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| Aufgabe | 1. Sei N ein Normalteiler von G und sei x ∈ N. Zeigen Sie, dass dann die Menge [mm] x^{G }eine [/mm] Teilmenge von N ist!
2. Zeigen Sie, dass y ∈ G genau dann in Z(G) liegt, wenn [mm] y^{G} [/mm] = {y} ist.
3. Zeigen Sie, dass G abelsch ist genau dann, wenn alle Konjugiertenklassen einelementig sind. |
Idee.Zu 1. Also das [mm] x^{G} \subset [/mm] N ist, ist eigentlich klar, denn [mm] x^{G} [/mm] : = { [mm] x^{g} [/mm] | g [mm] \in [/mm] G} und N ist ein Normalteiler d.h. f.j. g [mm] \in [/mm] G und n [mm] \in [/mm] N ist [mm] g^{-1} [/mm] * n*g [mm] \in [/mm] N.
Idee. Zu 2. wenn [mm] y^{G} [/mm] = {y} gilt, dann folgt ja mit 3. dass G abelsch ist , demzufolge ist y [mm] \in [/mm] Z (G) . aber wie zeigt man die 2. Richtung?
Meine Frage nun wie kann man die 3 Eigenschaften ordentlich zeigen?
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> 1. Sei N ein Normalteiler von G und sei x ∈ N. Zeigen
> Sie, dass dann die Menge [mm]x^{G }eine[/mm] Teilmenge von N ist!
> Idee.Zu 1. Also das [mm]x^{G} \subset[/mm] N ist, ist eigentlich
> klar, denn [mm]x^{G}[/mm] : = { [mm] x^{g}| [/mm] g [mm] \in [/mm] G}
Hallo,
ich verstehe nicht, was für [mm] x\in [/mm] N und [mm] g\in [/mm] G der Ausdruck [mm] x^g [/mm] bedeuten soll.
Wie ist denn das definiert?
LG Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:21 Mi 21.10.2015 | | Autor: | statler |
> Hallo,
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> ich verstehe nicht, was für [mm]x\in[/mm] N und [mm]g\in[/mm] G der Ausdruck
> [mm]x^g[/mm] bedeuten soll.
> Wie ist denn das definiert?
>
> LG Angela
Guten Morgen Angela,
aber das kaufe ich dir nicht ab! In Kreisen der 'Kohomologen' ist die Bezeichnung [mm] A^{G} [/mm] = [mm] $\{a \in A | \sigma a = a$ für alle $\sigma \in G \}$ [/mm] für die Fixgruppe von A durchaus üblich. Jetzt muß man noch wissen, wie hier G auf A operiert.
Viele Grüße aus HH 
Dieter
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:24 Mi 21.10.2015 | | Autor: | hippias |
Es liegt hier keine Fixmenge vor, sondern [mm] $x^{G}= \{g^{-1}xg|g\in G\}$. [/mm] Dies ist der Orbit von $x$ bezueglich Konjugation in der Gruppe $G$.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:21 Mi 21.10.2015 | | Autor: | hippias |
zu 1) Sei [mm] $a\in x^{G}$. [/mm] Zu zeigen ist [mm] $a\in [/mm] N$. Nach Definition existiert ..., sodass [mm] $a=\ldots$. [/mm] Da [mm] $\ldots$ [/mm] und [mm] $\ldots$ [/mm] vorausgesetzt sind, folgt [mm] $\ldots\in \ldots$.
[/mm]
zu 2) Achtung: in 3) wird davon gesprochen, dass jede Konjugationsklasse die Ordnung $1$ hat. Du jedoch hast ersteinmal nur ein [mm] $y\in [/mm] G$ mit dieser Eigenschaft. Da die Voraussetzungen nicht erfuellt sind, ist der Verweis auf 3) nicht zulaessig.
Fuer den Beweis von 2) und 3) wuerde ich mir auf jeden Fall die Definition des Zentrums ansehen.
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Okay vielen Dank. Ich habe nun die 1 und 2 gezeigt. Bei 3 hängt es nun an der zweiten Richtung. Also ich hab gezeigt, dass wenn g abelsch ist konjugationsklassen einelementig sind, aber bei der zweiten Richtung fehlt mir jeglicher Ansatz . Habt ihr eine Idee wie ich es machen könnte?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 07:24 Do 22.10.2015 | | Autor: | fred97 |
> Okay vielen Dank. Ich habe nun die 1 und 2 gezeigt. Bei 3
> hängt es nun an der zweiten Richtung. Also ich hab
> gezeigt, dass wenn g abelsch ist konjugationsklassen
> einelementig sind, aber bei der zweiten Richtung fehlt mir
> jeglicher Ansatz . Habt ihr eine Idee wie ich es machen
> könnte?
Für $x [mm] \in [/mm] G$ sieht die zugeh. Konjugationsklasse doch so aus:
$ [mm] \{g^{-1}xg|g\in G\} [/mm] $.
Mit $g=e$ folgt: $x [mm] \in \{g^{-1}xg|g\in G\} [/mm] $.
Sind nun alle Konjugationsklassen einelementig, so haben wir:
(*) $ [mm] \{g^{-1}xg|g\in G\} =\{x\}$ [/mm] für jedes $x [mm] \in [/mm] G$.
Sei nun $x [mm] \in [/mm] G$. Ist nun $g$ ein weiteres Element von $G$, so folgt aus (*):
[mm] $x=g^{-1}xg$.
[/mm]
Nun solltest Du sehen, dass
$gx=xg$
folgt.
Da $x$ und $g$ beliebig in $G$ waren, ist $G$ abelsch.
FRED
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