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Hilfe bei Integration: Idee, Hilfe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 08:38 Sa 07.05.2016
Autor: Tabs2000

Aufgabe
Berechne das Integral:

[mm] \bruch{1}{\pi} \integral_{- \infty}^{ \infty}{ x^{2} * e^{-x^{2}}dx} [/mm]

Ich komme hier absolut nicht weiter. Ich habe bisher schon partielle Integration und Substitution versucht und es durch den Integralrechner durchlaufen lassen, aber nichts bringt mich wirklich weiter...  Die Lösung soll 1/2 [mm] \wurzel{\pi }sein, [/mm] aber wie kommt man darauf? Wäre mir eine große Hilfe, wenn mir jemand erklärt, wie man auf das Ergebnis kommt,weil ich so ein ähnliches Integral für [mm] x^{4} [/mm] auch noch lösen muss :/

Vielen Dank :)

        
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Hilfe bei Integration: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:48 Sa 07.05.2016
Autor: hippias

Partielle Integration ist hier das Mittel der Wahl. Zeige doch einmal Deine Rechnung dazu. Du wirst auch den Wert des Intergals [mm] $\int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^{2}}dx$ [/mm] benötigen.

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Hilfe bei Integration: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 09:58 Sa 07.05.2016
Autor: Tabs2000

Ok. Also ich nehme an, dass man doppelt partiell integrieren muss wegen [mm] x^{2}. [/mm]
Nimmt man g = [mm] x^{2} [/mm] -> g' = 2x , bleibt ja das Integral von [mm] e^{-x^{2}} [/mm] übrig. Im Integralrechner steht dann sowas wie erf(x) dafür. Bisher haben wir in der Uni (Beginn 2. Semester) nur Integrale berechnet, die direkt lösbar sind. Wenn ich jetzt erf(x) als Lösung nehmen würde, wie würde ich damit bestimmte Integrale lösen?



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Hilfe bei Integration: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:10 Sa 07.05.2016
Autor: hippias

Zerlege den Integranden anders - viele Möglichkeiten zum Durchspielen gibt es ja nicht ;-)

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Hilfe bei Integration: Frage (reagiert)
Status: (Frage) reagiert/warte auf Reaktion Status 
Datum: 10:12 Sa 07.05.2016
Autor: Tabs2000

Hm.. Also man könnte ja alternativ noch [mm] x^{2} [/mm] aufleiten und den e-Teil ableiten, aber bei der partiellen Integration geht es ja darum,dass sich das Integral vereinfachen soll, nur wenn ich [mm] x^{2} [/mm] aufleite, bekomme ich den x-Teil ja nie weg... :( Ich hoffe mal, ich hab Dich nicht missverstanden...

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Hilfe bei Integration: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:43 Sa 07.05.2016
Autor: Tabs2000

Hab es mal so versucht. Hab rausgefunden, dass es sich bei dem e-Teil um das Fehlerintegral handelt und die Lösung dazu ist [mm] \wurzel{ \pi }. [/mm]
Na ja, ich verstehe zwar noch nicht, wie der Wert zustande kommt, aber dann so:

[mm] \integral_{-\infty}^{\infty}{ x^{2} * e^{-x^{2}} dx} [/mm] =

[mm] \integral_{-\infty}^{\infty}{ x^{2} dx} [/mm] * [mm] \wurzel{ \pi} [/mm] =

2* [mm] \integral_{0}^{\infty}{ x^{2} dx} [/mm] * [mm] \wurzel{\pi} [/mm]

= 2* [mm] \bruch{1}{5} x^{5} [/mm] |0-> [mm] \infty [/mm] * [mm] \wurzel{ \pi} [/mm]

= 2  [mm] \wurzel{ \pi} [/mm] * [mm] \limes_{b\rightarrow\infty} [/mm] ( [mm] \bruch{1}{5} b^{5}) [/mm]

=... Jetzt weiß ich nicht mehr genau



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Hilfe bei Integration: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:02 Sa 07.05.2016
Autor: M.Rex

Hallo
> Hab es mal so versucht. Hab rausgefunden, dass es sich bei
> dem e-Teil um das Fehlerintegral handelt und die Lösung
> dazu ist [mm]\wurzel{ \pi }.[/mm]

Das ist korrekt

> Na ja, ich verstehe zwar noch
> nicht, wie der Wert zustande kommt, aber dann so:

>

> [mm]\integral_{-\infty}^{\infty}{ x^{2} * e^{-x^{2}} dx}[/mm] =

>

> [mm]\integral_{-\infty}^{\infty}{ x^{2} dx}[/mm] * [mm]\wurzel{ \pi}[/mm] =


Der Schritt ist leider schon falsch. Bei einer Multiplikation darfst du nicht faktorweise Integrieren, siehe die partielle Integration

Versuche mal, den von hippias vorgeschlagenen Weg weiterzugehen.

Marius

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Hilfe bei Integration: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:13 Sa 07.05.2016
Autor: Tabs2000

Hm, ok also was soll ich dann als Stammfunktion von [mm] e^{-x^{2}} [/mm] nehmen? Bei der partiellen Integration hab ich doch noch unbestimmte Integrale, oder?

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Hilfe bei Integration: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:28 Sa 07.05.2016
Autor: fred97


> Hm, ok also was soll ich dann als Stammfunktion von
> [mm]e^{-x^{2}}[/mm] nehmen?

Eine Stammfunktion von  [mm]e^{-x^{2}}[/mm] lässt sich nicht elementar angeben.


> Bei der partiellen Integration hab ich
> doch noch unbestimmte Integrale, oder?


Versuchs mal so: [mm] x^2e^{-x^{2}}=\bruch{1}{2}*x*(2x*e^{-x^{2}})=v(x)*u'(x) [/mm] mit [mm] v(x)=\bruch{1}{2}*x [/mm]  und [mm] u'(x)=2x*e^{-x^{2}} [/mm]

FRED

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Hilfe bei Integration: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:33 Sa 07.05.2016
Autor: Tabs2000

Ok, nur wenn ich [mm] \integral{2x *e^{-x^{2}} dx} [/mm] berechnen will, muss ich ja wieder den e-Teil partiell integrieren und das geht ja nicht so leicht... Ich verstehe nicht, wie man auf Wurzel pi kommt :/

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Hilfe bei Integration: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:07 Sa 07.05.2016
Autor: M.Rex

Hallo
> Ok, nur wenn ich [mm]\integral{2x *e^{-x^{2}} dx}[/mm] berechnen
> will, muss ich ja wieder den e-Teil partiell integrieren
> und das geht ja nicht so leicht... Ich verstehe nicht, wie
> man auf Wurzel pi kommt :/

Vorsicht, hier hast du einen speziellen Fall.
Leite mal [mm] e^{-x^{2}} [/mm] ab und vergleiche das Ergebnis mit deinem zu berechnenden Integral.

Marius

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