matheraum.de
Raum für Mathematik
Offene Informations- und Nachhilfegemeinschaft

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Mathe
  Status Schulmathe
    Status Primarstufe
    Status Mathe Klassen 5-7
    Status Mathe Klassen 8-10
    Status Oberstufenmathe
    Status Mathe-Wettbewerbe
    Status Sonstiges
  Status Hochschulmathe
    Status Uni-Analysis
    Status Uni-Lin. Algebra
    Status Algebra+Zahlentheo.
    Status Diskrete Mathematik
    Status Fachdidaktik
    Status Finanz+Versicherung
    Status Logik+Mengenlehre
    Status Numerik
    Status Uni-Stochastik
    Status Topologie+Geometrie
    Status Uni-Sonstiges
  Status Mathe-Vorkurse
    Status Organisatorisches
    Status Schule
    Status Universität
  Status Mathe-Software
    Status Derive
    Status DynaGeo
    Status FunkyPlot
    Status GeoGebra
    Status LaTeX
    Status Maple
    Status MathCad
    Status Mathematica
    Status Matlab
    Status Maxima
    Status MuPad
    Status Taschenrechner

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
StartseiteMatheForenDifferentiationGrenzwerte II
Foren für weitere Schulfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Philosophie • Religion • Kunst • Musik • Sport • Pädagogik
Forum "Differentiation" - Grenzwerte II
Grenzwerte II < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Differentiation"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Grenzwerte II: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:35 Di 07.07.2009
Autor: Achilles2084

Aufgabe
Berechne den Grenzwert

[mm] \limes_{x\rightarrow\o} (a^{x}+b^{x})^{\bruch{1}{x}} [/mm]

Sorry Loddar,

jetzt wär ich für Tipps dankbar :)

        
Bezug
Grenzwerte II: Tipp
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:40 Di 07.07.2009
Autor: Loddar

Hallo Achilles!


Welcher Grenzwert soll hier berechnet werden? Wirklich für [mm] $x\rightarrow [/mm] 0$  , und nicht für [mm] $x\rightarrow \infty$ [/mm] ?

Im 2. Falle würde ich ohne Beschränkung der Allgemeinheit (o.B.d.A.) annehmen, dass $b \ > \ a$ und den Term [mm] $b^x$ [/mm] ausklammern sowie aus der Wurzel ziehen.


Gruß
Loddar


Bezug
                
Bezug
Grenzwerte II: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:43 Di 07.07.2009
Autor: Achilles2084

also es steht da [mm] \limes_{x\rightarrow\ 0}. [/mm] Geht das denn?

Bezug
                        
Bezug
Grenzwerte II: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 07:07 Mi 08.07.2009
Autor: weightgainer

Klar geht das, aber es ist nicht so wahnsinnig spannend - weder die Analyse noch das Ergebnis:
Zunächst müssen a, b [mm] \ge [/mm] 0 sein, damit dieser Ausdruck überhaupt sinnvoll zu analysieren ist.

Dann kannst du eine Fallunterscheidung machen:
1. a=0 und b=0: einfach
2. Einer der beiden =0 (welcher ist ja egal): einfach
3. Beide sind >0: Ich mache es nicht formal: Wenn du eine Zahl nimmst und mit einem Exponenten potenzierst, der betragsmäßig immer kleiner wird und schließlich 0 wird - was kommt dabei raus? Etwas, was in der Nähe von 1 liegt. Die Summe der beiden [mm] a^x +b^x [/mm] ist somit größer als 1 (ab einem bestimmten x, das von a und b abhängt) und wenn du das mit einer "unendlich großen" Zahl [mm] \bruch{1}{x} [/mm] potenzierst (was zwar von der Notation her eine Wurzel ist, aber durch x [mm] \rightarrow [/mm] 0 stehen ja dann doch sehr große Exponenten da), dann gibt es da keinen Grenzwert.

Deswegen macht es auch mehr Sinn, den Grenzwert für x [mm] \rightarrow \infty [/mm] zu untersuchen. Da gibt es nämlich das Spannungsverhältnis, dass einerseits das [mm] a^x [/mm] und [mm] b^x [/mm] immer größer wird (für entsprechende a, b) und andererseits die immer heftiger zu Buche schlagende Wurzel [mm] (...)^{\bruch{1}{x}} [/mm] eigentlich alles in die Nähe der 1 bringen müsste. Da kannst du das dann nicht mehr so einfach argumentieren wie beim Grenzwert gegen 0, sondern z.B. den Tipp befolgen. Vielleicht hast du (1 + [mm] \bruch{1}{n})^n [/mm] schon einmal untersucht und kannst daher Methoden nutzen.

Wenn du erstmal ein Gefühl dafür bekommen willst, was bei sowas passiert, kannst du das z.B. mit einer Tabellenkalkulation machen: a, b in zwei Spalten (verschiedene Kombinationen), den Term in eine dritte und vierte Spalte (einmal für x [mm] \rightarrow [/mm] 0, einmal für x [mm] \rightarrow \infty), [/mm] irgendwo noch ein sehr großes x und ein x nahe bei 0 hingeschrieben und dann einfach mal testen, was denn so passiert. Wenn man das mal gesehen hat, dann glaubt man das eher :-). [Anmerkung: ich habe das gerade mal gemacht, für Excel ist ein "sehr großes" x schon bei ca. 200, weil die Zahlen sonst zu groß werden, und das kleine muss auch nicht kleiner als 0,001 sein.]

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Differentiation"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.matheraum.de
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]