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Hermitesche DGL: Die Lösung der DGL
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:12 So 31.07.2016
Autor: Jeany9

Hallo zusammen,
ich versuche gerade die Lösung der Hermiteschen Differentialgleichung y''-2xy'+xy=0 durch den Potenzreihenansatz zu lösen.
Mit der Rekursionsgleichung [mm] a_{k+2}=(2k [/mm] - [mm] /lambda)*a_k [/mm] / (k+a)*(k+2)  erhält man zwar die Koeffizienten. Aber wie komme ich von den Koeffizienten auf die Lösung?
[mm] a_0 [/mm] und [mm] a_1 [/mm] sind ja frei wählbar
[mm] a_2=- (\lambda [/mm] * [mm] a_0) [/mm] / 2
[mm] a_3= [/mm] (2- [mm] \lambda)*a_1 [/mm] / 2
[mm] a_4= [/mm] (4- [mm] \lambda)*a_2 [/mm] / 12
[mm] a_5= [/mm] (6- [mm] \lambda)*a_3 [/mm] / 20
[mm] a_6= [/mm] (8- [mm] \lambda)*a_4 [/mm] / 30
[mm] a_7= [/mm] (10- [mm] \lambda)*a_5 [/mm] / 42
...

Doch hier kann ich nicht die Lösung erkennen. Wie sieht denn der nächste Schritt aus, um auf die Lösun zu kommen. Es wäre super, wenn mir jemand helfen könnte. Danke!!


        
Bezug
Hermitesche DGL: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:23 So 31.07.2016
Autor: hippias

Hier sind Dir eine Menge Fehler unterlaufen. Daher solltest Du das besser nocheinmal durch-  oder vorrechnen.

Grundsätzlich kann man beim Potenzreihenansatz nicht erwarten, dass sich eine einfache Gesetzmässigkeit für die [mm] $a_{n}$ [/mm]  oder aus der Kenntnis der Koeffizienten eine bekannte Funktion erkennen lässt.

Wenn Du die DGL aber fehlerfrei aufschreibst und Dich nicht verrechnest, dann wirst Du erkennen, dass die Potenzreihe sogar abbricht: die Lösung sind Polynome.



Bezug
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