+\underbrace{\left(\red{\sum_{k=1}^n x^k}-\red{\sum_{m=1}^n x^m}\right)}_{=0}-x^{n+1}=1-x^{n+1}[/mm]
hier setzt du die Laufvariable k auch auf 1. Damit die Summe der beiden 0 ergibt ?

Mit [mm] 1-x^{n+1} [/mm] kann ich jetzt den Grenzwert aus der Aufgabenstellung berechnen ?
Wäre dann [mm] 1-x^{\infty+1} [/mm] = [mm] -\infty [/mm]

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Grenzwertbildung geo. Reihe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:22 Do 08.01.2015
Autor: leduart

Hallo
  [mm] S_n [/mm] = [mm] 1+x+x^2+x^3..............x^{n-1}+x^n [/mm]
[mm] x*S_n= [/mm] 0 [mm] +x+x^2+x^3+.........x^{n-1}+x^n+x^{n+1} [/mm]
kannst du jetzt die 2 Reihen subtrahieren?
dein x<1 wogegen konvergiert dann [mm] x^n [/mm] und bitte schreib  NIE [mm] x^{infty} [/mm] oder gar [mm] x^{infty+1} [/mm] das ist einfach Unsinn
[mm] \infty [/mm] ist keine Zahl man kann damit nicht rechnen
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} x^n=0 [/mm] heisst nur es gibt zu jedem [mm] \epsilon>0 [/mm] ein [mm] N_0 [/mm]  mit [mm] |x^n-0|<\epsilon [/mm] für alle [mm] n>N_0 [/mm]
Gruß leduart

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Grenzwertbildung geo. Reihe: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:35 Do 08.01.2015
Autor: Benbw


> Hallo
>    [mm]S_n[/mm] = [mm]1+x+x^2+x^3..............x^{n-1}+x^n[/mm]
>   [mm]x*S_n=[/mm] 0 [mm]+x+x^2+x^3+.........x^{n-1}+x^n+x^{n+1}[/mm]

wie kommst du auf die 2. Reihe ?

>  kannst du jetzt die 2 Reihen subtrahieren?

subtrahiert ergibt das [mm] sn-x*sn=1-x^{n+1} [/mm] oder ?

>  dein x<1 wogegen konvergiert dann [mm]x^n[/mm] und bitte schreib  
> NIE [mm]x^{infty}[/mm] oder gar [mm]x^{infty+1}[/mm] das ist einfach Unsinn
>  [mm]\infty[/mm] ist keine Zahl man kann damit nicht rechnen
>  [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} x^n=0[/mm] heisst nur es gibt zu
> jedem [mm]\epsilon>0[/mm] ein [mm]N_0[/mm]  mit [mm]|x^n-0|<\epsilon[/mm] für alle
> [mm]n>N_0[/mm]
>  Gruß leduart

Sofern das richtig sein sollte, wie muss ich nun weiter machen ?



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Grenzwertbildung geo. Reihe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:25 Fr 09.01.2015
Autor: Marcel

Hallo,

> > Hallo
>  >    [mm]S_n[/mm] = [mm]1+x+x^2+x^3..............x^{n-1}+x^n[/mm]
>  >   [mm]x*S_n=[/mm] 0 [mm]+x+x^2+x^3+.........x^{n-1}+x^n+x^{n+1}[/mm]
>  wie kommst du auf die 2. Reihe ?

du meinst die zweite Zeile...

Da ist ein kleiner Verschreiber drin:

    [mm] $S_n=1+\red{x+...+x^n}$ [/mm]

    [mm] $x*S_n=\red{x+...+x^{n}}+x^{n+1}$ [/mm]

>  >  kannst du jetzt die 2 Reihen subtrahieren?
>  subtrahiert ergibt das [mm]sn-x*sn=1-x^{n+1}[/mm] oder ?

Mit den wie oben korrigierten Termen: Ja!

>  >  dein x<1 wogegen konvergiert dann [mm]x^n[/mm] und bitte schreib
>  
> > NIE [mm]x^{infty}[/mm] oder gar [mm]x^{infty+1}[/mm] das ist einfach Unsinn

Das sehe ich anders: Es ist einfach etwas "undefiniertes". Gar nicht so
schlimm fände ich hier etwa

    [mm] $x^\infty:=\lim_{n \to \infty}x^n\,,$ [/mm]

wobei da noch besser

    [mm] $x^\infty:=\lim_{n \to \infty}x^{n+1}$ [/mm]

stehen würde. Aber ansonsten hast Du Recht: Solange man es nicht definiert,
wirkt es unsinnig. Um es mal ein wenig anders zu sagen!

>  >  [mm]\infty[/mm] ist keine Zahl man kann damit nicht rechnen
>  >  [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} x^n=0[/mm] heisst nur es gibt zu
> > jedem [mm]\epsilon>0[/mm] ein [mm]N_0[/mm]  mit [mm]|x^n-0|<\epsilon[/mm] für alle
> > [mm]n>N_0[/mm]
>  >  Gruß leduart
>
> Sofern das richtig sein sollte, wie muss ich nun weiter
> machen ?

Lies' Dir nochmal alle Antworten durch, insbesondere die von Fred. Step by
step ist ja okay, aber wir brauchen nicht alles nochmal zu wiederholen, nur,
weil Du nicht gewillt bist, selbst in alte Antworten nochmal reinzuschauen!

Gruß,
  Marcel

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Grenzwertbildung geo. Reihe: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 02:46 Fr 09.01.2015
Autor: Benbw


> Hallo,
>  
> > > Hallo,
>  >  >  
> > > > [mm]\summe_{i=0}^{\infty} x^i[/mm] =  [mm]\bruch{1}{1-x}[/mm] falls Betrag x
> > > > < 1
>  >  >  >  
> > > > Berechne diesen Grenzwert durch Betrachtung des Grenzwertes
> > > > der Teilsummen. Tipp: Multipliziere die Teilsummen mit
> > > > (1-x) und ermittle den Grenzwert dieser Produkte.
>  >  >  >  Hallo,
>  >  >  >  ich habe ein Problem mit der o.g. Aufgabe.
>  >  >  >  Mein bisheriger Ansatz war:
> > > > [mm]\summe_{i=0}^{\infty} x^i[/mm] = [mm]\bruch{1}{1-x}= 1*(x-0)^i= 1+1x+1x^2+1x^3+...[/mm]
> > >
> > > am besten fängt man eigentlich so an (das steht auch im
> > > Tipp):
>  >  >  
> > > [mm](1-x)*\sum_{k=0}^n x^k=\sum_{k=0}^n x^k -x*\sum_{k=0}^n x^k=\sum_{k=0}^n x^k -\sum_{k=0}^n x^{k+1}=\sum_{k=0}^n x^k -\sum_{k=1}^{n\red{+1}} x^k=x^0+\left(\sum_{k=1}^n x^k -\sum_{k=1}^n x^k\right)-x^{n+1}=... > > Dann hast Du Freds Formel! > > Ist Dir das klar? Da gehen schon einige (elementare) > Rechenregeln ein > (Assoziativität, Kommutativität der Addition bei > ENDLICHEN Summen, ...) > Falls nicht: Frage an der Stelle nach, die Dir unklar ist. > Noch ein Wort: An > einer Stelle habe ich einen sogenannten Indexshift > vorgenommen! > > Gruß, > Marcel \sum_{k=0}^n x^k -\sum_{k=1}^{n\red{+1}} x^k=x^0+\left(\sum_{k=1}^n x^k -\sum_{k=1}^n x^k\right)-x^{n+1}=...\,.[/mm]
>  
> >  

> > Bis dahin kann ich es nachvollziehen allerdings hört es
> > dann beim Indexshift auf.
>
> Okay, also bis
>
> [mm]\sum_{k=0}^n x^k-\sum_{k=0}^n x^{k+1}=:(\*)[/mm]
>  
> ist Dir alles klar. Ich setze mal [mm]m:=k+1\,,[/mm] dann
>  
> [mm](\*)=\sum_{k=0}^n x^k -\sum_{m=1}^{n+1}x^m=...[/mm]
>  
> Ist das noch klar? Ich schreibe weiter:
>  
> [mm]...=(x^0+\red{(x^1+...+x^n)})-(\red{(x^1+x^2+...+x^n)}+x^{n+1})[/mm]
>  
> [mm]=(x^0+(\red{\sum_{k=1}^n x^k}))-(\red{\sum_{m=1}^n x^m})-x^{n+1}[/mm]
>  
> [mm]=1+\underbrace{\left(\red{\sum_{k=1}^n x^k}-\red{\sum_{m=1}^n x^m}\right)}_{=0}-x^{n+1}=1-x^{n+1}[/mm]
>  
> Tipp: Schreibe Dir das, was ich gerechnet habe, erst mal
> speziell für etwa
> [mm]n=3\,[/mm] hin - ich mache jetzt einen Mischmasch zwischen
> *ausschreiben* und
>  Summenformelbenutzung:
>  
> [mm](1-x)\sum_{k=0}^3 x^k=\sum_{k=0}^3 x^k - x*\sum_{k=0}^3 x^k=\sum_{k=0}^3 x^k -\sum_{m=1}^{3+1} x^m[/mm]
>  
> [mm]=(x^0+\red{(x^1+x^2+x^3)})-(\red{(x^1+x^2+x^3)}+x^4)[/mm]
>  
> [mm]=x^0+\left(\sum_{k=1}^3 x^k - \sum_{m=1}^3 x^m\right)- x^{3+1}[/mm]
>  
> [mm]=1-x^{3+1}[/mm]
>  
> Gruß,
>    Marcel

Eben konnte ich deine Rechnung voll und ganz nachvollziehen.
Wenn man [mm] 1-x^{n+1} [/mm] raus hat und den Grenzwert ermittellt für n---> [mm] \infty [/mm] und unter der Berücksichtigung das x<1 sein muss kommt für den Grenzwert als Endergebniss =1 raus oder ?

[mm](\*)=\sum_{k=0}^n x^k -\sum_{m=1}^{n+1}x^m=...[/mm]
Nach deinem Zeilenschift müsste aber bei der zweiten Summe wieder [mm] x^k [/mm] stehen und nicht [mm] x^m [/mm] oder ? Ansonsten würde die Reihe ja mit [mm] x^{1+1} [/mm] beginnen und nicht mit [mm] x^1. [/mm]

Kann ich diesen Indesshift immer anwenden oder nur in speziellen Fällen? Wäre die Aufgabe auch ohne Indexshift zu lösen?




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Grenzwertbildung geo. Reihe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:15 Fr 09.01.2015
Autor: Marcel

Hallo,

> > Hallo,
>  >  
> > > > Hallo,
>  >  >  >  
> > > > > [mm]\summe_{i=0}^{\infty} x^i[/mm] =  [mm]\bruch{1}{1-x}[/mm] falls Betrag x
> > > > > < 1
>  >  >  >  >  
> > > > > Berechne diesen Grenzwert durch Betrachtung des Grenzwertes
> > > > > der Teilsummen. Tipp: Multipliziere die Teilsummen mit
> > > > > (1-x) und ermittle den Grenzwert dieser Produkte.
>  >  >  >  >  Hallo,
>  >  >  >  >  ich habe ein Problem mit der o.g. Aufgabe.
>  >  >  >  >  Mein bisheriger Ansatz war:
> > > > > [mm]\summe_{i=0}^{\infty} x^i[/mm] = [mm]\bruch{1}{1-x}= 1*(x-0)^i= 1+1x+1x^2+1x^3+...[/mm]
> > > >
> > > > am besten fängt man eigentlich so an (das steht auch im
> > > > Tipp):
>  >  >  >  
> > > > [mm](1-x)*\sum_{k=0}^n x^k=\sum_{k=0}^n x^k -x*\sum_{k=0}^n x^k=\sum_{k=0}^n x^k -\sum_{k=0}^n x^{k+1}=\sum_{k=0}^n x^k -\sum_{k=1}^{n\red{+1}} x^k=x^0+\left(\sum_{k=1}^n x^k -\sum_{k=1}^n x^k\right)-x^{n+1}=... > > Dann hast Du Freds Formel! > > Ist Dir das klar? Da gehen schon einige (elementare) > Rechenregeln ein > (Assoziativität, Kommutativität der Addition bei > ENDLICHEN Summen, ...) > Falls nicht: Frage an der Stelle nach, die Dir unklar ist. > Noch ein Wort: An > einer Stelle habe ich einen sogenannten Indexshift > vorgenommen! > > Gruß, > Marcel \sum_{k=0}^n x^k -\sum_{k=1}^{n\red{+1}} x^k=x^0+\left(\sum_{k=1}^n x^k -\sum_{k=1}^n x^k\right)-x^{n+1}=...\,.[/mm]
>  
> >  

> > >  

> > > Bis dahin kann ich es nachvollziehen allerdings hört es
> > > dann beim Indexshift auf.
> >
> > Okay, also bis
> >
> > [mm]\sum_{k=0}^n x^k-\sum_{k=0}^n x^{k+1}=:(\*)[/mm]
>  >  
> > ist Dir alles klar. Ich setze mal [mm]m:=k+1\,,[/mm] dann
>  >  
> > [mm](\*)=\sum_{k=0}^n x^k -\sum_{m=1}^{n+1}x^m=...[/mm]
>  >  
> > Ist das noch klar? Ich schreibe weiter:
>  >  
> >
> [mm]...=(x^0+\red{(x^1+...+x^n)})-(\red{(x^1+x^2+...+x^n)}+x^{n+1})[/mm]
>  >  
> > [mm]=(x^0+(\red{\sum_{k=1}^n x^k}))-(\red{\sum_{m=1}^n x^m})-x^{n+1}[/mm]
>  
> >  

> > [mm]=1+\underbrace{\left(\red{\sum_{k=1}^n x^k}-\red{\sum_{m=1}^n x^m}\right)}_{=0}-x^{n+1}=1-x^{n+1}[/mm]
>  
> >  

> > Tipp: Schreibe Dir das, was ich gerechnet habe, erst mal
> > speziell für etwa
> > [mm]n=3\,[/mm] hin - ich mache jetzt einen Mischmasch zwischen
> > *ausschreiben* und
>  >  Summenformelbenutzung:
>  >  
> > [mm](1-x)\sum_{k=0}^3 x^k=\sum_{k=0}^3 x^k - x*\sum_{k=0}^3 x^k=\sum_{k=0}^3 x^k -\sum_{m=1}^{3+1} x^m[/mm]
>  
> >  

> > [mm]=(x^0+\red{(x^1+x^2+x^3)})-(\red{(x^1+x^2+x^3)}+x^4)[/mm]
>  >  
> > [mm]=x^0+\left(\sum_{k=1}^3 x^k - \sum_{m=1}^3 x^m\right)- x^{3+1}[/mm]
>  
> >  

> > [mm]=1-x^{3+1}[/mm]
>  >  
> > Gruß,
>  >    Marcel
>
> Eben konnte ich deine Rechnung voll und ganz
> nachvollziehen.
>  Wenn man [mm]1-x^{n+1}[/mm] raus hat und den Grenzwert ermittellt
> für n---> [mm]\infty[/mm] und unter der Berücksichtigung das x<1
> sein muss kommt für den Grenzwert als Endergebniss =1 raus
> oder ?

ja, es folgt dann etwa mit folgender Rechnung der GW

    [mm] $\lim_{n \to \infty}\left((1-x)\sum_{k=0}^n x^k\right)=\lim_{n \to \infty}(1-x^{n+1})=(\lim_{n \to \infty}1)-x*\lim_{n \to \infty}x^n=1-x*0=1$ [/mm]

für alle [mm] $x\,$ [/mm] mit $|x| < [mm] 1\,.$ [/mm] Wobei man das auch minimal anders rechnen kann!

> [mm](\*)=\sum_{k=0}^n x^k -\sum_{m=1}^{n+1}x^m=...[/mm]
>  Nach deinem
> Zeilenschift müsste aber bei der zweiten Summe wieder [mm]x^k[/mm]
> stehen und nicht [mm]x^m[/mm] oder ?

Wie kommst Du darauf? [mm] $x^1+x^2+...+x^n$ [/mm] kann ich schreiben als

    [mm] $\sum_{m=1}^n x^m$ [/mm]

oder als

    [mm] $\sum_{k=1}^n x^k$ [/mm]

oder als

    [mm] $\sum_{\ell=1}^n x^\ell$ [/mm]

oder als

    [mm] $\sum_{MickyMaus=1}^n x^{MickyMaus}\,.$ [/mm]

Die Laufvariable ist doch quasi bedeutungslos, man sollte nur etwa nicht
eine Laufvariable wählen, die schon anderweitig (etwa als Konstante)
verwendet wird.

Übertrieben finde ich zwar, dass jemand sagt:

    [mm] "$\sum_{i=1}^n x^i$ [/mm]

darf ich nicht schreiben, weil ja i die imaginäre Einheit ist!"

Denn hier ist doch klar, dass man nicht die imaginäre Einheit *laufen* läßt. Aber
wenn jemand schreibt: "Sei [mm] $n:=10\,.$ [/mm] Wir betrachten die Summe

    [mm] $\sum_{n=1}^n x^n$" [/mm]

so steht da echt Quark!

Auch

    [mm] $\sum_{n=1}^{10} x^n$ [/mm]

wäre nicht besser - man müßte raten, dass vermutlich

    [mm] $x^1+x^2+...x^{10}$ [/mm]

gemeint wäre, aber es könnte auch

    [mm] $x^{10}+...+x^{10}=10*x^{10}$ [/mm]

gemeint sein.

> Ansonsten würde die Reihe ja
> mit [mm]x^{1+1}[/mm] beginnen und nicht mit [mm]x^1.[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)



Nein. Beachte, dass - wenn ich es mal mit Schleifen aus der Informatik
vergleichen darf - der Laufindex immer nur "bzgl. der Schleife, die das Summenzeichen
definiert", aufzufassen ist.

Mit $m=k+1$ ist also

    $\sum_{k=1}^3 x^k=x^1+x^2+x^3=\sum_{m=2}^4 x^{m-1}$

und aber auch

    $\sum_{m=1}^3 x^m=x^1+x^2+x^3=\sum_{k=0}^2 x^{k+1}$

Was anderes wäre es, wenn ich $m=k+1$ gesetzt und

    $\sum_{k=1}^3 (x^k-x^m)$

geschrieben hätte - hier wäre


    $\sum_{k=1}^3 (x^k-x^m)=\sum_{k=1}^3 (x^k-x^{k+1})=...=x^1-x^4$

Um's nochmal deutlich zu machen: In

    $...=1+\underbrace{\left(\red{\sum_{k=1}^n x^k}-\red{\sum_{m=1}^n x^m}\right)}_{=0}-x^{n+1}=1-x^{n+1} $

ist

    $\red{\sum_{k=1}^n x^k}-\red{\sum_{m=1}^n x^m}$
    
zu lesen als

    $\red{\left(\sum_{k=1}^n x^k\right)-\red{\left(\sum_{m=1}^n x^m\right)}$

Du kannst das auch schreiben als

    $\red{\left(\sum_{k=1}^n x^k\right)-\red{\left(\sum_{p=1}^n x^p\right)}$

oder durchaus auch einfach als

    $\red{\left(\sum_{k=1}^n x^k\right)-\red{\left(\sum_{k=1}^n x^k\right)}$

> Kann ich diesen Indesshift immer anwenden oder nur in
> speziellen Fällen? Wäre die Aufgabe auch ohne Indexshift
> zu lösen?

Zur letzten Frage: Die Rechnung muss halt stimmen und (jeder Schritt)
nachvollziehbar sein.

Zum Indexshift bzw. nennen wir das mal *Indextransformation*:
Wenn Du etwa eine endliche Menge $M \subseteq \IN_0$ hast, so geht es ja nur
darum, dass Du

    $\sum_{k \in M} a_k$

irgendwie hinschreibst.

Wenn Du etwa

    $a_1+a_3+a_5+...+a_{17}=\sum_{k=1}^9 a_{2k-1}$

anders hinschreiben willst, so kannst Du etwa $m=m(k):=k-1$ setzen. Dann ist

    $m \colon \{1,...,9\} \to \{0,...,8\}$

bijektiv und

    $a_1+a_3+a_5+...+a_{17}=\sum_{m=0}^8 a_{2m+1}\,.$

Du siehst halt: Das Feld der Indizes

    $(2k-1)_{k=1}^9=(1,3,5,7,9,11,13,15,17)$

ist sogar identisch mit dem Feld der Indizes

    $(2m+1)_{m=0}^n=(1,3,5,7,9,11,13,15,17)$

I.A. würde es bei endlichen Summen (=Summen mit endlich vielen
Summanden) reichen, wenn wir "nach der Indextransformation"
ein Indexfeld sehen, welches eine Permutation des Ausgangs-Indexfeldes
ist - jedenfalls, sofern die Addition auch kommutativ und assoziativ ist.

Beispiel:

    $\sum_{k=1}^3 x_{2k-1}=x_1+x_3+x_5$

ist das gleiche wie

    $\sum_{m=1}^3 x_{7-2m}=x_5+x_3+x_1$

Das sieht man, aber mit obiger Argumentation

    $(2k-1)_{k=1}^3=(1,3,5)$

ist das Ausgangsindexfeld, und

    $(7-2m)_{m=1}^3=(5,3,1)$

ist eine Permutation davon.

Natürlich könntest Du auch

    $(1,3,5)$

in

    $(3,5,1)$

umsortieren wollen. Wichtig ist halt bei den "Indextransformation":
Nach der Transformation hat man eine Permutation des Ausgangsindexfeldes.
Das hat den Sinn: Kein Index geht verloren und keiner kommt plötzlich
häufiger vor bzw. es kommen auch keine Indizes hinzu.
(Nur genau die Summanden, die vorher vorhanden waren, tauchen einmal
nach der Indextransformation auf, und zwar alle!)

So macht i.a.

    $\sum_{k=1}^4 x_k=\sum_{m=1}^3 x_{m^2}$

keinen Sinn, da

    $(m^2)_{m=1}^4=(1,4,9,16)$

wohl keine Permutation von

    $(k)_{k=1}^4=(1,2,3,4)$

ist.

Allerdings dürfte man

    $\sum_{k=0}^1 x_k=\sum_{m=-1}^0 x_{m^2}$

schreiben, wenn man denn wollte, sofern Kommutativität vorliegt. Der Grund:

    $(m^2)_{m=-1}^0=(1,0)$

ist eine Permutation des Ausgangsindexfeldes

    $(k)_{k=0}^1=(0,1)\,.$

Gruß,
  Marcel

Bezug
                                                
Bezug
Grenzwertbildung geo. Reihe: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:10 Fr 09.01.2015
Autor: Benbw

Ok, verstanden. Dann kann ich die Aufgabe endlich abschließen.
Danke an alle für die Mühe.

Viele Grüße
Benbw


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