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Forum "komplexe Zahlen" - Herleitunf Formel
Herleitunf Formel < komplexe Zahlen < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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Herleitunf Formel: Herleitunf Formel bzgl i
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 00:13 Mi 06.12.2017
Autor: sancho1980

Hallo

ich lese gerade eine Gleichung und versuche,sie mir herzuleiten, stehe aber leider auf dem Schlauch:

[mm] \bruch{1}{x + iy} [/mm] = [mm] \bruch{x}{x^2 + y^2} [/mm] + [mm] i\bruch{-y}{x^2 + y^2} [/mm]

Ich gehe aus von [mm] \bruch{1}{x + iy} [/mm] und komme bis

[mm] \bruch{x + iy}{x^2 + 2ixy - y^2} [/mm] (soweit richtig?)

Wie geht's dann weiter?

Lang lang ist's her ...

Gruß und danke

Martin

        
Bezug
Herleitunf Formel: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 05:32 Mi 06.12.2017
Autor: fred97


> Hallo
>  
> ich lese gerade eine Gleichung und versuche,sie mir
> herzuleiten, stehe aber leider auf dem Schlauch:
>  
> [mm]\bruch{1}{x + iy}[/mm] = [mm]\bruch{x}{x^2 + y^2}[/mm] + [mm]i\bruch{-y}{x^2 + y^2}[/mm]
>  
> Ich gehe aus von [mm]\bruch{1}{x + iy}[/mm] und komme bis
>  
> [mm]\bruch{x + iy}{x^2 + 2ixy - y^2}[/mm] (soweit richtig?)


Ja, richtig ist es,bringt aber nix


Nicht  mit x+iy erweitern,  sondern mit x-iy.

>  
> Wie geht's dann weiter?
>  
> Lang lang ist's her ...
>  
> Gruß und danke
>  
> Martin


Bezug
                
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Herleitunf Formel: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 08:05 Mi 06.12.2017
Autor: sancho1980

Ok danke, jetzt klappt's.
Kannst du mir sagen, nach welchem Kriterium du gehst, also wie man darauf kommt, womit man erweitern muss? Ist das Intuition?

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Bezug
Herleitunf Formel: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:14 Mi 06.12.2017
Autor: Steffi21

Hallo, es geht darum, dass der Nenner rational wird, also rechnest Du

(x+iy)*(x-iy)

(x-iy) ist die konjugiert komplexe Zahl zu (x+iy)

Steffi

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Herleitunf Formel: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 08:40 Mi 06.12.2017
Autor: Al-Chwarizmi


> Hallo, es geht darum, dass der Nenner rational wird, ...


Hallo Steffi

hier geht es darum, dass der Nenner reell (gar nicht
unbedingt auch rational) wird !

LG ,   Al-Chw.



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Herleitunf Formel: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 09:01 Mi 06.12.2017
Autor: Steffi21

Danke Al-Chwarizmi für den Hinweis, ich meinte natürlich reell, Steffi

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Herleitunf Formel: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:14 Mi 06.12.2017
Autor: fred97


> Ok danke, jetzt klappt's.
>  Kannst du mir sagen, nach welchem Kriterium du gehst, also
> wie man darauf kommt, womit man erweitern muss? Ist das
> Intuition?

Nein. Das ist in der mathematik "Folklore". Ist $z [mm] \in \IC \setminus \{0\}$, [/mm] und will man $1/z$ in der Form $a+ib$ schreiben,
so erweitert man mit [mm] \overline{z}: [/mm]

[mm] $\frac{1}{z}=\frac{\overline{z}}{z\overline{z}}=\frac{\overline{z}}{|z|^2}$. [/mm]

Ist $z=x+iy$, so liefert dies:

$ [mm] \bruch{1}{x + iy} [/mm] $ = $ [mm] \bruch{x}{x^2 + y^2} [/mm] $ + $ [mm] i\bruch{-y}{x^2 + y^2} [/mm] $


Bezug
        
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Herleitunf Formel: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 10:16 Do 07.12.2017
Autor: a3bas



allgemein:

setze $z:= a+bi$ , das Komplex konjugierte also [mm] $\overline{z}=a-bi$ [/mm]
$a,b [mm] \in \IR$, [/mm] i Lösung der Gleichung [mm] $(x^{2}+1=0)$ [/mm]


[mm] $\frac{1}{z}=\frac{1}{a+bi} [/mm] = [mm] \frac{a-bi}{(a+bi)(a-bi)} [/mm] = [mm] \frac{\overline{z}}{z\overline{z}} [/mm] ...$


Bezug
                
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Herleitunf Formel: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:56 Do 07.12.2017
Autor: fred97


>
>
> allgemein:
>
> setze [mm]z:= a+bi[/mm] , das Komplex konjugierte also
> [mm]\overline{z}=a-bi[/mm]
>  [mm]a,b \in \IR[/mm], i Lösung der Gleichung [mm](x^{2}+1=0)[/mm]

"die" Lösung ??? Obige Gleichung hat 2 Lösungen (im Komplexen) !


>  
>
> [mm]\frac{1}{z}=\frac{1}{a+bi} = \frac{a-bi}{(a+bi)(a-bi)} = \frac{\overline{z}}{z\overline{z}} ...[/mm]

Habe ich etwas anderes erzählt ???


>  
>  


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