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Gruppe Beweis: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:37 Fr 13.04.2018
Autor: Mandy_90

Aufgabe
Sei (G,*) eine Halbgruppe.
(a) Es gelte
(RN) Es gibt ein e [mm] \in [/mm] G mit x*e=x für alle x [mm] \in [/mm] G (e ist rechtsneutrales Element).
(RI) Für alle x [mm] \in [/mm] G gibt es ein y [mm] \in [/mm] G mit x*y=e (y ist rechtsinverses Element).
Zeigen Sie dass G eine Gruppe ist.
(b) Geben Sie ein Beispiel an, dass aus (RN) und (LI) Für alle x [mm] \in [/mm] G gibt es ein y [mm] \in [/mm] G mit y*x=e (y ist linksinverses Element) noch nicht folgt, dass G eine Gruppe ist.
(c) Nun sei G endlich und es gelten die Kürzungsregeln:
(K1) Aus x*y=x*z folgt y=z;
(K2) Aus y*x=z*x folgt y=z für alle x,y,z [mm] \in [/mm] G.
Zeigen Sie, dass G eine Gruppe ist.
(d) Nun sei G ein Monoid mit Neutralelement e.  Für alle x [mm] \in [/mm] G gebe es ein Element y [mm] \in [/mm] G mit x*y=e oder y*x=e. Zeigen Sie, dass G eine Gruppe ist.

Hallo :-)

Ich beschäftige mich grad mit der Aufgabe, aber komme leider nicht weiter.

(a)
Da G eine Halbgruppe ist, gilt das Assoziativgesetz schonmal. D.h. zu zeigen sind noch
1. [mm] \exists [/mm] e [mm] \in [/mm] G sodass für alle x [mm] \in [/mm] G gilt: x*e=e*x=x
2. Für alle x [mm] \in [/mm] G existiert ein y [mm] \in [/mm] G sodass: x*y=y*x=e.

zu 2. : Wenn 1. gezeigt ist,kann man sagen: Es existiert ein y [mm] \in [/mm] G,sodass x*y=e. Das heißt y*x=y*(e*x)=(y*e)*x=y*x=e, da y rechtsneutral ist.

zu 1.: Wir wissen, dass x*e=x. Also ist noch zu zeigen, dass e*x=x, aber hier komme ich grad nicht weiter.

(b)
Hab überhaupt keine Idee für so ein Beispiel

(c)
Das Assoziativgesetz gilt ja wieder da G eine Halbgruppe ist. Zu zeigen ist wieder
1. [mm] \exists [/mm] e [mm] \in [/mm] G sodass für alle x [mm] \in [/mm] G gilt: x*e=e*x=x
2. Für alle x [mm] \in [/mm] G existiert ein y [mm] \in [/mm] G sodass: x*y=y*x=e.

Könnt ihr mir hier einen Ansatz geben ? Weiß grad nicht wie ich anfangen soll.

(d)
Da G ein Monoid ist, gilt das Assoziativgesetz und das neutrale Element existiert auch. Weiterhin gilt nach Voraussetzung, dass es für alle x [mm] \in [/mm] G ein y [mm] \in [/mm] G gibt mit x*y=e oder y*x=e.
Zu zeigen ist also nur noch, dass x*y=y*x=e ist.
Angenommen es existiert für ein x [mm] \in [/mm] G ein y [mm] \in [/mm] G sodass: x*y=e.
Aber wie geht es jetzt weiter ?

Vielen Dank für die Hilfe.

Gruß
Mandy_90

        
Bezug
Gruppe Beweis: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:20 Sa 14.04.2018
Autor: hippias


> Sei (G,*) eine Halbgruppe.
>  (a) Es gelte
>  (RN) Es gibt ein e [mm]\in[/mm] G mit x*e=x für alle x [mm]\in[/mm] G (e
> ist rechtsneutrales Element).
>  (RI) Für alle x [mm]\in[/mm] G gibt es ein y [mm]\in[/mm] G mit x*y=e (y
> ist rechtsinverses Element).
> Zeigen Sie dass G eine Gruppe ist.
> (b) Geben Sie ein Beispiel an, dass aus (RN) und (LI) Für
> alle x [mm]\in[/mm] G gibt es ein y [mm]\in[/mm] G mit y*x=e (y ist
> linksinverses Element) noch nicht folgt, dass G eine Gruppe
> ist.
> (c) Nun sei G endlich und es gelten die Kürzungsregeln:
>  (K1) Aus x*y=x*z folgt y=z;
>  (K2) Aus y*x=z*x folgt y=z für alle x,y,z [mm]\in[/mm] G.
>  Zeigen Sie, dass G eine Gruppe ist.
> (d) Nun sei G ein Monoid mit Neutralelement e.  Für alle x
> [mm]\in[/mm] G gebe es ein Element y [mm]\in[/mm] G mit x*y=e oder y*x=e.
> Zeigen Sie, dass G eine Gruppe ist.
>  Hallo :-)
>
> Ich beschäftige mich grad mit der Aufgabe, aber komme
> leider nicht weiter.
>


> (a)
>  Da G eine Halbgruppe ist, gilt das Assoziativgesetz
> schonmal. D.h. zu zeigen sind noch
> 1. [mm]\exists[/mm] e [mm]\in[/mm] G sodass für alle x [mm]\in[/mm] G gilt:
> x*e=e*x=x
>  2. Für alle x [mm]\in[/mm] G existiert ein y [mm]\in[/mm] G sodass:
> x*y=y*x=e.

Zeige, dass $y$ auch linksinvers ist, indem Du z.B. ein rechtsinverses von $y$ ins Spiel bringst. Dann folgt recht leicht, dass $e$ auch linksneutral ist.

>  
> zu 2. : Wenn 1. gezeigt ist,kann man sagen: Es existiert
> ein y [mm]\in[/mm] G,sodass x*y=e. Das heißt
> y*x=y*(e*x)=(y*e)*x=y*x=e, da y rechtsneutral ist.
>  
> zu 1.: Wir wissen, dass x*e=x. Also ist noch zu zeigen,
> dass e*x=x, aber hier komme ich grad nicht weiter.
>
> (b)
>  Hab überhaupt keine Idee für so ein Beispiel

Suche weiter.

>  
> (c)
> Das Assoziativgesetz gilt ja wieder da G eine Halbgruppe
> ist. Zu zeigen ist wieder
> 1. [mm]\exists[/mm] e [mm]\in[/mm] G sodass für alle x [mm]\in[/mm] G gilt:
> x*e=e*x=x
>  2. Für alle x [mm]\in[/mm] G existiert ein y [mm]\in[/mm] G sodass:
> x*y=y*x=e.
>  
> Könnt ihr mir hier einen Ansatz geben ? Weiß grad nicht
> wie ich anfangen soll.

Für [mm] $x\in [/mm] G$ betrachte die Abbildungen [mm] $\rho_{x}, \lambda_{x}:G\to [/mm] G$ mit [mm] $g^{\rho_{x}}= [/mm] gx$ bzw. [mm] $g^{\lambda_{x}}= [/mm] xg$. Welche Eigenschaften haben diese beiden Funktionen?

>  
> (d)
> Da G ein Monoid ist, gilt das Assoziativgesetz und das
> neutrale Element existiert auch. Weiterhin gilt nach
> Voraussetzung, dass es für alle x [mm]\in[/mm] G ein y [mm]\in[/mm] G gibt
> mit x*y=e oder y*x=e.
> Zu zeigen ist also nur noch, dass x*y=y*x=e ist.
> Angenommen es existiert für ein x [mm]\in[/mm] G ein y [mm]\in[/mm] G
> sodass: x*y=e.
> Aber wie geht es jetzt weiter ?
>  
> Vielen Dank für die Hilfe.
>  
> Gruß
>  Mandy_90


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