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Forum "Funktionalanalysis" - Holomorphe funktionen
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Holomorphe funktionen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:16 Mo 20.03.2006
Autor: elena27

Aufgabe
  Sei f:  [mm] \IC [/mm]   \ {0} -->  [mm] \IC [/mm]  holomorph, nicht konstant, B= B(0,1) die offene Einheitskreisscheibe und C=   [mm] \partial [/mm]  B. Welche der folgenden Situationen sind möglich?
1) f ist beschränkt auf [mm] \IC [/mm] \ {0}

Hallo,

ich habe folgendes überlegt: Für f = sin z, f ist holomorph auf ganz [mm] \IC, [/mm] also ist auch holomorrph auf [mm] \IC [/mm]  \ {0}, f ist auch dort beschränkt, da |sin z| < = 1

Bin mir aber nicht sicher.
Könnte mir jemand bitte dabei helfen? Wäre sehr dankbar, ich habe leider schon morgen Klausur.

LG Elena
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Holomorphe funktionen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:32 Mo 20.03.2006
Autor: felixf

Hallo Elena!

>  Sei f:  [mm]\IC[/mm]   \ {0} -->  [mm]\IC[/mm]  holomorph, nicht konstant,
> B= B(0,1) die offene Einheitskreisscheibe und C=   [mm]\partial[/mm]
>  B. Welche der folgenden Situationen sind möglich?
> 1) f ist beschränkt auf [mm]\IC[/mm] \ {0}
>  Hallo,
>  
> ich habe folgendes überlegt: Für f = sin z, f ist holomorph
> auf ganz [mm]\IC,[/mm] also ist auch holomorrph auf [mm]\IC[/mm]  \ {0},

Bis hierhin ist es richtig.

> f ist auch dort beschränkt, da |sin z| < = 1

Das stimmt so nicht (bzw. es stimmt nur fuer reelle $z$)! Wenn das der Fall waere, dann waere [mm] $\sin [/mm] z$ nach dem Satz von Liouville konstant!

> Bin mir aber nicht sicher.
>  Könnte mir jemand bitte dabei helfen? Wäre sehr dankbar,

Schau dir mal den Riemannschen Hebbarkeitssatz an.

LG Felix


PS: Viel Erfolg bei der Klausur!

PPS: Ich glaub wir hatten diese Frage schonmal...
<edit>Nee, ich hatte mich vertan... :)</edit>


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Holomorphe funktionen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:38 Mo 20.03.2006
Autor: elena27

Hallo Felix,

danke für Deine schnelle Antwort.
Also aus dem Riemann. Hebb. Satz sollte folgen, dass falls f beschränkt auf [mm] \IC [/mm] \ {0} , dann ist  f auf  [mm] \IC [/mm] holomorhp fortsetzbar, also a ist hebbare Singularität.  Also soll dann f nachdem Satz von Lioville konstant sein, was der Vorraussetzung wiederspricht. Also die Aussage ist falsch.

Wäre es richtig so?

LG Elena



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Holomorphe funktionen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:44 Mo 20.03.2006
Autor: felixf

Hallo Elena,

> danke für Deine schnelle Antwort.
>  Also aus dem Riemann. Hebb. Satz sollte folgen, dass falls
> f beschränkt auf [mm]\IC[/mm] \ {0} , dann ist  f auf  [mm]\IC[/mm] holomorhp
> fortsetzbar, also a ist hebbare Singularität.  Also soll
> dann f nachdem Satz von Lioville konstant sein, was der
> Vorraussetzung wiederspricht. Also die Aussage ist falsch.
>  
> Wäre es richtig so?

exakt :-)

LG Felix


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Holomorphe funktionen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:52 Mo 20.03.2006
Autor: elena27

Danke!

Schade dass ich selber auf die Gedanken nicht komme, ich brauch immer einen kleinen Stoß :-( und dann geht es. Hoffentlich wird es morgen besser

LG Elena

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Holomorphe funktionen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:01 Mo 20.03.2006
Autor: elena27

Ich hätte noch eine Frage:
Was mich bei der Fortsetz. Satz von Riemann verzweifelt:

Wenn unsere Funktion auf [mm] \IC [/mm] \ {a}  [mm] \cup [/mm] {a} (a ist isolierte Singularität) holomorph fortsetzbar, dann heisst es, ich kann meine Funktion f einfach als eine holomorphe Funktion auf ganz [mm] \IC [/mm] betrachten und dann auf diese verschiedene  Sätze anwenden. Also grob gesagt, kann ich dann "vergessen", dass sie eigentlich auf [mm] \IC [/mm] \ {a} definiert wurde?

Danke für Deine Bemühungen.
LG Elena

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Holomorphe funktionen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:12 Mo 20.03.2006
Autor: felixf


> Ich hätte noch eine Frage:
>  Was mich bei der Fortsetz. Satz von Riemann verzweifelt:
>  
> Wenn unsere Funktion auf [mm]\IC[/mm] \ {a}  [mm]\cup[/mm] {a} (a ist
> isolierte Singularität) holomorph fortsetzbar, dann heisst
> es, ich kann meine Funktion f einfach als eine holomorphe
> Funktion auf ganz [mm]\IC[/mm] betrachten und dann auf diese
> verschiedene  Sätze anwenden. Also grob gesagt, kann ich
> dann "vergessen", dass sie eigentlich auf [mm]\IC[/mm] \ {a}
> definiert wurde?

Genau. Du weisst dann, dass sie ''in Wirklichkeit'' auf ganz [mm] $\IC$ [/mm] definiert ist. Das ist allgemein bei holomorphen Funktionen so, wenn du weisst das sie auf einem Gebiet holomorph sind kann es evtl. sein das man sie auch auf ein groesseres Gebiet fortsetzen kann (und zwar eindeutig, wegen dem Identitaetssatz).

LG Felix


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Bezug
Holomorphe funktionen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:23 Mo 20.03.2006
Autor: elena27

Ehrlich gesagt, jetzt bin ich ein bisschen durcheinander. Bei folgender Aufgabe:

"Sei U aus [mm] \IC [/mm] offen, f:U--> [mm] \IC [/mm] stetig. Ist folgende Situation möglich?

Ist f in U holomorph und beschränkt, dann ist f konstant"

Sei U = [mm] \IC [/mm] \ {0}
Nach Forts.satz von Riemann gilt: f ist holom fortsetzbar auf [mm] \IC [/mm] und da auch beschränkt, dann nach Lioville konstant.

Andererseits für U = B(2,1) und f=1/z ist f nicht konstant.

Wo liegt mein Denkfehler?

Danke für Deine Hilfe.

Bezug
                                                        
Bezug
Holomorphe funktionen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:54 Mo 20.03.2006
Autor: felixf


> Ehrlich gesagt, jetzt bin ich ein bisschen durcheinander.
> Bei folgender Aufgabe:
>  
> "Sei U aus [mm]\IC[/mm] offen, f:U--> [mm]\IC[/mm] stetig. Ist folgende
> Situation möglich?
>  
> Ist f in U holomorph und beschränkt, dann ist f konstant"
>  
> Sei U = [mm]\IC[/mm] \ {0}
>  Nach Forts.satz von Riemann gilt: f ist holom fortsetzbar
> auf [mm]\IC[/mm] und da auch beschränkt, dann nach Lioville
> konstant.

Noch einfacher: Nimm gleich $U = [mm] \IC$, [/mm] dann bist du mit Liouville sofort fertig :-)

> Andererseits für U = B(2,1) und f=1/z ist f nicht
> konstant.

Genau.

> Wo liegt mein Denkfehler?

Da ist kein Fehler :-) Es haengt halt stark vom Gebiet $U$ ab ob dies geht oder nicht.

LG Felix


Bezug
                                                                
Bezug
Holomorphe funktionen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:09 Mo 20.03.2006
Autor: elena27

Ich denke ich habe die Aufgabe nicht ganz richtig formulliert . Die lautet:
Sei U aus  [mm] \IC [/mm]  offen, f:U-->  [mm] \IC [/mm]  stetig. Welche der folgenden Aussagen sind richtig, welche nicht?

1) Ist f in U holomorph und beschränkt, so ist f konstant.

Also die Situation ist möglich, aber im allgemeinem gilt nicht . Das zeigt uns das Gegenbeispiel.
Oder?

Danke

Bezug
                                                                        
Bezug
Holomorphe funktionen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:14 Mo 20.03.2006
Autor: felixf


> Ich denke ich habe die Aufgabe nicht ganz richtig
> formulliert . Die lautet:
>  Sei U aus  [mm]\IC[/mm]  offen, f:U-->  [mm]\IC[/mm]  stetig. Welche der
> folgenden Aussagen sind richtig, welche nicht?
>  
> 1) Ist f in U holomorph und beschränkt, so ist f konstant.
>  
> Also die Situation ist möglich, aber im allgemeinem gilt
> nicht . Das zeigt uns das Gegenbeispiel.
> Oder?

Genau!

LG Felix


Bezug
                                                                                
Bezug
Holomorphe funktionen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:43 Mo 20.03.2006
Autor: elena27

Danke!
Jetzt ist es alles klar.

LG Elena

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