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Hauptachsen bestimmen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:59 Fr 03.07.2009
Autor: T_sleeper

Aufgabe
Man bestimme die Hauptachsen für die reelle quadratische Form
[mm] 3X^2+2Y^2+Z^2-4XY-4YZ. [/mm]

Hallo,

ich hab von dem ganzen Thema nur sehr wenig Erfahrung. Ich versuche mich trotzdem mal an einem Ansatz.
Ich nenne meine quadratische Form q(x), wobei x=(X,Y,Z) ist.
Ich muss doch irgendeine [mm] 3\times [/mm] 3 Matrix S finden, sodass
[mm] x^{t}Sx=q(x) [/mm] gilt.
Ich habs mal in einen Rechner eingegeben und der spuckt mir die Matrix
[mm] S=$\begin{pmatrix}3 & -2 & 0\\ -2 & 2 & -2\\ 0 & -2 & 1\end{pmatrix}$ [/mm]   aus.

Wenn man das ganze ausmultipliziert kommt auch meine Anfangsform raus.

Sind jetzt die Spalten meiner Matrix bereits die Hauptachsen, oder muss ich noch etwas weiteres berechnen?

Und die wichtigste Frage: Wie kann ich per Hand diese Matrix P berechnen, wie muss man da vorgehen?

Gruß Sleeper

        
Bezug
Hauptachsen bestimmen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 03:22 Sa 04.07.2009
Autor: MathePower

Hallo T_sleeper,

> Man bestimme die Hauptachsen für die reelle quadratische
> Form
>  [mm]3X^2+2Y^2+Z^2-4XY-4YZ.[/mm]
>  Hallo,
>  
> ich hab von dem ganzen Thema nur sehr wenig Erfahrung. Ich
> versuche mich trotzdem mal an einem Ansatz.
>  Ich nenne meine quadratische Form q(x), wobei x=(X,Y,Z)
> ist.
>  Ich muss doch irgendeine [mm]3\times[/mm] 3 Matrix S finden,
> sodass
>  [mm]x^{t}Sx=q(x)[/mm] gilt.
>  Ich habs mal in einen Rechner eingegeben und der spuckt
> mir die Matrix
>  [mm]S=$\begin{pmatrix}3 & -2 & 0\\ -2 & 2 & -2\\ 0 & -2 & 1\end{pmatrix}$[/mm]
>   aus.
>  
> Wenn man das ganze ausmultipliziert kommt auch meine
> Anfangsform raus.
>  
> Sind jetzt die Spalten meiner Matrix bereits die
> Hauptachsen, oder muss ich noch etwas weiteres berechnen?


Um auf die Hauptachsen zu kommen,
mußt Du die Eigenwerte der Matrix S berechnen.


>  
> Und die wichtigste Frage: Wie kann ich per Hand diese
> Matrix P berechnen, wie muss man da vorgehen?


Nun, für die allgemeine quadratische Form in 3 Variablen gilt:

[mm]\summe_{i=1}^{3}\summe_{j=1}^{3}a_{ij}*x_{i}x_{j}+\summe_{i=1}^{3}a_{i4}*x_{i}+a_{44}=0[/mm]

, wobei hier jetzt [mm]x_{1}:=X, \ x_{2}:=Y, \ x_{3}:=Z[/mm] ist.

Den Ausdruck

[mm]\summe_{i=1}^{3}\summe_{j=1}^{3}a_{ij}*x_{i}x_{j}[/mm]

kann man auch in der Matrizenschreibweise schreiben:

[mm]\pmat{x_{1} & x_{2} & x_{3}}*S*\pmat{x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3}} [/mm]

,wobei dann die Matrix S symmetrisch sein muß, d.h. [mm]a_{ij}=a_{ji}, i \not= j[/mm]

Dann läßt sich dieser Ausdruck auch so schreiben:

[mm]\summe_{i=1}^{3}a_{ii}*x_{i}^{2}+2*\summe_{i=1}^{3}\summe_{j=i+1}^{3}a_{ij}*x_{i}x_{j}[/mm]

Und die Matrix S ergibt sich dann zu:

[mm]S=\pmat{a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{12} & a_{22} & a_{23} \\ a_{13} & a_{23} & a_{33}}[/mm]

Diese Form der Matrix hat auch Dein Rechner ausgespuckt.


>  
> Gruß Sleeper  


Gruß
MathePower

Bezug
                
Bezug
Hauptachsen bestimmen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:57 So 05.07.2009
Autor: T_sleeper

Ok gut. Also wenn ich das richtig sehe, berechne ich Eigenwerte und Eigenvektoren, bastele mir daraus eine Orthogonalmatrix U, sodass [mm] U^{t}SU=D, [/mm] wobei D Diagonalmatrix ist. Und dann berechne ich [mm] x^{t}Dx [/mm] und habe dann eine quadratische Form ohne gemischte Teile XY oder YZ, oder?
Was genau sind davon jetzt die Hauptachsen?

Bezug
                        
Bezug
Hauptachsen bestimmen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:48 So 05.07.2009
Autor: MathePower

Hallo T_sleeper,

> Ok gut. Also wenn ich das richtig sehe, berechne ich
> Eigenwerte und Eigenvektoren, bastele mir daraus eine
> Orthogonalmatrix U, sodass [mm]U^{t}SU=D,[/mm] wobei D
> Diagonalmatrix ist. Und dann berechne ich [mm]x^{t}Dx[/mm] und habe
> dann eine quadratische Form ohne gemischte Teile XY oder
> YZ, oder?

So isses.


>  Was genau sind davon jetzt die Hauptachsen?


Nun die Hauptachsen sind die Eigenvektoren zum entsprechenden Eigenwert.


Gruß
MathePower

Bezug
                                
Bezug
Hauptachsen bestimmen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:10 So 05.07.2009
Autor: T_sleeper


> Nun die Hauptachsen sind die Eigenvektoren zum
> entsprechenden Eigenwert.
>  
>
> Gruß
>  MathePower

Achso, ja dann brauche ich die Matrix U ja garnicht berechnen, sondern nur Eigenvektoren von S, oder?
Sind nicht vielmehr die Vektoren der Orthonormalbasis aus den Eigenvektoren die Hauptachsen? Also die Eigenvektoren noch normieren?

Bezug
                                        
Bezug
Hauptachsen bestimmen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:30 So 05.07.2009
Autor: MathePower

Hallo T_sleeper.

> > Nun die Hauptachsen sind die Eigenvektoren zum
> > entsprechenden Eigenwert.
>  >  
> >
> > Gruß
>  >  MathePower
>
> Achso, ja dann brauche ich die Matrix U ja garnicht
> berechnen, sondern nur Eigenvektoren von S, oder?
>  Sind nicht vielmehr die Vektoren der Orthonormalbasis aus
> den Eigenvektoren die Hauptachsen? Also die Eigenvektoren
> noch normieren?  

Jo, die Eigenvektoren sind noch zu normieren.

Wenn Du die quadratische Gleichung auf Diagonalgestalt bringen,
willst, dann sind im Prinzip nur die Eigenwerte der Matrix S nötig,

Bist auch an der Transformation, die die quadratische Gleichung auf
Diagonalgestallt bringt, interessiert, dann mußt Du auch die Eigenvektoren
zum jeweiligen Eigenwert berechnen.


Gruß
MathePower

Bezug
                                                
Bezug
Hauptachsen bestimmen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:41 So 05.07.2009
Autor: T_sleeper


> Wenn Du die quadratische Gleichung auf Diagonalgestalt
> bringen,
>  willst, dann sind im Prinzip nur die Eigenwerte der Matrix
> S nötig,

Ja daraus besteht die Diagonalmatrix.

>  
> Bist auch an der Transformation, die die quadratische
> Gleichung auf
> Diagonalgestallt bringt, interessiert, dann mußt Du auch
> die Eigenvektoren
>  zum jeweiligen Eigenwert berechnen.
>  

Nur um es nochmal klarzustellen, die Aufgabe verlangt ja nur die Bestimmung der Hauptachsen, und das sind jetzt die normierten Eigenvektoren, also die Spalten meiner Diagonalmatrix?

>
> Gruß
>  MathePower


Bezug
                                                        
Bezug
Hauptachsen bestimmen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:49 So 05.07.2009
Autor: MathePower

Hallo T_sleeper,

> > Wenn Du die quadratische Gleichung auf Diagonalgestalt
> > bringen,
>  >  willst, dann sind im Prinzip nur die Eigenwerte der
> Matrix
> > S nötig,
>  
> Ja daraus besteht die Diagonalmatrix.
>  
> >  

> > Bist auch an der Transformation, die die quadratische
> > Gleichung auf
> > Diagonalgestallt bringt, interessiert, dann mußt Du auch
> > die Eigenvektoren
>  >  zum jeweiligen Eigenwert berechnen.
>  >  
>
> Nur um es nochmal klarzustellen, die Aufgabe verlangt ja
> nur die Bestimmung der Hauptachsen, und das sind jetzt die
> normierten Eigenvektoren, also die Spalten meiner
> Diagonalmatrix?
>  


Ja.


Gruß
MathePower

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Lineare Algebra - Matrizen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


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